【試題分類】專題11 立體幾何-上海市高三數(shù)學(xué)一模試題分類卷【原卷+解析】

一模匯編【立體幾何】

一、填空題

1.【普陀2】若正四棱柱的底面周長為4、高為2,則該正四棱柱的體積為

2.[虹口3]已知一個球的半徑為3,則這個球的體積為

3.【浦東5】若圓錐的軸截面是邊長為I的正二角形,則圓錐的側(cè)面枳是

4.【金山5】已知一個圓錐的底面半徑為3,高為4,則該圓錐的側(cè)面積為

5.【長寧5】如圖，在三梭臺ABC-AqG的9條棱所在直線中,

與直線48是異面直線的共有條.

6.【嘉定5】已知某一個圓錐的側(cè)面積為20兀，底面積為16兀，則這個圓錐的體積為

7.【松江6】已知網(wǎng)錐的母線長為5,側(cè)面積為20兀，則此圓錐的體積為（結(jié)果中保

留死）.

8.【寶山7】將圓錐的側(cè)面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為.

9.【靜安7］有一種空心鋼球，質(zhì)量為140.2g,測得球的外直徑等于5.0cm,若球壁厚度均

勻，則它的內(nèi)直徑約為cm.（鋼的密度是7.9g/cm3,結(jié)果保留一位小數(shù)）.

10.【徐匯7］已知圓錐的側(cè)面積為2兀.日側(cè)面展開圖為半圓,則底面半杼為.

11.【閔行7】如圖，對于直四棱柱ABC?！狝gGR,要使AC_LBQ］，則在四邊形ABCD

中，滿足的條件可以是.（只需寫出一個正確的條件）

12.【黃浦8】已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個面積為2兀的半圓，則該圓錐的體積

為?

13.【崇明8】將半徑為2的半圓形紙片卷成一個無蓋的圓錐筒，則該圓錐筒的高為.

14.【青浦9】已知空間三點A(—1,3,1),8(2,4,0),C(0,2,4),則以AB、AC為一組鄰

邊的平行四邊形的面積大小為.

15.【長寧9】若04=(1,-2,0),。月=(2,1,0),OC=(1,1,3),則三棱錐O-ABC的體積

為.

16.【嘉定9】如圖為正六棱柱4BCQE/-OC'O,E'L，其6個側(cè)面的12條面對角線所

在直線中，與直線異面的共有條.

17.［奉賢10］長方體人8cA4GA的底面是邊長為I的正方形，若在側(cè)棱AA上至少

存在一點E,使得NC￡8=90，則側(cè)棱A%的長的最小值為.

18.【靜安11】在空間直角坐標(biāo)系?！獙Oz中，點P(7,4,6)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點p

在第卦限；若點。的坐標(biāo)為(8,-1,5),則向量PQ與向量pp夾角的余弦值

是.

19.【嘉定11】在空間宜角坐標(biāo)系中，點41,0,0),點伏5,-4,3),點C(2,0,l),則從臺在

CA方向上的投影向量的坐標(biāo)為.

20.【寶山11】某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡易遮陽篷ABC,遮陽篷是一

個直角邊長為6的等腰直角三角形，斜邊A8朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽

光線與地面成30。角，則當(dāng)遮陽篷ABC與地面所成的角大小為時，所遮陰影面A8C

面積達(dá)到最大.

21.【青浦11】已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底

面圓的直徑，。為下底面圓周上一點，則三棱錐P—45。外接球的體枳為.

22.【松江11］動點P在棱長為1的正方體-表面上運(yùn)動，且與點A的距

離是空，點2的集合形成一條曲線，這條曲線的長度為.

3

23.【長寧11］已知AR是圓柱的一條母線，是圓柱下底面的直徑，。是圓柱下底面圓周

上異于A,8的兩點，若圓柱的側(cè)面積為4兀，則三棱錐A—A8C外接球體積的最小值

為?

二、選擇題

24.【普陀13】已知直線/、〃?和平面a、夕，下列命題中的真命題是（）

（A）若〃IHa則相JLa（B）若〃/a,a【B,則/_L￡

（C）若a〃/,則（D）若/J_a,/?1/?,則〃/〃2

25.【楊浦14】對于平面。和兩條直線機(jī)、〃，下列說法正確的是（）

A.若//_La,tn_Ln,則n//a

B.若m、〃與a所成的角相等,則加//n

C.若加〃a,〃〃a,則“？〃〃

D.若mua,m//n,n在平面a外，則〃〃a

26.［奉賢14］紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂壺

的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石飄壺、潘壺等米中，石瓢壺的壺體可以近似看成一

個圓臺.如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的容積約接近于（）

A.1（）（）cm3B.200cm3

C.300cm3D.400cm3

27.【青浦14］已知加，〃是兩條不同直線，a,

().

A.若。，尸不平行，則在。內(nèi)不存在與夕平行的直線

B若加，〃平行于同一平面，則陽與〃可能異面

C.若〃〃不平行，則小與〃不可能垂直于同一平面

D.若。，尸垂直于同一平面，則。與月可能相交

28.【黃浦14］如圖，四邊形A8CZ）是邊長為1的正方形，MDJ.平面A4CZ）,N8JL平面

/WC￡>,且==點G為MC的中點.則下列結(jié)論中不正確的是（）.

A.MCtAN

B.平面DCM〃平面ABN

C.直線GB與AM是異面直線

D.直線G"與平面AM力無公共點

29.【浦東15］已知直線/與平面a相交，則下列命題中，正確的個數(shù)為（)

①平面。內(nèi)的所有直線均與直線/異面；

②平面a內(nèi)存在與直線/垂直的直線；

③平面。內(nèi)不存在直線與直線/平行；

④平面。內(nèi)所有直線均與直線/相交.

A.IB.2C.3D.4

30.【金山15】已知正四面體43co的樓長為6,設(shè)集合C={P||AP|?2近，點平面

3C。},則Q表示的區(qū)域的面積為（）

A.7tB.3五

C.47cD.6完

31.【徐匯15］已知平面a、B、/兩兩垂直，直線。、氏。滿足：aua，bu。,cay,

則直線。、b、。位置關(guān)系不可能是（）

A.兩兩垂直B.兩兩平行

C.兩兩相交D,兩兩異面

32.【靜安16］“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.《九章算術(shù)》總

結(jié)了先秦時期數(shù)學(xué)成就，是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)巨著，對后世數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了廣泛

而深遠(yuǎn)的影響.書中有如下問題；“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何？”其意思

為：“今有底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺,

高為8尺，問它的體枳是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為

（）平方尺.

A.1424B.140乃

C.1384D.128萬

三、解答題

33.【嘉定17](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分

如圖，已知正四棱柱4G底面正方形A8CO的邊長為2,A4,=3.

(1)求證：平面A4,CCJ_平面A3O；

(2)求點A到平面A3。的距離.

34.【崇明17](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題7分，第2小題7分

如圖,長方體ABC。一AAGR中，AB=8C=J5,A。與底面A8CO所成的角為45°.

(1)求四棱錐A-A8C。的體積；

(2)求異面直線4B與8a所成角的大小.

35.【松江17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7

分

已知A8_L平面BCD,BCA.CD

（1）求證：平面ACO_L平面A8C；

（2）若AB=1，CD=BC=2,求直線AD與平面ABC所成角的正弦值大小.

36.【金山17］如圖，在四棱錐P—ABCO中，已知B4_L底面A3CD，底面ABCQ是正

方形，PA=AB.

(1)求證：直線平面B4C；

(2)求直線PC與平面P斑＞所成的角的大小.

37.【徐匯17］（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，AB=AC=2,M=4,AB_L4C,BELAB.

交A4于點￡。為CG的中點.

（1）求證：3E_L平面4片。；

（2）求直線與。與平面AB。所成角的大小.

38.【青浦18］（本題滿分14分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.

如圖，在正三棱柱ABC-中，民尸分別為34，AC中點.

（1）求證：8F〃平面A|EC；

（2）求證：平面4ECJ?平面ACGA.

39.【楊浦18](本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

如圖所示圓錐P—O中，C。為底面的直徑，AB分別為母線尸。與尸C的中點，點E

是底面圓周上一點，若NDCE=30。，AB=O,圓錐的高為JIZ.

(1)求圓錐的側(cè)面積S；

(2)求證：AE與PC是異面直線，并求其所成角的大小.

40.【普陀19］（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，"復(fù)興''橋為人行天橋，其主體結(jié)構(gòu)是由兩根等長的半圓型主梁和四根豎直的立柱

吊起一塊圓環(huán)狀的橋面.主梁在橋面上方相交于點S且它們所在的平面互相垂直，S在橋面

上的射影為橋面的中心。.主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有4條可以

通往橋面的上行步道.設(shè)C。為其中的一根立柱，A為主梁與橋面大圓的連接點.

（1）求證：CO〃平面SO4；

（2）設(shè)人△為經(jīng)過人的一條步道，其長度為12米且與地面所成角的大小為301橋面小圓與

大圓的半徑之比為4:5,當(dāng)橋面大圓半徑為20米時，求點。到地面的距離.

41.【浦東18］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8

分.

如圖，三棱錐P—A3C中，側(cè)面BAN垂直于底面ABC,PA=PB,底面ABC是斜

邊為A8的直角三角形，且NA8C=30。，記。為A8的中點，￡為。。的中點.

（1）求證：PC-LAEi

（2）若AA=2,直線PC與底面ABC所成角的大小為60。，求四面體尸AOC的體枳.

42.【奉賢18](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分

如圖，在四面體4867)中，已知朋=3O=C4=CD,點E是AD中點.

(1)求證：AD_1_平面BEC；

9

(2)已知AB=5,BDC=arccos—,A￡)=6,作出二面角。一的平面角，并

25

求它的正弦值.

43.【閔行18］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第I小題6分，第2小題8分

如圖，已知圓柱。。的底面半徑為1,正△ABC內(nèi)接于圓柱的下底面圓0,點。?是圓柱

的上底面的圓心，線段A4是圓柱的母線.

（1）求點C到平面A的距離：

（2）在劣弧8C上是否存在一點。，滿足〃平面AA8?若存在，求出NB0。的大?。?/p>

若不存在，請說明理由.

44.【黃浦18］（本題滿分14分）本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分.

如圖所示，四棱錐尸-AHC力中，底面A8C力為菱形，且Q4_L平面ABC7）,又棱

PA=AB=2,E為棱。的中點，NA3c=60。.

（1）求證：直線A￡_L平面F4B；

（2）求直線A￡1與平面尸CD所成角的正切值.

（第18題圖）

45.【長寧19](本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3

小題6分

如圖，在三棱錐O-A3c中，平面ACO_L平面A3C,AD±AC,ABLBC,E、

產(chǎn)分別為棱8C、CO的中點.

(1)求證：直線EF〃平面4?。：

(2)求證：直線3C_L平面ABD；

(3)若直線C。與平面ABC所成的角為45。，直線CQ與平面A即所成角為30°,求二

面角B-AD-C的大小.

B

（第19題）

46.【靜安19］（本題滿分16分，其中第1小題滿分8分，第2小題滿分8分）

如圖所示，在矩形A8C。中，AB=4,4）=2,E是CO的中點，。為AE的中點,

以AE為折痕將A4Z汨向上折起，使。點折到P點，且PC=PB.

（1）求證：PO上面ABCE；

（2）求AC與面R4呂所成角。的正弦值.

47.【虹口19］（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

如圖，在三棱柱A8C-ABC中，底面人是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面A4CC

為菱形，點用在底面上的投影為AC的中點。，且人8=2.

（1）求證：BDLC&；

（2）求點C到側(cè)面相用B的距離；

（3）在線段A片上是否存在點，使得直線。E與側(cè)面AA&8所成角的正弦值為手？若

存在，請求出AE的長；若不存在，請說明理由.

48.【寶山19］（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6

分）

如圖，棱長為2的正方體ABC。—A4GA中，加、N、P分別是CR、GC、A4的

中占

（1）證明：“、N、A、B四點共面；

（2）求異面直線PR與歷N所成角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（3）求三棱錐P-MV3的體積.

一模匯編【立體幾何】

一、填空題

1.【普陀2】若正四棱柱的底面周長為4、高為2,則該正四棱柱的體積為.

【答案】2

【解析】V=Sh=2

2.【虹口3】已知一個球的半徑為3,則這個球的體積為.

【答案】367t

【解析】V=g;r/=36乃

3.【浦東5】若圓錐的軸靛面是邊長為1的正三角形，則圓錐的側(cè)面積是.

【答案】:

2

【解析】/=2-=1=>廠=,,5=4〃=2

22

4.【金山5】已知一個圓錐的底面半徑為3,高為4,則該圓錐的側(cè)面積為.

【答案】15萬

【提小】母線長為/=J<+〃2=5,所以側(cè)面積為S=〃"=;rx3x5=154

5.【長寧5】如圖，在三棱臺ABC-A與G的9條棱所在直線中，與直線A3是異面直線

的共有條.

【答案】3

【分少】利用異面直線的判定定理判斷即可

【提示】86、AC、cc,

6.【嘉定5】已知某一個圓錐的側(cè)面積為2071,底面積為16兀，則這個圓錐的體積為.

【答案】1671

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為「，則九/=]6兀，解得廠=4=>S底=4,4/=20兀，解得1=5

由勾股定理，得〃=，尸_r2=,25.16=3,故圓錐的體積為:xl6兀x3=16兀

7.【松江6]已知圓錐的母線長為5,側(cè)面積為20兀，則此圓錐的體積為（結(jié)果中保

留九）.

【答案】I6n

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為「，則S惻=兀，，5=20兀，.」=4

???圓錐的高h(yuǎn)=正--=3，，圓錐的體積V=g幾/卜=；x16兀x3=16兀

JJ

B

8.【寶山7】將圓錐的側(cè)面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為.

【答案】21t

3

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為貝12M=2兀,.”=］

???圓錐的高h(yuǎn)==后，，圓錐的體積V=-Ttr2h=—7T

33

9.【靜安7］有一種空心鋼球，質(zhì)量為140.2g,測得球的外直徑等于5.0cm,若球壁厚度均

勻，則它的內(nèi)直徑約為cm.（鋼的密度是7.9g/cm3,結(jié)果保留一位小數(shù)）.【答案】

4.5

【解析】設(shè)空心鋼球的內(nèi)食徑為2“m,則（兀（3）一^兀/x7.9=140.2

所以-1402x3,解得〃。2.25,所以2r之4.5

（2）7.9x471

10.【徐匯7】已知圓錐的側(cè)面積為2兀，且側(cè)面展開圖為半圓，則底面半徑為.

［答案］］

【解析】設(shè)圓錐的母線長為/,底面圓的半徑為「/

則，乃尸=2萬，所以/=2,故底面圓的周長為，用x4=2乃\\

221----------------------J

n27n.=2兀，解得廠=1,所以底面半徑為1

11.【閔行7】如圖，對于直四棱柱48。。一44。|。1,要使4。，片。1,則在四邊形人88

中，滿足的條件可以是.（只需寫出一個正確的條件）

【答案】ACJ.4A（只要使得AGJL4R即可）

【分91利用三垂線定理或線面垂直的判定定理及線面垂直的定義可得出結(jié)論.,

【解析】連接4G，因為CG，面A81GA，8Q1U面A4GA，則與。>LCG

若AG工BR,AGcct=c,,cc「AGu面ACG，.?.片口_1_面4。6

vA（Cu面A。。］/.A。工BR.I

12.【黃浦8】已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個面積為2兀的半圓，則該圓錐的體積

【解析】—7il~=2乃=>/=2,乃二12萬=>r=1,/z=6,V=—I2xJ5="兀

2I33

13.【崇明8】將半徑為2的半圓形紙片卷成一個無蓋的圓錐筒，則該圓錐筒的高為

【答案】V3

【解析】如圖所示，圖1是圓錐（圖2）的側(cè)面展開圖

OA=OB=2,則扇形弧長/=2兀

設(shè)圓錐底面圓半徑為小則27n*=271,得廠=1

則在火公。4￡）中，圓錐的高/?=℃=亞萬=6

14.【青浦9】已知空間三點4一1,3,1）,5（2,4,0）,C（0,2,圖2

邊的平行四邊形的面積大小為.

【答案】2病

【分■】根據(jù)給定條件，利用空間向量夾角公式求出NB4C,再利用三角形面積公式計算

作答.

【解析】依題意，48=(3,AC=(1,-1,3),\AB\=\AC\=y/H,

小…ABAC1I-----；------2^/30

cosNB4C=---------=----=>sinNR4C=Jl—cos"NR4C=------

\AB\\AC\11II

所以以A4、AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S=\AB\-\AC\sinNBAC=2而.

15.【長寧9】若。4=(1,-2,0),05=(2,1,0),"=(1,1,3),則三棱錐O-ABC的體積

為.

【答案】|

【分?】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得棱錐底面積和高，結(jié)合棱錐的體積計算公式，即可

求得結(jié)果.

【解析】根據(jù)已知可得：04.08=1x2-2x1=0，即OAJ_OB,

又10A卜］尸+（_2）2=區(qū)口8卜萬不=故AOAB的面積S=：XJ^X6=￡；

不妨取平面OAB的一個法向量m=（0,0,1）,則點C到平面OAB的距離

I。。?/3

〃=1??1=二=3,

例1

故三棱錐0—A4C的體積V=1SX〃=,X*X3=9.

3322

6【嘉定9】如圖為正六棱柱ABCDE產(chǎn)-A'B'C'D'E'E'，其6個側(cè)面的12條面對角線所

在直線中，與直線異面的共有條.

【答案】5

【解析】連接A77,因為六邊形A%'c'zyE'L為正六邊形，所以故

AD'//BC

所以A',D,8,C四點共面，48,。'不是異面直線

D'

同理可得：EF'與4B共面，不是異面直線

而4B//E。，又A8',。尸,3/與48相交

故12條面對角線中，與A3異面的分別為CD,D'E,FE\A尸共5條/

17.［奉賢10］長方體43co的底面是邊長為I的正方形，若在側(cè)棱AA上至少

存在一點E，使得NC|E8=90，則側(cè)棱A4的長的最小值為.

【答案】2

【解析】設(shè)A4,=〃，AE=x,AyE=h-x,xe[0,/i]

^￡2=12+^,€；石2=(及)2+(6_%)2,8儲2=12+〃

乂因為/。海8=90,^BE2+QE2=BC^

即廣+/+(J5)2+(力一外2=*+力2,化簡得工2一"+]=o

即關(guān)于X的方程X2—濃+1=0/?0,可有解

①當(dāng)R=0時，不符合題意;

=2,當(dāng)且僅當(dāng)工二,，即x=l時取得等號:

②當(dāng)x>0時，則力=x+—22

Xx

所以側(cè)棱4/的長的最小值為2.

18.【靜安11】在空間直角坐標(biāo)系。一個z中，點P（7,4,6）關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點p

在第卦限；若點。的坐標(biāo)為（8,-1,5）,則向量PQ與向量pp夾角的余弦值

是

【答案】五；B

9

【提示】PQ=(l,-5,-l),P戶=(0,0,-12),所以cos。。,「0=-?=^—=走

\/727x129

19.【嘉定11】在空間直角坐標(biāo)系中，點4L（）,（））,點5（5,-4,3）,點C（2,0,l）,則4B在

CA方向上的投影向量的坐標(biāo)為.

【答案】?I

【解析】AB=（4,T,3）,C4=（—所以人〃在。方向卜的投影向量為

-/--\CA(AB'CA--7(77、

ABcostAB,CA}^r—=-------^xCA=1,0,-1)=—,0,—

\'|CA|CA2(22)

2().【寶山II】某人去公園郊游，在草地上搭建「如圖所示的簡易遮陽篷48C,遮陽篷是一

個直角邊長為6的等腰直角三角形，斜邊4B朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽

光線與地面成30。角，則當(dāng)遮陽篷ABC與地面所成的角大小為時，所遮陰影面A8C

面積達(dá)到最大.

【答案】60°

【答案】如圖，設(shè)48中點為。，連接C。、CZ>,則ABJ.CZ),ABJ,C7)nABd.平

面CDC,

因此NC7)C就是遮陽篷A8C與地面所成的角，求遮陰影面A8C'面積最大，即是求CD最

大，

其中已知NCCZ>=30。，8=3夜，設(shè)/DCC=O,6>G(O°,15O°),

根據(jù)正弦定理=鐺nC'。=6&sin夕逑......

sin30sin<9/，方....

當(dāng)夕二90。時遮陰影面ABC面積最大，此時ZCDC=60°./仁一^

21.【青浦11］已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底

面圓的直徑，C為下底面圓周上一點，則三棱錐尸-A6C外接球的體積為.

c.2小、1257r

22.【答案】---

48

【分廿】設(shè)外接球半徑為R,底面圓心為Q,外接球球心為。，由外接球的定義，結(jié)合圓

柱的兒何性質(zhì)，確定球心在線段。。上，直角三角形A。。上根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑，

由公式算球的體積.

【解析】由于44為下底面圓的直徑，C為下底面圓周上一點，所以A48C為直角三角形,

ZC=90°,如圖所示，設(shè)外接球半徑為R,底面圓心為Q,外接球球心為。，

由外接球的定義，OP=OA=OB=OC=R,易得。在線段PQ上，

又圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，所以底面圓半徑AQ==1,

PQ1AQ,則OA2=OQ2+AQ2=相=(2-A)?+廣=/?=：=匕求=g兀K=

22.【松江11］動點?在棱長為1的正方體表面上運(yùn)動，且與點A的促

離是氈，點/>的集合形成一條曲線，這條曲線的長度為.

3

【答案】空1t【分析】根據(jù)題意知1＜絲＜0,分情況解決即可.

63

【解析】由題意，此問題的實質(zhì)是以為A球心，拽為半徑的球,

3

因為1＜垃＜&,所以在正方體A8CQ-AAG2各個面上交線的長度計算,

3

正方體的各個面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成兩類:

ABCD,4A川耳夕或為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為巴;

6

ABCR,B、BCC\,0DCG為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，

由于截面圓半徑為，?二無，故各段弧圓心角為任；所以這條曲線長度為

32

、兀205x/3

J---------------FJ-----------=--------71?

63236

23.【長寧11］已知A4是圓柱的一條母線，A3是圓柱下底面的直徑，。是圓柱下底面圓周

上異于48的兩點，若圓柱的側(cè)面積為4兀，則三棱錐A-48C外接球體積的最小值

為.

【答案號

4

【分；】首先根據(jù)題意建立，、〃的關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式即可求解最小值.

【解析】如圖，設(shè)底面圓半徑為「，圓柱高設(shè)為力，則S網(wǎng)=2兀此=4兀=＞力=2.

因為AA3C以及△AA8均為直角三角形，根據(jù)三棱錐A—A8C外接球的性質(zhì)可知，4

43的中點。即為球心，則4*+482=力2+4，=482?同邳Ji+4產(chǎn),

h2+4r2

所以外接球的半徑R=*二+4A,得三棱錐A.-ABC外接球體積為-兀

23

所以要外接球體積最小，只需要〃2+4,最小即可,

因為人2+4產(chǎn)炒2/??2r4rh=8＞當(dāng)且僅當(dāng)J=2廣時,即r=L力=2時等號成立,

所以三棱錐A—ABC外接球體積的最小值為g兀爵二半八

二、選擇題

24.【普陀13】已知直線/、，〃和平面a、。，下列命題中的真命題是（)

(A)若〃2_L/,IHa,則〃2_La(B)若〃/a,ak/3,則/_L〃

(C)若/_L&,all0,則/_L/?(D)若/_La,加M///m

【答案】C【解析】對于A,若機(jī)J./,〃/a=m在垂直于/的某平面內(nèi)，不一定機(jī)_La,

所以A錯誤；

對于B,若〃/a,a_L/=/在平行于。的某平面內(nèi)，不一定/_L)，所以B錯誤：

對于C,若/_La,a〃/=/JL/7,所以C正確；對于D,關(guān)系未知，直線

的位置關(guān)系無法判定.

25.【楊浦14］對于平面。和兩條直線/〃、〃,下列說法正確的是()

A.若m上a,m±n,則〃〃aB.若，"、〃與a所成的角相等，則〃?〃〃

C.若加〃a,〃〃a.則in//nD.若〃?ua,m//ntn在平面a外，則n//a

【答案】D

【解析】對A.〃//。或wua,A錯誤；對B,加與〃可以相交，平行或異面，B錯誤；

對C,，〃與〃可以相交，平行或異面，C錯誤；對D,由直線與平面平行的判定定

理得〃//a,故D正確.

26.［奉賢14］紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂壺

的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石飄壺、潘壺等.其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一

個圓臺.如圖給出了一個石瓢能的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm),那么該壺的容枳約接近于()

A.100cm3B.200cm。C.300cm3D.

400cm'

【答案】B

【分析】根據(jù)圓臺的體積公式計算即可.

【解析】設(shè)R為圓臺下底面圓半徑，「為上底面圓半徑，高為/?,「

則R=5,r=3,力=4,

%辦=g兀/?(斤+Rr+/)=g兀x4?(25+15+9)=工2(X)(cm3),故選B.

27.【青浦14］已知加，〃是兩條不同直線，夕是兩個不同平面，則下列命題錯誤的是

().

A.若。，力不平行，則在。內(nèi)不存在與夕平行的直線

B若陽，〃平行于同一平面，則加與〃可能異面

C.若〃1,n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面

D.若。，力垂直于同一平面，則Q與夕可能相交

【答案】A

【分”】利用相交平面說明判斷A；舉例說明判斷B,D；利用反證法推理說明C作答.

【解析】法一：對于A,因。，〃不平行，令aB=l,存在直線aua,。吠夕，

若。/〃，貝I」。//方，故A不正確；因為是單選題，所以選A

法二：對于B,若。///,直線〃ua,〃zua,直線”與加是相交直線，則有直線人與加

都平行于一，

把直線〃平行移出平面。外為直線〃，且不在《內(nèi)，此時陽與〃是異面直線，都平行于夕，

B正確；

對于C,假定加與〃垂直于同一平面，則有相〃〃，與〃？，〃不平行矛盾，即假設(shè)是錯的，

C正確；

對于D,令ac/?=c,若直線c垂直于某個平面，由面面垂直的判定知a,￡垂直于這

一平面，D正確.

綜上，選A

28.【黃浦14］如圖，四邊形A8CO是邊長為1的正方形，MD_L平面ABCD,N8_L平面

ARCD,且MD=NR=1,點G為MC的中點.則下列結(jié)論中不正確的是（）v

N.MCLANB.平面。CM〃平面A8N\

C.直線G8與AM是異面直線D.直線GB與平面4WO無公共點/；

【答案】D

【解析】補(bǔ)全幾何體，在正方體ABCD-ANGM中研究，J/」

（第14題圖）

如圖所示：對于A：A.AN^>MCJ-AN,所以A正確；

對于B：正方體A38-ANCM中，平面〃平面A8N,所以B正確；v

對于C：正方體—中，直線GB與AM是異面直線，冷

所以C正確；對于D.GBIADDlMM=Mi,所以D錯誤；綜上所述：選D.

29.【浦東15】已知直線/與平面。相交，則下列命題中，正確的個數(shù)為（）區(qū)》

①平面。內(nèi)的所有直線均與直線/異面；②平面。內(nèi)存在與直線/垂直的直線4

③平面a內(nèi)不存在直線與直線/平行；④平面。內(nèi)所有直線均與宜線/相交.

A.lB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】對于①，錯誤，反例：平面。內(nèi)存在直線與直線/相交；

對于④，錯誤，反例：平面。內(nèi)存在直線與直線/異面；而②，③正確：所以選B.

30.【金山15】已知正四面體A8CO的楂長為6,設(shè)集合C={P||AP|W2J7,點夕￡平面

8C。},則Q表示的區(qū)域的面積為（）A.兀B.3nC.4冗

D.6兀

【答案】C

【分-h】過點A作AO_L平面BCD于點、O,利用正四面體的特點求出BO,AO的

A

長，從而得到OPW2,即得到其表示圓及其內(nèi)部，則得到其表示的區(qū)域面枳.

【解析】過點A作AOJL平面于點。，

則8。=2.8。與屋二<6乂且=26

3332

=AO=4AB2-BO2=在_（26=2>/6

因為舊，所以0尸=JAP2—AO2行j一（2廚=2，

則。表示的區(qū)域為以。為圓心，2為半徑的圓及其內(nèi)部，面積為4〃，故選C.

31.【徐匯15］已知平面？、夕、/兩兩垂直，直線。、氏c滿足：aua,bu。，cuy,

則直線a、力、c位置關(guān)系不可能是（）A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩

異面

【答案】B

【分十】作出平面以及平面的直線的所有情況即可求解.

【解析】如圖1,可得“，b,c可能兩兩垂直；

如圖2,可得。，b,能兩兩相交；

如圖3,可得〃，b,?？赡軆蓛僧惷?

對于B,如圖，假設(shè)〃///?//<?,ct\y=m,可得〃〃/力，

平面a,1,y兩兩垂直，

bu/3,:.mLb,這與加/〃相矛盾,

「?假設(shè)不成立，故B不正確；故選B.

32.【靜安16】“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面

結(jié)了先秦時期數(shù)學(xué)成就，是我國占代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)巨著，對后任薪學(xué)研究產(chǎn)生了廣泛

而深遠(yuǎn)的影響.書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積兒何？”其意思

為：“今有底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，

高為8尺，問它的體積是多少？''若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為

（）平方尺.

A.1427B.1404

—陽馬

C.138〃D.128萬

【答案】C

【分】將四棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，然后求外接球

D

C

表面積即可.

AB

【解析】如圖所示，這個四棱錐的外接球和長方體的外接球相同,

所以外接球的半徑為R=分行+8、二，四

22

外接球的表面積8=4萬/?2=1384.故選?.

三、解答題

33.【嘉定17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第I小題6分，第2小題8分

如圖，己知正四棱柱ABCO-ASGA，底面正方形A8CO的邊長為2,M=3.

（1）求證：平面A4,GC_L平面A3。；

（2）求點A到平面A8。的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）空2.

11

4A1平面48C￡>=>/

【解析】（1）正四棱柱4?。。一44儲。=.----3分

ACLBD

=>8OJ.平面A4CG,又8?？谄矫鎈BD=>平面AA.CC,J■平面A.BD；

3分

（2）設(shè)點A到平面A8。的距離為

S^BD=2,又AA_L平而A3￡>=^Af-ABD=2,......3分

由^Af-ABD=匕-4和=d==3^^為所求.-------2分

V2211

34.【崇明17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題7分，第2小題7分

如圖,長方體A3CQ—A4GA中，43=30=及，4。與底面488所成的角為45。.

（1）求四棱錐A-44CD的體積；

（2）求異面直線48與所成角的大小.

【答案】（1）—：（2）arccos-

36

【解析】（1）因為AA，平面AB。。，

所以乙41CA是AC與底面488所成的角為45。

AB=BC=6/.AC=2=>A1A=2^.................................4分

114

所以％T88=§S/z=522=5；....................................7分

(2)聯(lián)結(jié)8。，BD//B\D\.?.430是AR與8a所成的角.....3分

在根田。中，4^=4。=#,BD=2,

212

CRHL/Aa八\B-vBD—/A,D>/6八

所以cosZA8O=^--------------------——=——，............................................6分

2\BBD6

所以異面直線4出與BR所成角的大小為arccos—.................................7分

6

35.【松江17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7

分

已知AB_L平面BCD，BC1CD力、

（I）求證：平面ACO_L平面ABC；VK

（2）若48=1，CD=BC=2,求直線A。與平面ABC所成角的正弦值大小.\

【答案】⑴證明見解析；⑵*

【分析】（I）先證明C￡>_L平面ABC，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明面面垂直.^\\

（2）證明/C4。即為直線4短與平面A8C所成的角，然后解三角形即可求得該c

角大小.

【解析】(1)法一：???AB工平面BCD,CDu平面BCDAAB1CD..............2分

iS-：VABIEBCD,BCtCD,由三垂線定理，得AC_LC。,..............2分

又???8C_LC￡),且A3cBe=8,A3,8Cu平面ABCJCD_L平面ABC,...2分

TCDu