八年級(jí)上冊(cè)《等腰三角形的判定》課件與練習(xí)

第十三章

軸對(duì)稱13.3.1

等腰三角形

第2課時(shí)

等腰三角形判定1.通過對(duì)等腰三角形判定定理的證明，發(fā)展學(xué)生的歸納猜想能力，培養(yǎng)學(xué)生推理能力。2.應(yīng)用判定定理解決問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。3.提高學(xué)生證明文字命題的能力,培養(yǎng)舉一反三、靈活變換的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)文字語言向符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化能力.4.體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)際,運(yùn)用于實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想,欣賞數(shù)學(xué)的幾何美、對(duì)稱美.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等腰三角形判定定理及應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)和判定的互逆關(guān)系.1.等腰三角形的定義？有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形.①等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成“等邊對(duì)等角”)

.2.等腰三角形有哪些性質(zhì)？DABC幾何語言：∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).ABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？

如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對(duì)的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?CABAB=AC你能驗(yàn)證你的結(jié)論嗎？等腰三角形的判定知識(shí)點(diǎn)學(xué)生活動(dòng)

【一起探究】

請(qǐng)同學(xué)用直尺和量角器，畫一個(gè)△ABC，其中∠B=∠C=30°，請(qǐng)你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？小活動(dòng)在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.過A作AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.證明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.∴

AC=AB.()即△ABC為等腰三角形.∵∠B=∠C，()等腰三角形的判定方法：

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等邊”，這又是一個(gè)判定兩條線段相等的根據(jù)之一）.已知等角對(duì)等邊在△ABC中，BCA((歸納總結(jié)應(yīng)用格式：ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對(duì)等邊）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對(duì)等邊）.錯(cuò)，因?yàn)槎疾皇窃谕粋€(gè)三角形中.【思考】如圖,下列推理正確嗎?例1求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．ABCE（（12D利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形狀素養(yǎng)考點(diǎn)1證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．ABCE（（12D已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點(diǎn)E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等),∴AE=DE(等角對(duì)等邊）,∴△AED是等腰三角形.例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB=AD.BADC由平行及角平分線識(shí)別等腰三角形素養(yǎng)考點(diǎn)2證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD.總結(jié)：平分角+平行=等腰三角形BADC如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______.3cm如圖，把一張長方形的紙沿著對(duì)角線折疊，重合部分是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？BCADE答：是.由折疊可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.∴∠EDB=∠CBD，例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點(diǎn)F，求證：△CEF是等腰三角形．通過計(jì)算角相等來證明等腰三角形素養(yǎng)考點(diǎn)3證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法點(diǎn)撥

“等角對(duì)等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，它的前提條件是“在同一個(gè)三角形中”．如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E在BC邊上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是 (

)

A.4 B.5 C.6 D.7C

解析:∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠BAC=108°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6個(gè).例4已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作等腰△ABC.使底邊BC=a，底邊上的高為h.ah利用尺規(guī)作圖作等腰三角形素養(yǎng)考點(diǎn)4作法：1.作線段AB=a.2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點(diǎn)D.3.在MN上取一點(diǎn)C，使DC=h.4.連接AC，BC，則△ABC即為所求.ABCMND例5

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF，BE，F(xiàn)C之間的關(guān)系.ABCOEF利用等腰三角形的判定證明線段之間的關(guān)系素養(yǎng)考點(diǎn)5解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴

EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEFOABCEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結(jié)論還成立嗎？方法點(diǎn)撥

判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過證明線段所在的兩個(gè)三角形全等或利用同一個(gè)三角形中“等角對(duì)等邊”，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，解決問題.OABCMN123456在ΔABC中,OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，過O點(diǎn)作MN∥BC.

ΔAMN的周長=AB+AC嗎？為什么？∴MN=OABCMN123456∴ΔAMN的周長=AM+MN+ANBM+CN.=AM+BM+CN+AN=AB+AC.解：∵OB平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵M(jìn)N∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.∴OM=BM.同理得：ON=CN.

∵

MN=OM+ON,1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分別是∠ABC,∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)2.一個(gè)三角形的一個(gè)外角為130°，且它恰好等于一個(gè)不相鄰的內(nèi)角的2倍.這個(gè)三角形是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形CA3.如圖，上午10時(shí)，一條船從A處出發(fā)以20海里每小時(shí)的速度向正北航行，中午12時(shí)到達(dá)B處，從A、B望燈塔C，測(cè)得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求從B處到燈塔C的距離.解：∵∠NBC=∠A+∠C，

∴∠C=80°–40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC(等角對(duì)等邊).∵AB=20×(12–10)=40(海里),∴BC=40海里.答：B處距離燈塔C為40海里.80°40°NBAC北等腰三角形的判定等角對(duì)等邊定義注意是指同一個(gè)三角形中有兩邊相等的三角形是等腰三角形

1.

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角

，那么這兩個(gè)角所對(duì)的

?也

相等(簡寫成“

”).2.

如圖，在△

ABC

中，若∠

B

＝∠

C

，則

?.相等邊等角對(duì)等邊AB

＝

AC

課后作業(yè)

1.

在△

ABC

中，∠

A

＝50°，∠

B

＝65°，則下列結(jié)論正確的是

(

C

)A.

AB

＝

BC

B.

AC

＝

BC

C.

AB

＝

AC

D.

AB

＝

BC

＝

AC

C2.

如圖，把長方形紙片

ABCD

沿對(duì)角線折疊，設(shè)重疊部分為△

EBD

，

則下列說法錯(cuò)誤的是(

B

)A.

△

EBD

是等腰三角形，

EB

＝

ED

B.

折疊后∠

ABE

和∠

CBD

一定相等C.

折疊后得到的圖形是軸對(duì)稱圖形D.

△

EBA

和△

EDC

一定是全等三角形B3.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，點(diǎn)

D

，

E

在

BC

邊上，∠

ABD

＝∠

DAE

＝∠

EAC

＝36°，則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是(

C

)

A.

4個(gè)B.

5個(gè)C.

6個(gè)D.

7個(gè)C4.

已知等腰三角形底邊長為

a

，底邊上的高為

h

，求作這個(gè)等腰三角

形.(補(bǔ)全過程)作法：如圖，(1)作線段

AB

＝

?；(2)作線段

AB

的

MN

，與

AB

相交于點(diǎn)

?；(3)在

MN

上取一點(diǎn)

C

，使

DC

＝

?；(4)連接

AC

，

BC

，則△

ABC

就是所求作的

?.a

垂直平分線D

h

等腰三角形5.

如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

，∠

ACB

的平分線交于點(diǎn)

F

，過點(diǎn)

F

作

DE

∥

BC

分別交

AB

，

AC

于點(diǎn)

D

，

E

，已知△

ADE

的周長為20

cm，且

BC

＝12

cm，求△

ABC

的周長.解：∵∠

ABC

，∠

ACB

的平分線交于點(diǎn)

F

，∴∠

DBF

＝∠

FBC

，∠

ECF

＝∠

BCF

.

又∵

DE

∥

BC

，∴∠

DFB

＝∠

FBC

，∠

EFC

＝∠

BCF

.

∴∠

DFB

＝∠

DBF

，∠

EFC

＝∠

ECF

.

∴

BD

＝

DF

，

EC

＝

EF

.

∵△

ADE

的周長為20

cm，即

AD

＋

AE

＋

DF

＋

EF

＝20

cm，∴

AD

＋

AE

＋

BD

＋

EC

＝

AB

＋

AC

＝20

cm.又∵

BC

＝12

cm，∴

AB

＋

AC

＋

BC

＝20＋12＝32(cm)，即△

ABC

的周

長為32

cm.第十三章軸對(duì)稱13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形《第2課時(shí)等腰三角形的判定》同步練習(xí)

等腰三角形判定1.

【教材第79頁練習(xí)第1題改編】如圖所示，共有等腰三角形(

B

)A.

4個(gè)B.

5個(gè)C.

3個(gè)D.

2個(gè)B【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得∠

ABO

＝∠

DCO

＝36°，根據(jù)三

角形的外角的性質(zhì)，得∠

AOB

＝∠

COD

＝72°.再根據(jù)等角對(duì)等邊，得

等腰三角形有△

AOB

，△

COD

，△

ABC

，△

CBD

和△

BOC

，共5個(gè).2.

求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這

個(gè)三角形是等腰三角形.已知：如圖，∠

CAE

是△

ABC

的外角，∠1＝∠2，

AD

∥

BC

.

求證：

AB

＝

AC

.

以下是排亂的證明過程：①又∵∠1＝∠2；②∠

B

＝∠

C

；③

AD

∥

BC

；④∠1＝∠

B

，∠2＝∠

C

；⑤

AB

＝

AC

.

證明步驟正確的順序是(

B

)A.

③→②→①→④→⑤B.

③→④→①→②→⑤C.

①→②→④→③→⑤D.

①→④→③→②→⑤B3.

如圖，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BE

平分∠

ABC

，

CE

平

分∠

ACB

，過點(diǎn)

E

作

DF

∥

BC

，若

AB

＝2

cm，則△

ADF

的周長為

?.4cm

4.

如圖，已知∠

C

＝∠

D

＝90°，

AC

與

BD

交于點(diǎn)

O

，

AC

＝

BD

.

(1)求證：

BC

＝

AD

；

(2)求證：點(diǎn)

O

在線段

AB

的垂直平分線上.證明：(2)∵Rt△

ACB

≌Rt△

BDA

，∴∠

CAB

＝∠

DBA

.

∴

OA

＝

OB

.

∴點(diǎn)

O

在線段

AB

的垂直平分線上.

尺規(guī)作等腰三角形5.

如圖，已知：線段

a

，∠α.求作：△

ABC

，使∠

A

＝∠α，

AB

＝

AC

，且

BC

邊上的高

AD

＝

a

.(要

求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明)解：如圖所示，△

ABC

即為所求.

6.

如圖，

AB

＝

AC

，

AB

的垂直平分線交

AB

于點(diǎn)

D

，交

AC

于點(diǎn)

E

，

BE

恰好平分∠

ABC

，有以下結(jié)論：①

ED

＝

EC

；②△

AEB

的周長等于2

AE

＋

EC

；③圖中共有3個(gè)等腰三角形；

④∠

A

＝36°.其中正確的共有(

C

)A.

4個(gè)B.

3個(gè)C.

2個(gè)D.

1個(gè)C【解析】①由題意可知，

DE

⊥

AB

，

BE

平分∠

ABC

，∴當(dāng)

EC

⊥

BC

時(shí)，有

ED

＝

EC

.

∵

AB

＝

AC

，∴∠

ACB

不可能等于90°.∴

ED

＝

EC

不正確.②∵點(diǎn)

E

在線段

AB

的垂直平分線上，∴

EA

＝

EB

.

∴△

AEB

的周長為

EA

＋

EB

＋

AB

＝

EA

＋

EA

＋

AB

＝2

EA

＋

AB

.

∵

AB

＝

AC

，且

AC

＝

AE

＋

EC

，∴

EA

＋

EB

＋

AB

＝3

AE

＋

EC

.

∴②不正確.③∵

AB

＝

AC

，∴△

ABC

為等腰三角形，∠

C

＝∠

ABC

.

∵

EA

＝

EB

，∴△

EAB

為等腰三角形，∠

A

＝∠

ABE

.

∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

CBE

.

∴∠

C

＝2∠

CBE

.

又∵∠

BEC

＝∠

A

＋∠

ABE

＝2∠

CBE

，∴∠

BEC

＝∠

C

.

∴

BE

＝

BC

.

∴△

BEC

為等腰三角形.∴圖中共有3個(gè)等腰三角形.∴③正確.④由③可得∠

BEC

＝∠

C

＝2∠

EBC

，∴2∠

EBC

＋2∠

EBC

＋∠

EBC

＝180°.∴∠

EBC

＝36°.∴∠

A

＝∠

ABE

＝∠

EBC

＝36°.∴④正確.∴正確的有③④，共兩個(gè).7.

如圖，已知在△

ABC

中，

AB

＝3，

AC

＝5，

BC

＝7，在△

ABC

所在

平面內(nèi)的一條直線，將△

ABC

分割成兩個(gè)三角形，使其中含

AB

邊的三

角形為等腰三角形，則這樣的直線最多可畫

條.4

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用

AB

為底以及

AB

為腰，得出

符合題意的圖形即可.如圖所示，當(dāng)

AB

＝

AF

＝3，

BA

＝

BD

＝3，

AB

＝

AE

＝3，

BG

＝

AG

時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形.