【試題分類】專題11 立體幾何-上海市高三數學一模試題分類卷【原卷+解析】

一模匯編【立體幾何】

一、填空題

1.【普陀2】若正四棱柱的底面周長為4、高為2,則該正四棱柱的體積為

2.[虹口3]已知一個球的半徑為3,則這個球的體積為

3.【浦東5】若圓錐的軸截面是邊長為I的正二角形,則圓錐的側面枳是

4.【金山5】已知一個圓錐的底面半徑為3,高為4,則該圓錐的側面積為

5.【長寧5】如圖，在三梭臺ABC-AqG的9條棱所在直線中,

與直線48是異面直線的共有條.

6.【嘉定5】已知某一個圓錐的側面積為20兀，底面積為16兀，則這個圓錐的體積為

7.【松江6】已知網錐的母線長為5,側面積為20兀，則此圓錐的體積為（結果中保

留死）.

8.【寶山7】將圓錐的側面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為.

9.【靜安7］有一種空心鋼球，質量為140.2g,測得球的外直徑等于5.0cm,若球壁厚度均

勻，則它的內直徑約為cm.（鋼的密度是7.9g/cm3,結果保留一位小數）.

10.【徐匯7］已知圓錐的側面積為2兀.日側面展開圖為半圓,則底面半杼為.

11.【閔行7】如圖，對于直四棱柱ABC?！狝gGR,要使AC_LBQ］，則在四邊形ABCD

中，滿足的條件可以是.（只需寫出一個正確的條件）

12.【黃浦8】已知一個圓錐的側面展開圖是一個面積為2兀的半圓，則該圓錐的體積

為?

13.【崇明8】將半徑為2的半圓形紙片卷成一個無蓋的圓錐筒，則該圓錐筒的高為.

14.【青浦9】已知空間三點A(—1,3,1),8(2,4,0),C(0,2,4),則以AB、AC為一組鄰

邊的平行四邊形的面積大小為.

15.【長寧9】若04=(1,-2,0),。月=(2,1,0),OC=(1,1,3),則三棱錐O-ABC的體積

為.

16.【嘉定9】如圖為正六棱柱4BCQE/-OC'O,E'L，其6個側面的12條面對角線所

在直線中，與直線異面的共有條.

17.［奉賢10］長方體人8cA4GA的底面是邊長為I的正方形，若在側棱AA上至少

存在一點E,使得NC￡8=90，則側棱A%的長的最小值為.

18.【靜安11】在空間直角坐標系?！獙Oz中，點P(7,4,6)關于坐標平面的對稱點p

在第卦限；若點。的坐標為(8,-1,5),則向量PQ與向量pp夾角的余弦值

是.

19.【嘉定11】在空間宜角坐標系中，點41,0,0),點伏5,-4,3),點C(2,0,l),則從臺在

CA方向上的投影向量的坐標為.

20.【寶山11】某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡易遮陽篷ABC,遮陽篷是一

個直角邊長為6的等腰直角三角形，斜邊A8朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽

光線與地面成30。角，則當遮陽篷ABC與地面所成的角大小為時，所遮陰影面A8C

面積達到最大.

21.【青浦11】已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底

面圓的直徑，。為下底面圓周上一點，則三棱錐P—45。外接球的體枳為.

22.【松江11］動點P在棱長為1的正方體-表面上運動，且與點A的距

離是空，點2的集合形成一條曲線，這條曲線的長度為.

3

23.【長寧11］已知AR是圓柱的一條母線，是圓柱下底面的直徑，。是圓柱下底面圓周

上異于A,8的兩點，若圓柱的側面積為4兀，則三棱錐A—A8C外接球體積的最小值

為?

二、選擇題

24.【普陀13】已知直線/、〃?和平面a、夕，下列命題中的真命題是（）

（A）若〃IHa則相JLa（B）若〃/a,a【B,則/_L￡

（C）若a〃/,則（D）若/J_a,/?1/?,則〃/〃2

25.【楊浦14】對于平面。和兩條直線機、〃，下列說法正確的是（）

A.若//_La,tn_Ln,則n//a

B.若m、〃與a所成的角相等,則加//n

C.若加〃a,〃〃a,則“？〃〃

D.若mua,m//n,n在平面a外，則〃〃a

26.［奉賢14］紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂壺

的壺型眾多，經典的有西施壺、掇球壺、石飄壺、潘壺等米中，石瓢壺的壺體可以近似看成一

個圓臺.如圖給出了一個石瓢壺的相關數據（單位：cm）,那么該壺的容積約接近于（）

A.1（）（）cm3B.200cm3

C.300cm3D.400cm3

27.【青浦14］已知加，〃是兩條不同直線，a,

().

A.若。，尸不平行，則在。內不存在與夕平行的直線

B若加，〃平行于同一平面，則陽與〃可能異面

C.若〃〃不平行，則小與〃不可能垂直于同一平面

D.若。，尸垂直于同一平面，則。與月可能相交

28.【黃浦14］如圖，四邊形A8CZ）是邊長為1的正方形，MDJ.平面A4CZ）,N8JL平面

/WC￡>,且==點G為MC的中點.則下列結論中不正確的是（）.

A.MCtAN

B.平面DCM〃平面ABN

C.直線GB與AM是異面直線

D.直線G"與平面AM力無公共點

29.【浦東15］已知直線/與平面a相交，則下列命題中，正確的個數為（)

①平面。內的所有直線均與直線/異面；

②平面a內存在與直線/垂直的直線；

③平面。內不存在直線與直線/平行；

④平面。內所有直線均與直線/相交.

A.IB.2C.3D.4

30.【金山15】已知正四面體43co的樓長為6,設集合C={P||AP|?2近，點平面

3C。},則Q表示的區(qū)域的面積為（）

A.7tB.3五

C.47cD.6完

31.【徐匯15］已知平面a、B、/兩兩垂直，直線。、氏。滿足：aua，bu。,cay,

則直線。、b、。位置關系不可能是（）

A.兩兩垂直B.兩兩平行

C.兩兩相交D,兩兩異面

32.【靜安16］“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐.《九章算術》總

結了先秦時期數學成就，是我國古代內容極為豐富的數學巨著，對后世數學研究產生了廣泛

而深遠的影響.書中有如下問題；“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何？”其意思

為：“今有底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺,

高為8尺，問它的體枳是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為

（）平方尺.

A.1424B.140乃

C.1384D.128萬

三、解答題

33.【嘉定17](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分

如圖，已知正四棱柱4G底面正方形A8CO的邊長為2,A4,=3.

(1)求證：平面A4,CCJ_平面A3O；

(2)求點A到平面A3。的距離.

34.【崇明17](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題7分，第2小題7分

如圖,長方體ABC。一AAGR中，AB=8C=J5,A。與底面A8CO所成的角為45°.

(1)求四棱錐A-A8C。的體積；

(2)求異面直線4B與8a所成角的大小.

35.【松江17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7

分

已知A8_L平面BCD,BCA.CD

（1）求證：平面ACO_L平面A8C；

（2）若AB=1，CD=BC=2,求直線AD與平面ABC所成角的正弦值大小.

36.【金山17］如圖，在四棱錐P—ABCO中，已知B4_L底面A3CD，底面ABCQ是正

方形，PA=AB.

(1)求證：直線平面B4C；

(2)求直線PC與平面P斑＞所成的角的大小.

37.【徐匯17］（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，AB=AC=2,M=4,AB_L4C,BELAB.

交A4于點￡。為CG的中點.

（1）求證：3E_L平面4片。；

（2）求直線與。與平面AB。所成角的大小.

38.【青浦18］（本題滿分14分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.

如圖，在正三棱柱ABC-中，民尸分別為34，AC中點.

（1）求證：8F〃平面A|EC；

（2）求證：平面4ECJ?平面ACGA.

39.【楊浦18](本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

如圖所示圓錐P—O中，C。為底面的直徑，AB分別為母線尸。與尸C的中點，點E

是底面圓周上一點，若NDCE=30。，AB=O,圓錐的高為JIZ.

(1)求圓錐的側面積S；

(2)求證：AE與PC是異面直線，并求其所成角的大小.

40.【普陀19］（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，"復興''橋為人行天橋，其主體結構是由兩根等長的半圓型主梁和四根豎直的立柱

吊起一塊圓環(huán)狀的橋面.主梁在橋面上方相交于點S且它們所在的平面互相垂直，S在橋面

上的射影為橋面的中心。.主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有4條可以

通往橋面的上行步道.設C。為其中的一根立柱，A為主梁與橋面大圓的連接點.

（1）求證：CO〃平面SO4；

（2）設人△為經過人的一條步道，其長度為12米且與地面所成角的大小為301橋面小圓與

大圓的半徑之比為4:5,當橋面大圓半徑為20米時，求點。到地面的距離.

41.【浦東18］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8

分.

如圖，三棱錐P—A3C中，側面BAN垂直于底面ABC,PA=PB,底面ABC是斜

邊為A8的直角三角形，且NA8C=30。，記。為A8的中點，￡為。。的中點.

（1）求證：PC-LAEi

（2）若AA=2,直線PC與底面ABC所成角的大小為60。，求四面體尸AOC的體枳.

42.【奉賢18](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分

如圖，在四面體4867)中，已知朋=3O=C4=CD,點E是AD中點.

(1)求證：AD_1_平面BEC；

9

(2)已知AB=5,BDC=arccos—,A￡)=6,作出二面角。一的平面角，并

25

求它的正弦值.

43.【閔行18］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第I小題6分，第2小題8分

如圖，已知圓柱。。的底面半徑為1,正△ABC內接于圓柱的下底面圓0,點。?是圓柱

的上底面的圓心，線段A4是圓柱的母線.

（1）求點C到平面A的距離：

（2）在劣弧8C上是否存在一點。，滿足〃平面AA8?若存在，求出NB0。的大?。?/p>

若不存在，請說明理由.

44.【黃浦18］（本題滿分14分）本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分.

如圖所示，四棱錐尸-AHC力中，底面A8C力為菱形，且Q4_L平面ABC7）,又棱

PA=AB=2,E為棱。的中點，NA3c=60。.

（1）求證：直線A￡_L平面F4B；

（2）求直線A￡1與平面尸CD所成角的正切值.

（第18題圖）

45.【長寧19](本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3

小題6分

如圖，在三棱錐O-A3c中，平面ACO_L平面A3C,AD±AC,ABLBC,E、

產分別為棱8C、CO的中點.

(1)求證：直線EF〃平面4?。：

(2)求證：直線3C_L平面ABD；

(3)若直線C。與平面ABC所成的角為45。，直線CQ與平面A即所成角為30°,求二

面角B-AD-C的大小.

B

（第19題）

46.【靜安19］（本題滿分16分，其中第1小題滿分8分，第2小題滿分8分）

如圖所示，在矩形A8C。中，AB=4,4）=2,E是CO的中點，。為AE的中點,

以AE為折痕將A4Z汨向上折起，使。點折到P點，且PC=PB.

（1）求證：PO上面ABCE；

（2）求AC與面R4呂所成角。的正弦值.

47.【虹口19］（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

如圖，在三棱柱A8C-ABC中，底面人是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側面A4CC

為菱形，點用在底面上的投影為AC的中點。，且人8=2.

（1）求證：BDLC&；

（2）求點C到側面相用B的距離；

（3）在線段A片上是否存在點，使得直線。E與側面AA&8所成角的正弦值為手？若

存在，請求出AE的長；若不存在，請說明理由.

48.【寶山19］（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6

分）

如圖，棱長為2的正方體ABC。—A4GA中，加、N、P分別是CR、GC、A4的

中占

（1）證明：“、N、A、B四點共面；

（2）求異面直線PR與歷N所成角的大??；（結果用反三角函數值表示）；

（3）求三棱錐P-MV3的體積.

一模匯編【立體幾何】

一、填空題

1.【普陀2】若正四棱柱的底面周長為4、高為2,則該正四棱柱的體積為.

【答案】2

【解析】V=Sh=2

2.【虹口3】已知一個球的半徑為3,則這個球的體積為.

【答案】367t

【解析】V=g;r/=36乃

3.【浦東5】若圓錐的軸靛面是邊長為1的正三角形，則圓錐的側面積是.

【答案】:

2

【解析】/=2-=1=>廠=,,5=4〃=2

22

4.【金山5】已知一個圓錐的底面半徑為3,高為4,則該圓錐的側面積為.

【答案】15萬

【提小】母線長為/=J<+〃2=5,所以側面積為S=〃"=;rx3x5=154

5.【長寧5】如圖，在三棱臺ABC-A與G的9條棱所在直線中，與直線A3是異面直線

的共有條.

【答案】3

【分少】利用異面直線的判定定理判斷即可

【提示】86、AC、cc,

6.【嘉定5】已知某一個圓錐的側面積為2071,底面積為16兀，則這個圓錐的體積為.

【答案】1671

【解析】設圓錐的底面半徑為「，則九/=]6兀，解得廠=4=>S底=4,4/=20兀，解得1=5

由勾股定理，得〃=，尸_r2=,25.16=3,故圓錐的體積為:xl6兀x3=16兀

7.【松江6]已知圓錐的母線長為5,側面積為20兀，則此圓錐的體積為（結果中保

留九）.

【答案】I6n

【解析】設圓錐的底面半徑為「，則S惻=兀，，5=20兀，.」=4

???圓錐的高h=正--=3，，圓錐的體積V=g幾/卜=；x16兀x3=16兀

JJ

B

8.【寶山7】將圓錐的側面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為.

【答案】21t

3

【解析】設圓錐的底面半徑為貝12M=2兀,.”=］

???圓錐的高h==后，，圓錐的體積V=-Ttr2h=—7T

33

9.【靜安7］有一種空心鋼球，質量為140.2g,測得球的外直徑等于5.0cm,若球壁厚度均

勻，則它的內直徑約為cm.（鋼的密度是7.9g/cm3,結果保留一位小數）.【答案】

4.5

【解析】設空心鋼球的內食徑為2“m,則（兀（3）一^兀/x7.9=140.2

所以-1402x3,解得〃。2.25,所以2r之4.5

（2）7.9x471

10.【徐匯7】已知圓錐的側面積為2兀，且側面展開圖為半圓，則底面半徑為.

［答案］］

【解析】設圓錐的母線長為/,底面圓的半徑為「/

則，乃尸=2萬，所以/=2,故底面圓的周長為，用x4=2乃\\

221----------------------J

n27n.=2兀，解得廠=1,所以底面半徑為1

11.【閔行7】如圖，對于直四棱柱48。。一44。|。1,要使4。，片。1,則在四邊形人88

中，滿足的條件可以是.（只需寫出一個正確的條件）

【答案】ACJ.4A（只要使得AGJL4R即可）

【分91利用三垂線定理或線面垂直的判定定理及線面垂直的定義可得出結論.,

【解析】連接4G，因為CG，面A81GA，8Q1U面A4GA，則與。>LCG

若AG工BR,AGcct=c,,cc「AGu面ACG，.?.片口_1_面4。6

vA（Cu面A。。］/.A。工BR.I

12.【黃浦8】已知一個圓錐的側面展開圖是一個面積為2兀的半圓，則該圓錐的體積

【解析】—7il~=2乃=>/=2,乃二12萬=>r=1,/z=6,V=—I2xJ5="兀

2I33

13.【崇明8】將半徑為2的半圓形紙片卷成一個無蓋的圓錐筒，則該圓錐筒的高為

【答案】V3

【解析】如圖所示，圖1是圓錐（圖2）的側面展開圖

OA=OB=2,則扇形弧長/=2兀

設圓錐底面圓半徑為小則27n*=271,得廠=1

則在火公。4￡）中，圓錐的高/?=℃=亞萬=6

14.【青浦9】已知空間三點4一1,3,1）,5（2,4,0）,C（0,2,圖2

邊的平行四邊形的面積大小為.

【答案】2病

【分■】根據給定條件，利用空間向量夾角公式求出NB4C,再利用三角形面積公式計算

作答.

【解析】依題意，48=(3,AC=(1,-1,3),\AB\=\AC\=y/H,

小…ABAC1I-----；------2^/30

cosNB4C=---------=----=>sinNR4C=Jl—cos"NR4C=------

\AB\\AC\11II

所以以A4、AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S=\AB\-\AC\sinNBAC=2而.

15.【長寧9】若。4=(1,-2,0),05=(2,1,0),"=(1,1,3),則三棱錐O-ABC的體積

為.

【答案】|

【分?】根據空間向量的坐標運算，求得棱錐底面積和高，結合棱錐的體積計算公式，即可

求得結果.

【解析】根據已知可得：04.08=1x2-2x1=0，即OAJ_OB,

又10A卜］尸+（_2）2=區(qū)口8卜萬不=故AOAB的面積S=：XJ^X6=￡；

不妨取平面OAB的一個法向量m=（0,0,1）,則點C到平面OAB的距離

I。。?/3

〃=1??1=二=3,

例1

故三棱錐0—A4C的體積V=1SX〃=,X*X3=9.

3322

6【嘉定9】如圖為正六棱柱ABCDE產-A'B'C'D'E'E'，其6個側面的12條面對角線所

在直線中，與直線異面的共有條.

【答案】5

【解析】連接A77,因為六邊形A%'c'zyE'L為正六邊形，所以故

AD'//BC

所以A',D,8,C四點共面，48,。'不是異面直線

D'

同理可得：EF'與4B共面，不是異面直線

而4B//E。，又A8',。尸,3/與48相交

故12條面對角線中，與A3異面的分別為CD,D'E,FE\A尸共5條/

17.［奉賢10］長方體43co的底面是邊長為I的正方形，若在側棱AA上至少

存在一點E，使得NC|E8=90，則側棱A4的長的最小值為.

【答案】2

【解析】設A4,=〃，AE=x,AyE=h-x,xe[0,/i]

^￡2=12+^,€；石2=(及)2+(6_%)2,8儲2=12+〃

乂因為/。海8=90,^BE2+QE2=BC^

即廣+/+(J5)2+(力一外2=*+力2,化簡得工2一"+]=o

即關于X的方程X2—濃+1=0/?0,可有解

①當R=0時，不符合題意;

=2,當且僅當工二,，即x=l時取得等號:

②當x>0時，則力=x+—22

Xx

所以側棱4/的長的最小值為2.

18.【靜安11】在空間直角坐標系。一個z中，點P（7,4,6）關于坐標平面xOy的對稱點p

在第卦限；若點。的坐標為（8,-1,5）,則向量PQ與向量pp夾角的余弦值

是

【答案】五；B

9

【提示】PQ=(l,-5,-l),P戶=(0,0,-12),所以cos。。,「0=-?=^—=走

\/727x129

19.【嘉定11】在空間直角坐標系中，點4L（）,（））,點5（5,-4,3）,點C（2,0,l）,則4B在

CA方向上的投影向量的坐標為.

【答案】?I

【解析】AB=（4,T,3）,C4=（—所以人〃在。方向卜的投影向量為

-/--\CA(AB'CA--7(77、

ABcostAB,CA}^r—=-------^xCA=1,0,-1)=—,0,—

\'|CA|CA2(22)

2().【寶山II】某人去公園郊游，在草地上搭建「如圖所示的簡易遮陽篷48C,遮陽篷是一

個直角邊長為6的等腰直角三角形，斜邊4B朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽

光線與地面成30。角，則當遮陽篷ABC與地面所成的角大小為時，所遮陰影面A8C

面積達到最大.

【答案】60°

【答案】如圖，設48中點為。，連接C。、CZ>,則ABJ.CZ),ABJ,C7)nABd.平

面CDC,

因此NC7)C就是遮陽篷A8C與地面所成的角，求遮陰影面A8C'面積最大，即是求CD最

大，

其中已知NCCZ>=30。，8=3夜，設/DCC=O,6>G(O°,15O°),

根據正弦定理=鐺nC'。=6&sin夕逑......

sin30sin<9/，方....

當夕二90。時遮陰影面ABC面積最大，此時ZCDC=60°./仁一^

21.【青浦11］已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底

面圓的直徑，C為下底面圓周上一點，則三棱錐尸-A6C外接球的體積為.

c.2小、1257r

22.【答案】---

48

【分廿】設外接球半徑為R,底面圓心為Q,外接球球心為。，由外接球的定義，結合圓

柱的兒何性質，確定球心在線段。。上，直角三角形A。。上根據幾何關系求出外接球半徑，

由公式算球的體積.

【解析】由于44為下底面圓的直徑，C為下底面圓周上一點，所以A48C為直角三角形,

ZC=90°,如圖所示，設外接球半徑為R,底面圓心為Q,外接球球心為。，

由外接球的定義，OP=OA=OB=OC=R,易得。在線段PQ上，

又圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，所以底面圓半徑AQ==1,

PQ1AQ,則OA2=OQ2+AQ2=相=(2-A)?+廣=/?=：=匕求=g兀K=

22.【松江11］動點?在棱長為1的正方體表面上運動，且與點A的促

離是氈，點/>的集合形成一條曲線，這條曲線的長度為.

3

【答案】空1t【分析】根據題意知1＜絲＜0,分情況解決即可.

63

【解析】由題意，此問題的實質是以為A球心，拽為半徑的球,

3

因為1＜垃＜&,所以在正方體A8CQ-AAG2各個面上交線的長度計算,

3

正方體的各個面根據與球心位置關系分成兩類:

ABCD,4A川耳夕或為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為巴;

6

ABCR,B、BCC\,0DCG為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，

由于截面圓半徑為，?二無，故各段弧圓心角為任；所以這條曲線長度為

32

、兀205x/3

J---------------FJ-----------=--------71?

63236

23.【長寧11］已知A4是圓柱的一條母線，A3是圓柱下底面的直徑，。是圓柱下底面圓周

上異于48的兩點，若圓柱的側面積為4兀，則三棱錐A-48C外接球體積的最小值

為.

【答案號

4

【分；】首先根據題意建立，、〃的關系式，再結合基本不等式即可求解最小值.

【解析】如圖，設底面圓半徑為「，圓柱高設為力，則S網=2兀此=4兀=＞力=2.

因為AA3C以及△AA8均為直角三角形，根據三棱錐A—A8C外接球的性質可知，4

43的中點。即為球心，則4*+482=力2+4，=482?同邳Ji+4產,

h2+4r2

所以外接球的半徑R=*二+4A,得三棱錐A.-ABC外接球體積為-兀

23

所以要外接球體積最小，只需要〃2+4,最小即可,

因為人2+4產炒2/??2r4rh=8＞當且僅當J=2廣時,即r=L力=2時等號成立,

所以三棱錐A—ABC外接球體積的最小值為g兀爵二半八

二、選擇題

24.【普陀13】已知直線/、，〃和平面a、。，下列命題中的真命題是（)

(A)若〃2_L/,IHa,則〃2_La(B)若〃/a,ak/3,則/_L〃

(C)若/_L&,all0,則/_L/?(D)若/_La,加M///m

【答案】C【解析】對于A,若機J./,〃/a=m在垂直于/的某平面內，不一定機_La,

所以A錯誤；

對于B,若〃/a,a_L/=/在平行于。的某平面內，不一定/_L)，所以B錯誤：

對于C,若/_La,a〃/=/JL/7,所以C正確；對于D,關系未知，直線

的位置關系無法判定.

25.【楊浦14］對于平面。和兩條直線/〃、〃,下列說法正確的是()

A.若m上a,m±n,則〃〃aB.若，"、〃與a所成的角相等，則〃?〃〃

C.若加〃a,〃〃a.則in//nD.若〃?ua,m//ntn在平面a外，則n//a

【答案】D

【解析】對A.〃//?；騱ua,A錯誤；對B,加與〃可以相交，平行或異面，B錯誤；

對C,，〃與〃可以相交，平行或異面，C錯誤；對D,由直線與平面平行的判定定

理得〃//a,故D正確.

26.［奉賢14］紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂壺

的壺型眾多，經典的有西施壺、掇球壺、石飄壺、潘壺等.其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一

個圓臺.如圖給出了一個石瓢能的相關數據(單位：cm),那么該壺的容枳約接近于()

A.100cm3B.200cm。C.300cm3D.

400cm'

【答案】B

【分析】根據圓臺的體積公式計算即可.

【解析】設R為圓臺下底面圓半徑，「為上底面圓半徑，高為/?,「

則R=5,r=3,力=4,

%辦=g兀/?(斤+Rr+/)=g兀x4?(25+15+9)=工2(X)(cm3),故選B.

27.【青浦14］已知加，〃是兩條不同直線，夕是兩個不同平面，則下列命題錯誤的是

().

A.若。，力不平行，則在。內不存在與夕平行的直線

B若陽，〃平行于同一平面，則加與〃可能異面

C.若〃1,n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面

D.若。，力垂直于同一平面，則Q與夕可能相交

【答案】A

【分”】利用相交平面說明判斷A；舉例說明判斷B,D；利用反證法推理說明C作答.

【解析】法一：對于A,因。，〃不平行，令aB=l,存在直線aua,。吠夕，

若。/〃，貝I」。//方，故A不正確；因為是單選題，所以選A

法二：對于B,若。///,直線〃ua,〃zua,直線”與加是相交直線，則有直線人與加

都平行于一，

把直線〃平行移出平面。外為直線〃，且不在《內，此時陽與〃是異面直線，都平行于夕，

B正確；

對于C,假定加與〃垂直于同一平面，則有相〃〃，與〃？，〃不平行矛盾，即假設是錯的，

C正確；

對于D,令ac/?=c,若直線c垂直于某個平面，由面面垂直的判定知a,￡垂直于這

一平面，D正確.

綜上，選A

28.【黃浦14］如圖，四邊形A8CO是邊長為1的正方形，MD_L平面ABCD,N8_L平面

ARCD,且MD=NR=1,點G為MC的中點.則下列結論中不正確的是（）v

N.MCLANB.平面。CM〃平面A8N\

C.直線G8與AM是異面直線D.直線GB與平面4WO無公共點/；

【答案】D

【解析】補全幾何體，在正方體ABCD-ANGM中研究，J/」

（第14題圖）

如圖所示：對于A：A.AN^>MCJ-AN,所以A正確；

對于B：正方體A38-ANCM中，平面〃平面A8N,所以B正確；v

對于C：正方體—中，直線GB與AM是異面直線，冷

所以C正確；對于D.GBIADDlMM=Mi,所以D錯誤；綜上所述：選D.

29.【浦東15】已知直線/與平面。相交，則下列命題中，正確的個數為（）區(qū)》

①平面。內的所有直線均與直線/異面；②平面。內存在與直線/垂直的直線4

③平面a內不存在直線與直線/平行；④平面。內所有直線均與宜線/相交.

A.lB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】對于①，錯誤，反例：平面。內存在直線與直線/相交；

對于④，錯誤，反例：平面。內存在直線與直線/異面；而②，③正確：所以選B.

30.【金山15】已知正四面體A8CO的楂長為6,設集合C={P||AP|W2J7,點夕￡平面

8C。},則Q表示的區(qū)域的面積為（）A.兀B.3nC.4冗

D.6兀

【答案】C

【分-h】過點A作AO_L平面BCD于點、O,利用正四面體的特點求出BO,AO的

A

長，從而得到OPW2,即得到其表示圓及其內部，則得到其表示的區(qū)域面枳.

【解析】過點A作AOJL平面于點。，

則8。=2.8。與屋二<6乂且=26

3332

=AO=4AB2-BO2=在_（26=2>/6

因為舊，所以0尸=JAP2—AO2行j一（2廚=2，

則。表示的區(qū)域為以。為圓心，2為半徑的圓及其內部，面積為4〃，故選C.

31.【徐匯15］已知平面？、夕、/兩兩垂直，直線。、氏c滿足：aua,bu。，cuy,

則直線a、力、c位置關系不可能是（）A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩

異面

【答案】B

【分十】作出平面以及平面的直線的所有情況即可求解.

【解析】如圖1,可得“，b,c可能兩兩垂直；

如圖2,可得。，b,能兩兩相交；

如圖3,可得〃，b,?？赡軆蓛僧惷?

對于B,如圖，假設〃///?//<?,ct\y=m,可得〃〃/力，

平面a,1,y兩兩垂直，

bu/3,:.mLb,這與加/〃相矛盾,

「?假設不成立，故B不正確；故選B.

32.【靜安16】“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側棱與底面

結了先秦時期數學成就，是我國占代內容極為豐富的數學巨著，對后任薪學研究產生了廣泛

而深遠的影響.書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積兒何？”其意思

為：“今有底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，

高為8尺，問它的體積是多少？''若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為

（）平方尺.

A.1427B.1404

—陽馬

C.138〃D.128萬

【答案】C

【分】將四棱錐的外接球轉化為長方體的外接球，然后求外接球

D

C

表面積即可.

AB

【解析】如圖所示，這個四棱錐的外接球和長方體的外接球相同,

所以外接球的半徑為R=分行+8、二，四

22

外接球的表面積8=4萬/?2=1384.故選?.

三、解答題

33.【嘉定17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第I小題6分，第2小題8分

如圖，己知正四棱柱ABCO-ASGA，底面正方形A8CO的邊長為2,M=3.

（1）求證：平面A4,GC_L平面A3。；

（2）求點A到平面A8。的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）空2.

11

4A1平面48C￡>=>/

【解析】（1）正四棱柱4?。。一44儲。=.----3分

ACLBD

=>8OJ.平面A4CG,又8?？谄矫鎈BD=>平面AA.CC,J■平面A.BD；

3分

（2）設點A到平面A8。的距離為

S^BD=2,又AA_L平而A3￡>=^Af-ABD=2,......3分

由^Af-ABD=匕-4和=d==3^^為所求.-------2分

V2211

34.【崇明17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題7分，第2小題7分

如圖,長方體A3CQ—A4GA中，43=30=及，4。與底面488所成的角為45。.

（1）求四棱錐A-44CD的體積；

（2）求異面直線48與所成角的大小.

【答案】（1）—：（2）arccos-

36

【解析】（1）因為AA，平面AB。。，

所以乙41CA是AC與底面488所成的角為45。

AB=BC=6/.AC=2=>A1A=2^.................................4分

114

所以％T88=§S/z=522=5；....................................7分

(2)聯結8。，BD//B\D\.?.430是AR與8a所成的角.....3分

在根田。中，4^=4。=#,BD=2,

212

CRHL/Aa八\B-vBD—/A,D>/6八

所以cosZA8O=^--------------------——=——，............................................6分

2\BBD6

所以異面直線4出與BR所成角的大小為arccos—.................................7分

6

35.【松江17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7

分

已知AB_L平面BCD，BC1CD力、

（I）求證：平面ACO_L平面ABC；VK

（2）若48=1，CD=BC=2,求直線A。與平面ABC所成角的正弦值大小.\

【答案】⑴證明見解析；⑵*

【分析】（I）先證明C￡>_L平面ABC，再根據面面垂直的判定定理證明面面垂直.^\\

（2）證明/C4。即為直線4短與平面A8C所成的角，然后解三角形即可求得該c

角大小.

【解析】(1)法一：???AB工平面BCD,CDu平面BCDAAB1CD..............2分

iS-：VABIEBCD,BCtCD,由三垂線定理，得AC_LC。,..............2分

又???8C_LC￡),且A3cBe=8,A3,8Cu平面ABCJCD_L平面ABC,...2分

TCDu