遼寧省大連市高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等比數(shù)列習(xí)題課教學(xué)實(shí)錄 新人教B版必修5

遼寧省大連市高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.3等比數(shù)列習(xí)題課教學(xué)實(shí)錄新人教B版必修5科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）遼寧省大連市高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.3等比數(shù)列習(xí)題課教學(xué)實(shí)錄新人教B版必修5教材分析遼寧省大連市高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.3等比數(shù)列習(xí)題課教學(xué)實(shí)錄，新人教B版必修5。本節(jié)課以等比數(shù)列為研究對(duì)象，通過習(xí)題講解，幫助學(xué)生鞏固等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式等基本知識(shí)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)內(nèi)容與課本緊密相連，符合教學(xué)實(shí)際，實(shí)用性較強(qiáng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力，通過等比數(shù)列的探究，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性；增強(qiáng)邏輯推理能力，通過解題過程中的推理過程，鍛煉學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維；提升數(shù)學(xué)建模能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；同時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算求解能力，通過大量習(xí)題的練習(xí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

2.等比數(shù)列求和公式的證明和運(yùn)用。

難點(diǎn)：

1.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程中的邏輯推理。

2.復(fù)雜等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。

解決辦法：

1.通過引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列的變化規(guī)律，結(jié)合實(shí)例，逐步推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，強(qiáng)調(diào)邏輯推理的重要性。

2.通過分組討論、合作探究等方式，讓學(xué)生在小組內(nèi)共同解決求和公式的證明問題，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和問題解決能力。

3.通過設(shè)計(jì)不同難度的習(xí)題，逐步提高學(xué)生的解題技巧，同時(shí)，對(duì)典型錯(cuò)題進(jìn)行講解，幫助學(xué)生克服運(yùn)算求解的難點(diǎn)。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：系統(tǒng)講解等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式，確保學(xué)生對(duì)基本概念有清晰的認(rèn)識(shí)。

2.討論法：組織學(xué)生針對(duì)典型習(xí)題進(jìn)行討論，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。

3.實(shí)例分析法：通過具體實(shí)例講解，幫助學(xué)生理解等比數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

教學(xué)手段：

1.多媒體輔助教學(xué)：利用PPT展示數(shù)列圖形和公式推導(dǎo)過程，增強(qiáng)直觀性。

2.互動(dòng)式教學(xué)軟件：運(yùn)用教學(xué)軟件進(jìn)行互動(dòng)練習(xí)，提高學(xué)生參與度和學(xué)習(xí)效果。

3.紙筆練習(xí)：布置針對(duì)性的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)，并及時(shí)反饋。教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，今天我們將繼續(xù)深入探討等比數(shù)列的求和公式及其應(yīng)用。首先，請(qǐng)大家回顧一下等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，準(zhǔn)備好我們今天的探究之旅。

（學(xué)生）回顧等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。

二、新課講授

1.等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)

（教師）同學(xué)們，我們已經(jīng)知道等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1*q^(n-1)，那么，接下來我們要探討的是等比數(shù)列的求和公式。

（學(xué)生）認(rèn)真聽講，思考等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法。

（教師）首先，我們來看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：數(shù)列1,2,4,8,16,...，這是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=1，公比q=2。我們嘗試計(jì)算這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和。

（學(xué)生）計(jì)算數(shù)列1,2,4,8,16,...的前n項(xiàng)和。

（教師）很好，同學(xué)們已經(jīng)計(jì)算出數(shù)列的前n項(xiàng)和。接下來，我們嘗試推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式。

（學(xué)生）認(rèn)真聽講，跟隨老師的推導(dǎo)過程。

（教師）首先，我們將數(shù)列的前n項(xiàng)和表示為S_n，即S_n=a1+a1*q+a1*q^2+...+a1*q^(n-1)。然后，我們將S_n乘以公比q，得到q*S_n=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+...+a1*q^n。

（學(xué)生）理解并跟隨老師的推導(dǎo)過程。

（教師）接下來，我們將q*S_n與S_n相減，得到S_n*(1-q)=a1-a1*q^n。最后，我們將等式兩邊同時(shí)除以(1-q)，得到S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)。

（學(xué)生）理解并記住等比數(shù)列的求和公式S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)。

2.等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用

（教師）同學(xué)們，我們已經(jīng)推導(dǎo)出了等比數(shù)列的求和公式，接下來我們來探討一下這個(gè)公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

（學(xué)生）認(rèn)真聽講，思考等比數(shù)列求和公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

（教師）首先，我們來看一個(gè)例子：一個(gè)等比數(shù)列的前5項(xiàng)和為31，首項(xiàng)為3，求公比。

（學(xué)生）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，列出方程求解公比。

（教師）很好，同學(xué)們已經(jīng)成功求出了公比。接下來，我們?cè)賮斫鉀Q一個(gè)實(shí)際問題。

（學(xué)生）認(rèn)真聽講，跟隨老師的解題過程。

（教師）一個(gè)公司每年利潤(rùn)增長(zhǎng)率為10%，如果公司第一年的利潤(rùn)為100萬元，求公司第5年的利潤(rùn)。

（學(xué)生）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算公司第5年的利潤(rùn)。

三、課堂練習(xí)

（教師）同學(xué)們，接下來我們進(jìn)行課堂練習(xí)，鞏固今天所學(xué)的知識(shí)。

（學(xué)生）認(rèn)真完成課堂練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

四、課堂小結(jié)

（教師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的求和公式及其應(yīng)用。通過今天的課程，我們知道了如何推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式，并且了解了它在實(shí)際問題中的應(yīng)用。希望大家能夠熟練掌握等比數(shù)列的求和公式，并在今后的學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用。

（學(xué)生）總結(jié)今天所學(xué)內(nèi)容，加深對(duì)等比數(shù)列求和公式的理解。

五、布置作業(yè)

（教師）同學(xué)們，今天的作業(yè)是：完成課后練習(xí)題，并預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容。

（學(xué)生）認(rèn)真完成作業(yè)，預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-等比數(shù)列的歷史背景：介紹等比數(shù)列在數(shù)學(xué)史上的發(fā)展，包括古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得對(duì)等比數(shù)列的研究，以及我國古代數(shù)學(xué)家對(duì)等比數(shù)列的應(yīng)用。

-等比數(shù)列在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：探討等比數(shù)列在復(fù)利計(jì)算、人口增長(zhǎng)、資源消耗等經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。

-等比數(shù)列在物理學(xué)中的應(yīng)用：介紹等比數(shù)列在波動(dòng)、振動(dòng)、光學(xué)等物理學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，如光的干涉和衍射現(xiàn)象。

-等比數(shù)列在其他學(xué)科中的應(yīng)用：探討等比數(shù)列在生物學(xué)、環(huán)境科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)史書籍，了解等比數(shù)列的發(fā)展歷程，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歷史的興趣。

-收集等比數(shù)列在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用案例，通過實(shí)際案例加深對(duì)等比數(shù)列的理解。

-利用網(wǎng)絡(luò)資源，查找等比數(shù)列在其他學(xué)科中的應(yīng)用，拓寬學(xué)生的知識(shí)面。

-組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生分享各自收集到的等比數(shù)列應(yīng)用案例，提高學(xué)生的合作能力和表達(dá)能力。

-設(shè)計(jì)等比數(shù)列相關(guān)的研究性學(xué)習(xí)課題，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和科研能力。

-開展等比數(shù)列知識(shí)競(jìng)賽，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

-鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，將等比數(shù)列知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題解決，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。

-引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注等比數(shù)列在日常生活和科技發(fā)展中的應(yīng)用，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。教學(xué)反思與總結(jié)今天這節(jié)課，我們圍繞等比數(shù)列的求和公式及其應(yīng)用展開，通過一系列的教學(xué)活動(dòng)，我想分享一下我的反思和總結(jié)。

首先，我覺得在教學(xué)方法上，我嘗試了多種方式來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如，在講解等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程中，我用了實(shí)例分析法和分組討論法，讓學(xué)生在參與中學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)方法收到了不錯(cuò)的效果。學(xué)生們?cè)谟懻摵蛯?shí)踐中，不僅理解了公式，還鍛煉了他們的邏輯思維能力。

但是，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題。比如，在講解等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)時(shí)，部分學(xué)生對(duì)于邏輯推理的過程感到有些困難。這說明我在教學(xué)方法上還需要更加注重對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，可以通過增加一些思維訓(xùn)練題，或者利用一些可視化工具來幫助學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

在教學(xué)策略上，我注意到了一點(diǎn)，那就是在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，我給予學(xué)生足夠的練習(xí)時(shí)間，讓他們能夠自主練習(xí)，獨(dú)立解決問題。這種方法讓學(xué)生在實(shí)踐中鞏固了知識(shí)，但也暴露出一些問題，比如有的學(xué)生解題速度較慢，有的學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)顯得有些束手無策。針對(duì)這個(gè)問題，我計(jì)劃在今后的教學(xué)中，適當(dāng)增加課堂練習(xí)的難度和多樣性，同時(shí)，對(duì)于解題速度較慢的學(xué)生，我會(huì)給予更多的個(gè)別指導(dǎo)。

在課堂管理方面，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)谟懻摃r(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)偏離主題的情況。為了更好地管理課堂，我嘗試在討論前明確討論目標(biāo)和規(guī)則，確保討論的方向和深度。同時(shí)，我也注意到了，在學(xué)生討論時(shí)，要適時(shí)介入，引導(dǎo)他們回到主題，這樣的管理方法在今天的課堂上得到了一定的效果。

關(guān)于教學(xué)效果，我覺得整體上是滿意的。學(xué)生們對(duì)于等比數(shù)列求和公式的理解有了明顯的提高，他們?cè)谡n堂練習(xí)中的表現(xiàn)也證明了這一點(diǎn)。然而，我也注意到，部分學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，仍然難以靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。這提示我在今后的教學(xué)中，要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的分析和解決能力的培養(yǎng)。

針對(duì)教學(xué)中存在的問題和不足，我提出以下改進(jìn)措施和建議：

1.在講解抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)，多采用實(shí)例和可視化工具，幫助學(xué)生更好地理解。

2.增加課堂練習(xí)的難度和多樣性，讓學(xué)生在練習(xí)中不斷提高解決問題的能力。

3.對(duì)于解題速度較慢的學(xué)生，提供更多的個(gè)別輔導(dǎo)，幫助他們克服學(xué)習(xí)困難。

4.在課堂討論中，明確討論目標(biāo)和規(guī)則，確保討論的有效性。

5.鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，提高他們的實(shí)踐能力和創(chuàng)新思維。重點(diǎn)題型整理1.題型一：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解

例題：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為3，求第10項(xiàng)an的值。

解答：an=a1*q^(n-1)=2*3^(10-1)=2*3^9=2*19683=39366。

2.題型二：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求解

例題：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為2，求前5項(xiàng)和S5。

解答：S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)=3*(1-2^5)/(1-2)=3*(1-32)/(-1)=3*31=93。

3.題型三：等比數(shù)列特定項(xiàng)的和的求解

例題：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，公比為-2，求第3項(xiàng)到第6項(xiàng)的和。

解答：S_4=a1*(1-q^4)/(1-q)=4*(1-(-2)^4)/(1-(-2))=4*(1-16)/3=4*(-15)/3=-20。

4.題型四：等比數(shù)列公比的求解

例題：已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)分別為2,6,18，求公比q。

解答：q=a2/a1=6/2=3。

5.題型五：等比數(shù)列中項(xiàng)的求解

例題：已知等比數(shù)列的第4項(xiàng)為-8，第7項(xiàng)為64，求第5項(xiàng)的值。

解答：設(shè)第5項(xiàng)為a5，則有a5^2=a4*a6=(-8)*64=-512，因此a5=±√(-512)=±16√(-1)=±16i。由于等比數(shù)列的項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，所以第5項(xiàng)不存在實(shí)數(shù)解。

這些題型涵蓋了等比數(shù)列的基本概念和計(jì)算方法，通過這些例題的練習(xí)，學(xué)生可以更好地掌握等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

今天我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的求和公式及其應(yīng)用。首先，我們回顧了等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，了解了等比數(shù)列的基本特征。接著，我們重點(diǎn)講解了等比數(shù)列的求和公式，并通過實(shí)例推導(dǎo)出公式S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)。在這個(gè)過程中，我們強(qiáng)調(diào)了公比q不為1的重要性，因?yàn)楫?dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列退化為等差數(shù)列，求和公式不再適用。

在應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，我們學(xué)習(xí)了如何解決實(shí)際問題，如計(jì)算等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、特定項(xiàng)的和、求公比等。通過這些例題，同學(xué)們掌握了如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為2，求第8項(xiàng)an的值。

答案：an=a1*q^(n-1)=3*2^(8-1)=3*2^7=3*128=384。

2.已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)和為31，首項(xiàng)為3，求公比q。

答案：S_5=a1*(1-q^5)/(1-q)=31，代入a1=3，得到3*(1-q^5)/(1-q)=31，解得q=2。

3.已知等比數(shù)列的第4項(xiàng)為-8，第7項(xiàng)為64，求第5項(xiàng)的值。

答案：設(shè)第5項(xiàng)為a5，則有a5^2=a4*a6=(-8)*64=-512，因此a5=±√(-512)=±16√(-1)=±16i。由于等比數(shù)列的項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，所以第5項(xiàng)不存在實(shí)數(shù)解。

4.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為5，公比為-1/2，求前10項(xiàng)和S10。

答案：S_10=a1*(1-q^10)/(1-q)=5*(1-(-1/2)^10)/(1-(-1/2))=5*(1-1/1024)/(3/2)=5*(1023/1024)*(2/3)=1023/3072。

5.已知等比數(shù)列的第3項(xiàng)到第6項(xiàng)的和為120，首項(xiàng)為2，求公比q。

答案：設(shè)第3項(xiàng)為a3，則有a3+a3*q+a3*q^2+a3*q^3=120，代入a3=2，得到2+2q+2q^2+2q^3=120，化簡(jiǎn)得q^3+q^2+q-60=0，解得q=3。內(nèi)容邏輯關(guān)系①等比數(shù)列的定義與特征

-定義：等比數(shù)列是指一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比是常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為公比。

-特征：公比q不為0且q不為1。

②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

-公式：an=a1*q^(n-1)，其中an表示第n項(xiàng)，a1表示首項(xiàng)，q表示公比。

-關(guān)鍵詞：首項(xiàng)、公比、指數(shù)。

③等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

-公式：S_n=a