冶金傳輸原理（第2版）傳輸原理 8 相似原理

第八章相似原理和模型研究方法8.1相似的概念8.2相似原理8.3量綱分析8.4模型研究方法8.1相似的概念一、相似性質(zhì)和相似條件相似的概念來自于幾何學(xué)，三角形相似就是典型的相似問題，物理現(xiàn)象相似首先要求幾何相似，其它條件：相似常數(shù)、相似指標(biāo)、相似特征數(shù)等；三角形相似相似常數(shù)物理現(xiàn)象相似時，空間相對應(yīng)的點與時間相對應(yīng)的瞬間，表征該現(xiàn)象特征的所有物理量必然各自保持一定的比例關(guān)系。進(jìn)而可以將物理相似轉(zhuǎn)化為幾何相似。8.1相似的基本概念二、流動的力學(xué)相似流體流動現(xiàn)象的相似除上述幾何相似、時間相似、速度相似、力相似外，還包括其它物理量(如密度、黏度等)的相似。對于所有這些物理量，相似是指這些物理量的場相似。在對應(yīng)時刻，對應(yīng)點上物理量成比例的兩個流場稱為力學(xué)相似的流場，簡稱相似流動。同流體流動現(xiàn)象一樣，其他各種物理現(xiàn)象，如熱量的傳輸、質(zhì)量的傳輸?shù)?，都伴隨著許多物理量的變化。對于這些現(xiàn)象，相似是在相似的空間中，表述這些現(xiàn)象的各物理量的場相似。8.2相似原理在幾何相似的兩個流場中，所有對應(yīng)位置上的速度方向相同，比值相等的運(yùn)動情況，稱為運(yùn)動相似。如物體做勻速運(yùn)動相似變換約束關(guān)系相似指標(biāo)8.2相似原理一、特征數(shù)的導(dǎo)出下面以不可壓縮黏性流體的不穩(wěn)定等溫流動為例，用相似轉(zhuǎn)換法，即方程分析法來導(dǎo)出其特征數(shù)。假定有兩個彼此相似的流動體系，因x、y、z方向上的運(yùn)動方程形式完全一樣，故只對x方向的連續(xù)性方程和運(yùn)動方程進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換。第一體系有：8.2相似原理第二體系有：根據(jù)相似定理可以給出：8.2相似原理綜合上面的三個公式，可以得到：任意數(shù)進(jìn)一步將公式整理成相似指標(biāo)式：8.2相似原理均時性數(shù)：不變量傅魯?shù)?Froude)數(shù)：不變量歐拉(Euler)數(shù)：不變量雷諾(Reynolds)數(shù)：不變量10.2相似原理二、特征數(shù)的物理意義均時性數(shù)傅魯?shù)聰?shù)歐拉數(shù)雷諾數(shù)整個系統(tǒng)流動過程進(jìn)行時間與流體質(zhì)點通過系統(tǒng)中某一定性尺寸距離所需要的時間的比值重力位能與動能比值或重力項與慣性力項的比值流體壓力項與慣性力項的比值流體慣性力項與粘性力項的比值需要注意：“相似性質(zhì)”是指彼此已相似的現(xiàn)象具有什么性質(zhì)，而“相似條件”滿足什么條件后，一切現(xiàn)象才能彼此相似。10.2相似原理三、特征數(shù)的轉(zhuǎn)換

①相似特征數(shù)的n次方仍為相似特征數(shù)；②相似特征數(shù)的乘積仍為相似特征數(shù)；③

相似特征數(shù)乘以無量綱數(shù)仍為相似特征數(shù)；④相似特征數(shù)的和與差仍為相似特征數(shù)；⑤相似特征數(shù)中任一物理量用其差代替仍為相似特征數(shù)。10.3量綱分析一、量綱的基本概念在動量傳輸中，常用的基本量綱為：

長度(L)，質(zhì)量(M)，時間(t)，溫度(T)。常用導(dǎo)出量的量綱為：

速度υ，[υ]=[Lt-1]；力F，[F]=[MLt-2]；壓強(qiáng)P，[P]=[ML-1t-2]；密度ρ，[ρ]=[ML-3]；重力加速度g，[g]=[Lt-2]；黏度系數(shù)μ，[μ]=[ML-1t-1]；運(yùn)動黏度系數(shù)ν，[ν]=[L2t-1]。另外，物理方程式中有量綱的常數(shù)，如氣體常數(shù)R的量綱為[L2t-2T-1]。10.3量綱分析二、量綱和諧原理量綱和諧原理：不同物理量如能組成物理方程，不論其在形式上如何變化，各項的量綱必須是一致。量綱和諧原理是量綱分析的基礎(chǔ)。因此，在推導(dǎo)出新的物理關(guān)系后，首先要考察量綱是否和諧。如量綱不和諧，推導(dǎo)過程必然錯誤。三、

π定理或白金漢(Buckingham)定理基本原理：在某一個物理過程中包含n個物理量x1，x2，···，xn，即：其中有m個是基本量，即量綱相互獨立，則該物理過程可由(n-m)個綱量為1的特征數(shù)建立關(guān)系式來表示，即：10.3量綱分析四、π定理的應(yīng)用以不可壓縮黏性流體的不穩(wěn)定等溫流動為例：①設(shè)影響某一現(xiàn)象的因素有υ、l、P、ρ、μ、g、t，則②③指數(shù)④根據(jù)特征數(shù)的量綱為1(量綱和諧原理)的特點，確定ai、bi、ci：10.3量綱分析五、寫出特征數(shù)方程式同理可以求出：10.3量綱分析例題1：直徑為800mm的管道，20℃的空氣以平均流速為2m/s在管中流動。今以直徑為75mm的管子作模型，用20℃的水進(jìn)行實驗，為了使模型與實物流動相似，問水的平均流速應(yīng)為多少？

解：以管子直徑d為定性尺寸。對于粘性流體在管內(nèi)作有壓流動的情況，其決定性準(zhǔn)數(shù)為雷諾數(shù)，故兩流動相似的條件是Re‘‘=Re‘，即：查表可知，20℃時空氣的運(yùn)動粘性系數(shù)ν‘=0.157沲；20℃時水的粘性系數(shù)ν‘‘=0.0101沲。于是有10.3量綱分析

即水的平均流速為1.372m/s，模型與實物的流動即可實現(xiàn)相似。例題2：用量綱分析法確定不可壓縮粘性流體繞流球體流動時的阻力公式。已知，阻力F與流速υ∞，球的直徑d，流體的密度ρ、粘度μ有關(guān)。

解：f(F，υ∞，d，ρ，μ)=0。選取υ∞，d，ρ為三個基本量綱的代表，已證明他們在量綱上是獨立的。這樣有：10.3量綱分析對(L)：1=a1+b1-3c1；對(M)：1=c1；對(t)：-2=-a1解得，a1=2，b1=2，c1=1。所以組成無量綱量；同理可求出：

或

令

則上式改寫為：說明阻力系數(shù)ζ是雷諾數(shù)Re的函數(shù)，這和前面得到的結(jié)果是一致的。10.3量綱分析對于球形顆粒，阻力系數(shù)與Re的關(guān)系可分為如下四個區(qū)域：第一區(qū)域：在Re<1時，稱斯托克斯定律區(qū)。10.3量綱分析第二區(qū)域：在Re為0.2~800范圍內(nèi)，稱過渡區(qū)。第三區(qū)域：當(dāng)500<Re<2×105時，稱牛頓定律區(qū)。

ξ≈0.43第四區(qū)域：當(dāng)Re>2×105時，阻力系數(shù)開始突然下降到原數(shù)值的1/4~1/5，然后隨Re增加而略有增加。極限速度：當(dāng)顆粒下降(或上升)速度增至某一數(shù)值時，作用在顆粒上的阻力將與重力(或浮力)呈現(xiàn)平衡，顆粒即以勻速下降(或上升)，這時的顆粒速度稱為極限速度。對于Re<1的斯托克斯定律區(qū)：10.3量綱分析對于過渡區(qū)，其雷諾數(shù)在1<Re<500，有：對于牛頓定律區(qū)，500<Re<2×105：10.3量綱分析例題3：試計算直徑為20μm的球形夾雜物在靜止鋼液中上升的極限速度。已知：ρk=2.7×103kg/m3，ρf=7.1×103kg/m3，μ=5.5×10-3kg/m?s。解：然后再求Re，以檢驗之：10.4模型研究方法近似?；ǎ悍治鲈谙嗨茥l件中哪些因素對過程是主要的，起決定作用的，粘性是次要的，所起作用不大。對前者盡量加以保證，而對后者只做近似保證，甚至忽略不計。流體流動的穩(wěn)定性：粘性流體在管道內(nèi)流動時，不管入口處速度分布如何，流經(jīng)一段距離后，速度分布的形狀就固定下來，這種特殊性稱為穩(wěn)定性。自?；核俣确植急舜讼嗨?，與雷諾數(shù)的大小無關(guān)。層流時(Re<Re臨)為第一自?；瘏^(qū)，此時速度分布彼此相似；湍流時(Re>Re’臨)為第二自?；瘏^(qū)，此時阻力系數(shù)保持不變。10.4模型研究法

π非i－任一非定性準(zhǔn)數(shù)

簡化一個定性準(zhǔn)數(shù)

其中：π決i－定性準(zhǔn)數(shù)其中：

C、ni－待定常數(shù)模型實驗的數(shù)據(jù)處理：通過定理給出準(zhǔn)數(shù)方程，由試驗結(jié)果確定出方程中參數(shù)。這是一直線方程。畫在對數(shù)坐標(biāo)上，用最小二乘法可求得lgC與n的值。當(dāng)定性特征數(shù)數(shù)目在兩個或兩個以上時，用多元線性回歸方法求得各待定常數(shù)。10.5小結(jié)相似原理實質(zhì)上是指導(dǎo)實驗的理論。它提供了通過實驗求解復(fù)雜現(xiàn)象方程組的途徑。按相似正定理，實驗時必須測量出各特征數(shù)所包含的一切量。按相似逆定理，實驗時