理論力學公式

師兄的建議：考試不僅僅是知識的積累，更重要的是會學，重點考試內容必須掌握，所以我們要好好

復習

靜力學

靜力學是研究物體在力系作用下平衡的科學。

第一章、靜力學公理和物體的受力分析

教學目標掌握物體的受力分析和正確畫出受力圖。

知識結構|:

1、根本概念：力、剛體、約束和約束力的概念。

2、靜力學公理：

(1)力的平行四邊形法那么；(三角形法那么、多邊形法那么)注意：與力偶的區(qū)別

(2)二力平衡公理；(二力構件)

(3)加減平衡力系公理；(推論：力的可傳性、三力平衡匯交定理)

(4)作用與反作用定律；

(5)剛化原理。

3、常見約束類型與其約束力：

(1)光滑接觸約束一一約束力沿接觸處的公法線；

(2)柔性約束一一對被約束物體與柔性體本身約束力為拉力；

(3)較鏈約束一一約束力一般畫為正交兩個力，也可畫為一個力；

(4)活動較支座---約束力為一個力也畫為一個力；

(5)球較鏈----約束力一般畫為正交三個力，也可畫為一個力；

(6)止推軸承一一約束力一般畫為正交三個力；

(7)固定端約束一一兩個正交約束力，一個約束力偶。

4、物體受力分析和受力圖：

(1)畫出所要研究的物體的草圖；

(2)對所要研究的物體進行受力分析；

(3)嚴格按約束的性質畫出物體的受力。

意點：(1)畫全主動力和約束力；

注(2)畫簡圖時，不要把各個構件混在一起畫受力圖：

(3)靈活利用二力平衡公理(二力構件)和三力平衡匯交定理；

(4)作用力與反作用力。

第二章、平面匯交力系與平面力偶系

教學目樹:掌握平面匯交力系和平面力偶系的合成與平衡的計算方法。

知識結構|：

I、平面匯交力系：

(1)幾何法(合成：力多邊形法那么；平衡：力多邊形自行封閉)

(2)解析法(合成：合力大小與方向用解析式；平衡：平衡方程Ze=o，

意點：（1）投影軸盡量與未知力垂直：（投影軸不一定相互垂直）

注（2）對于二力構件，一般先設為拉力，假設求出負值，說明受壓。

2、平面力對點之矩一一M（）（F）=±Fh,逆時針正，反之負

意點：靈活利用合力矩定理

注3、平面力偶系：

（1）力偶：由兩個等值、反向、平行不共線的力組成的刀系。

（2）力偶矩：M=±Fh,逆時針正，反之負。

⑶力偶的性質：

[1]、力偶中兩力在任何軸上的投影為零；

[2]、力偶對任何點取矩均等于力偶矩，不隨矩心的改變而改變；（與力矩不同）

[3]、假設兩力偶其力偶矩相等，兩力偶等效：

[4]、力偶沒有合力，力偶只能由力偶等效。

⑷力偶系的合成與平衡（Z"=o）

第三章、平面任意力系

教學目標卜掌握平面任意力系的簡化與平衡力系的計算方法，會計算平面桁架的內力。

知識結構卜

1、力的平移定理：把力向某點平移，須附加一力偶，其力偶矩等于原力對該點的力矩。

2、簡化的中間結果：___________________

（1）主矢F；----大?。篎；=/（ZE）:

方向：cos⑻,，）=￡心/工，cosM，/）=Z"./%。

⑵主矩

3、簡化的最后結果：

（1）主矢用工0一—[1]、M0=0,合力，作用在。點；

⑵、合力，作用線距。點為用。/外。

（2）主矢兄=0一―[1]、合力偶，與簡化中心無關；

[2]、Mo=0,平衡，與簡化中心無關。

4、平面任意力系的平衡

（1）平衡條件—一《=（）、M0=（）。

（2）平衡方程—[1]%根本式：ZK=O、ZK=°、（尸）=°：

⑵、二矩式：Ze二°、ZM八①）=°、尸）=dA、8連線不

垂直于x軸；

⑶、三矩式：2加八（產）=°、ZM,（b）=。、ZM、（戶）=3A、8、

。三點不得共線。

5、平面平行力系平衡方程：

（1）Z%=0、ZM）（*）=O，y軸不垂直力的作用線；（至少有一個力矩方程）

（2）Z歷八（尸）=°、（尸）=°，A、8連線不與各力平行。

意點：（1）矩心應取在多個未知力的交點上；

注（2）投影方程和力矩方程中的正負號；

（2）平衡方程的寫法：八（尸）二°，不可寫成Z"=0、ZM（A）=O、ZM八（廠）=0或

2X（尸）=0。

6、靜定與超靜定問題一一比擬未知量個數與獨立平衡方程的個數。

7、平面簡單桁架內力計算一一（1）節(jié)點法（平面匯交力系）、（2）截面法（平面任意力系）

第四章、空間力系

教學目標|：掌握空間力系的簡化與平衡力系的求解方法，會計算物體的重心。

知夜結構|：

1、力在軸上的投影一一直接投影法、間接1二次）投影法。

2、空間匯交力系一一合成與平街（三個獨立方程）

3、力對點之矩、力對軸之矩一一對點仍）=rxA對軸M二（刃=±&%等；力對點的矩

矢在過該點的軸上的投影等于力對該軸的矩。

4、空間力偶系一一合成與平衡

5、空間任意力系的簡化：

（1）中間結果：_____________________________

⑴、主矢K=ZE----大小:

方向：cos（",i）=Z4/笈等。

⑵、主矩（月）

（2）最后結果:

[1]、主矢左——[a]、M0=0,合力，作用線過簡化中心；

[b]、M0w0、F；1Mo,合力，作用線距。點為M/%；

[c]、A/°w0、F；//Mo,力螺旋，中心軸過。點。

[2]、主矢耳；=0——[a]、合力偶，與簡化中心無關；

[b]、M°=0,平衡，與簡化中心無關。

6、空間任意力系的平衡

（1）平衡條件一一兄=0、知。=0。

（2）平衡方程一WZ=0、匯月.=0、26=0、

￡%（尸）=0、Z%（尸）二°、X叫（尸）=°。

⑶、空間平行力系平衡方程：ZK=O、ZM/）二°、工設儼戶。等

7、重心確定方法：

（1）利用對稱性：在對稱軸、對稱面或對稱中心上；

（2）分割法（負面積法）：％=2匕%/尸等；一一三角形的重心〃/3、半圓的重心節(jié)

（3）實驗法：懸掛法，稱重法。

第五章、摩擦

教學目標|：能夠熟練地分析有摩擦時物體的平衡問題并求解。

知識結構卜

1、滑動摩擦力

(1)靜滑動摩擦力一一方向：與相對滑動趨勢方向相反；

大?。?V乙<Enax=￡￡\，。

(2)動滑動摩擦力一一方向：與相對滑動方向相反；大?。篎d=fdFNo

2、摩擦角與自鎖

(1)摩擦角6一一臨界平衡狀態(tài)時，全約束力與接觸處公法線之間的夾角，或

(2)自鎖一一所有主動力合力的作用線與接觸處公法線間的夾角小于摩擦角，物體靜止的情況。

3、滾動摩阻一一轉向：與相對滾動趨勢轉向相反；

大?。?/p>

運動學

運動學是研究物體運動的的幾何性質(軌跡、運動方程、速度和加速度等)的科學。

第六章、點的運動學

教學目標］:能夠熟練地計算點的位移、速度和加速度。

知識結構卜

1、研究內容一一研究點相對某參考系的幾何位置隨時間變化的規(guī)律，包括點的運動軌跡、運動方程、

速度和加速度。

2、研究方法：

(1)矢量法----/*=，(/)、y=r、a=v=r

(2)直角坐標法一一x=/(r),)=△(，)、z=A?)等

2

(3)自然法----s=/(/)'v=vr=ST.a=al+a/l=a,T+aHn=vr+v/pn<)

意點：(1)矢量法主要用于理論推導；

注(2)直角坐標法是較為一般的方法。特別是點的運動軌跡未知的情形；

(3)自然法(弧坐標法)是針對點的運動軌跡的情形。運算簡便，各量物理意義明確；

(4)P與u的區(qū)別。

第七章、剛體的簡單運動

教學目標|：能熟練計算定軸轉動剛體的角速度、角加速度以及剛體內各點的速度和加速度，正確計算輪

系的傳動比。

知識結構|：

1、剛體的平行移動(平移)：

(1)定義：在剛體內任取一直線段，在運動過程中這條直線段始終與其初始位置平行；

(2)分類：假設剛體內各點的軌跡為直線，那么稱為直線平移；

假設剛體內各點的軌跡為平面曲線，那么稱為平面曲線平移；

假設剛體內各點的軌跡為空間曲線，那么稱為空間曲線平移；

2、剛體的定軸轉動：

(1)定義：剛體在運動時，其上或其擴展局部有兩點保持不動。

(2)剛體定軸轉動的整體運動描述:

［1］、轉動方程一一(p=/(，)；

［2］、角速度----co=(p,co=ajk

［3］、角加速度----a=co=(p.a=ak

(3)定軸轉動剛體上各點的運動描述：

［1］、運動方程----s=R(p,R是點到轉軸的距離：

［2］、速度：v=Reo,v=coxr=VT

22

［3］、加速度：a=axr+coxv=alT-￥aiin,其中：a尸Ra,a)t=v//?=Reo,

a=《a；=R>Ja2+co4,tan(a,=\a\/co2,,

3、輪系的傳動比一一主動輪I與從動輪II的角速度的比值4,=土&二±&=土之；正號表示兩輪為

co2R、z,

同向轉動，負號表示兩輪為反向轉動。

第八章、點的合成運動

教學目樹:能正確選取動點、動系，分析三種運動，掌握速度和加速度的合成。

知識結構|：

1、研究同一點相對兩個不同參考系的運動之間的關系。

2、定性分析：

(1)動點一一合成運動的研究對象；

(2)參考系一一［1］,定參考系：習慣上把固結在地球上(I勺參考系稱為定系；

［2］、動參考系：把相對定系做運動的參考系稱為動系；

(3)運動一一［1］、絕對運動：動點相對定系的運動：

［2］、相對運動：動點相對動系的運動；

［3］、牽連運動：動系相對定系的運動一一牽連點時定系的速度和加速度稱為動點在

該瞬時的牽連速度、牽連加速度。

3、定量分析：

(1)點的速度合成定理：匕,二匕+5：

⑵點的加速度合成定理：%=6+%+%,ac=2coxvro

意點：動點、動系和定系的選擇原那么：

注(1)動點、動系和定系必須分別屬于三個不同的物體，否那么絕對、相對和牽連運動中就缺少一

種運動，不能成為合成運動；

(2)動點相對動系的相對運動軌跡易于直觀判斷(絕對運動和牽連運動求解相對運動的問題除外)。

否那么，會使相對加速度分析產生困難。

具體地,,有：

［1］、兩個不相關的動點，求二者的相對速度。

根據題意，選擇其中之一為動點，動系為固結于另一點的平動坐標系；

⑵、運動剛體上有一動點，點作復雜運動。

該點取為動點，動系固結于運動剛體上。

［3］、機構傳動，傳動特點是在一個剛體上存在一個不變的接觸點，相對于另一個剛體運動。

（a）導桿滑塊機構：典型方法是動系固結于導桿，取滑塊為動點。

（b）凸輪挺桿機構：典型方法是動系固結于凸輪，取挺桿上與凸輪接觸點為動點。

（c）特殊問題，特點是相接觸兩個物體上的接觸點位置都隨時間而變化。此時，這連個物體的接

做點都不宜選為動點，應選擇滿足前述選擇原那么的非接觸點為動點。

第九章、剛體的平面運動

教學目標卜能運用基點法、速度瞬心法和速曳投影定埋求解平面運動剛體上各點的速度和加速度。

航結構］：

1、剛體的平面運動一一在運動中，剛體上的任意一點與某一固定平面的距離始終保持不變。

2、定性分析：（1）簡化為平面圖形在自身平面內的運動：

（2）平面運動可以分解為隨基點的平移與繞基，點的轉動。

3、定量分析：（1）平面運動方程一一“=/（，），%=人（。，0=力?）；

（2）基點法求平面圖形內各點速度一一力二%+%八

一一速度投影定理：向A、B兩點連線方向投影一一以cos#=巳cos。；

——速度瞬心法：取速度為零的P點為基點一一%=%尸；

（3）基點法求平面圖形內各點加速度----al{=aA+a'liA+。黑。

意點：（1）車輪純滾動問題，輪心加速度與角加速度之間的關系。

注（2）機構運動學分析（連接點運動學分析）

［1］、假設點的位置、時間的函數關系，可根據點的運動學，確定速度、加速度；

［2］、接觸滑動一一可根據合成運動的理論分析；［兩個剛體）

［3］、較鏈連接一一可根據平面運動理論求解。（同一平面運動剛體）

動力學

動力學：研究物體的機械運動與作用力之間的關系。

第十章、質點動力學的根本方程

教學目標|：能正確建立質點的運動微分方程。

知識結構|：

動力學根本定律：

1、第一定律（慣性定律）：

2、第二定律（質點動力學根本方程）：F=ma

d2r

一質點運動微分方程：=VF；投影式***1、運動求力；2、力求運動；（3）混合問題。

d廠J

3、第三定律（作用與反作用定律）。

第十一章、動量定理

教學目標|：能熟練運用動最定理、質心運動定理及其守恒定律求解動力學問題。

知識結構|：

1、質點動量----p=mv

（1）質點動量定理：［1］、微分形式一一d（加射）=Rlf或［（〃“）二尸；

［2］、積分形式---mv2-〃*=］尸曲=I。

2、質點系動量----p=X見匕或p=fnvc

（1）質點系動量定理：［口、微分形式一一d°=z尸⑻山⑷或當=Z尸⑷；

［2］、積分形式p2-n=W?⑻。

（2）質心運動定理—〃功.戶，。

3、沖量：11）常力的沖量一一I=Ftx

（2）變力的沖量一一I=￡Fd/o

意點：（1）質心運動定理的應用

注一一常用方法：［1］、求系統質心坐標；［2］、求導得質心加速度；［3］、利用質心運動定理求外力。

（2）動量守恒定律及質心運動守恒定律；

（3）各運動量均應是相對慣性參考系的絕對運動量。

第十二章、動量矩定理

教學目標|：能熟練運用動量矩定理及其守恒定律求解動力學問題，會計算剛體定軸轉動和平面運動的動

力學問題。

知識結構|：

1、質點對點。的動量矩----=

2、質點系對點。的動量矩一一）（肛匕）；對軸的動量矩一一［%］=4。

（1）剛體平移一一Lo=Mo（mvc）,Lz=M:（mvc）；

（2）定軸轉動——L:=J:coo

3、質點系動量矩定理一一些1二ZM（）（E⑷）；

dr

一一投影式：四=ZMX（E,）,吆=（斤為，迫=ZM一（耳。）。

drdrdr

4、剛體定軸轉動微分方程一一J:a=ZM①）。

5、剛體對軸的轉動慣量一一人=￡>?洛2；

（1）平行軸定理一一J.=J.c+md\

（2）回轉半徑一一.=仄有或=l?ip：O

6、質點系相對質心的動量矩定理一一等=ZMc（正/）。

7、剛體平面運動微分方程一一叫=、maCy="產、Jca=或〃啖=、

rnc^=￡耳，、Jca=EM。（尸⑷）。

意點J

注［1)動量矩定理的表達形式只適合于對固定點或固定軸，且其中的速度或角速度都是絕對速度或絕對

角速度。對質心也成立時，其中的速度或角速度還可以是相對質心的速度或角速度。

(2)建立坐標系，在有一個固定軸的情況下一般取為角位移，角位移的正向確定后，角速度、角加速

度以及力矩的方向均與角位移的正向相?致。

(3)注意動量矩守恒定律的應用。

2

(4)記住三個轉動慣量：［1］、均質桿對一端的轉動慣量一一Jz=ml/3；

［2］、均質桿對中心軸的轉動慣量——J二=〃/八2；

2

⑶、均質圓盤對中心軸的轉動慣量一一J:=niR/2。

(5)靈活運用動量定理、動量矩定理判斷物體做何種運動，如P278,12-6,12-7。

第十三章、動能定理

教學目標|：能熟練運動動能定理和機械能守恒定律求解動力學問題。

知識結構|：

，M,

JFdr

(1)常力在直線運動中的功一一W=Fs；

(2)重力的功---ZW12=mg(zC］-zC2);

(3)彈性力的功一一叫2二與(彳一心與；

(4)定軸轉動剛體上的功一一叫

(5)平面運動剛體上力系的功一一%=2叱=￡耳'％?+J；MW。

2、質點系的動能---T=爐

(I)平移剛體的動能一一r二?〃吆；

(2)定軸轉動剛體的動能一一T=；

22

(3)平面運動剛體的動能一一T=}Jpco=}嘮+1J:coo

3、動能定理：(1)微分形式一一

(2)積分形式一一4一7；二工叱。

4、功率方程一一與=?=",3

5、機械能守恒定律。

意點：一般情況下，需綜合應用這些定理求解未知量。

注(1)優(yōu)選動能定理，動能定理取整個系統作為研究對象的時機多些。且假設系統只有一個自由度,

互為理想約束，應首先考慮使用動能定理求運動［但求不出約束力)，再應用動量定理(質心運動定理)、

動量矩定理求約束反力。

(2〕對突減約束問題，一般宜采用平面運動微分方程求解。

(3)注意觀察有無動量守恒、動量矩守恒，假設有，那么要充分利用這些條件。

第十四章、達朗貝爾原理(動靜法)

教學目標|：正確理解達朗貝爾原理，能熟練運用動靜法求解質點和質點系的動力學問題。

知識結構|：

1、達朗貝爾原理：

⑴慣性力一《二—〃7。：

(2)質點的達朗貝爾原理一尸+尸,丫+耳=0；

(3)質點系的達朗貝爾原埋一⑹+工產〃=0、(產產)+苫“。(產")=0。

2、慣性力系的簡化：

(1)剛體平移，向質心簡化---F,=-mac；

(2)剛體定軸轉動，向轉軸z上一點簡化----FIR=-mac；

(剛體有質量對稱平面且與轉軸垂直)一一MIO=-J2a；

亦可向質心簡化----FIR=一〃%、M七=一人。；

(3)剛體做平面運動，向質心簡化一一F,R=-mac；

(平行于質量對稱平面)一一Mlc=-Jca

3、防止出現軸承動約束力的條件是一一轉軸通過質心，且剛體對轉軸的慣性積等于零；或曰剛體的轉

軸應是剛體的中心慣性主軸。

意點：

注［1)達朗貝爾原理常用于求解突減約束動力學問題；

(2)慣性力系取決于絕對加速度、絕對角加速度。

第十五章、虛位移原理

|教學目標卜會運用虛位移原理求解系統(非自由質點系)的平衡問題。

知識結構|：

1、約束類型(了解);

2、虛位移一一在某瞬時，質點系在約束允許的條件下，可能實現的任何無限小的位移；

3、虛功一一力在虛位移中做的功5卬=尸?方：

4、虛位移原理一一對于具有理想約束的質點系，其平衡的充分必要條件是：作用在質點系內所有主動

力在任何虛位移中所做虛功之和為零

3性=0或Z(+&見+EA)=0o

意點：

注1、對理想約束系統，常取整個系統為研究對象；

2、求各虛位移之間的關系

(1)幾何法一一根據主動力與虛位移的方向確定虛功的正負號、且要畫出主動力作用點的虛位移;

(2)解析法一一此時采用的虛功方程是它的解析式，即

其中6七等是第i個力作用點坐標的變分，而Fxi等是第i個力在相應坐標軸上的投影；

(3)虛速度法一一虛速度之間的關系與實速度之間的關系是相同的，即可以根據運動學理論分析。

運動學公式

1.點的運動

*矢量法

*直角坐標法

卜=力”）

1丁=人（/）

I2=73（r）

*點的合成運動

凡―?

a=瓦+瓦建連運動為平動時）

a

a二

aCle+Clf.+4A

其中,ak=2^,xvr,|%|=2%匕sin（公，弓）

定軸轉動剛體上一點的速度和加速度：（角量與線量的關系）

V=R3'

ciT=Re

2

an=Reo

>

々?hi;擊度.

小彳，萬）=母

co

i="="=旦=至.二3=3-2%