基于可視化積件的數(shù)學(xué)文化教學(xué)策略研究

隨著新課程改革的不斷深入，將數(shù)學(xué)文化內(nèi)容融入數(shù)學(xué)教學(xué)體系已受到教育界的廣泛重視。開展數(shù)學(xué)文化教育是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標(biāo)”）的要求，同時(shí)有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、開闊視野、培養(yǎng)科學(xué)探究精神。面對(duì)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容融入教學(xué)的挑戰(zhàn)，GeoGebra（簡稱“GGB”）軟件提供了有效的解決方案。筆者立足于2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教材（以下簡稱“教材”），將數(shù)學(xué)文化內(nèi)容進(jìn)行重組和加工后，制作相應(yīng)的可視化積件，采用多種嵌入方式，實(shí)現(xiàn)知識(shí)背景的意境化、研究對(duì)象的動(dòng)態(tài)化、數(shù)學(xué)思維的可視化、自主探究的實(shí)踐化等目標(biāo)，旨在探索可視化積件嵌入數(shù)學(xué)文化教學(xué)的途徑與方法，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)和人文素養(yǎng)。一、可視化積件與數(shù)學(xué)文化（一）可視化積件可視化積件是指借助GeoGebra軟件制作或錄屏軟件錄制而成的“可看見”的動(dòng)態(tài)數(shù)字化資源，具有可重復(fù)使用、靈活重組、開放可積等特點(diǎn)，包括ggb文件、微視頻、微課、gif動(dòng)畫等積件類型。它們構(gòu)成了一個(gè)多樣化、系列性的可視化教學(xué)資源庫。教師可根據(jù)教學(xué)需要自由選擇、靈活重組，再將其嵌入教學(xué)的某個(gè)環(huán)節(jié)中。（二）數(shù)學(xué)文化課標(biāo)提到，數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)?？梢姡瑪?shù)學(xué)文化不僅包括數(shù)學(xué)成就、方法、典籍、史料等實(shí)體內(nèi)容，而且包括數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)、思想、精神、價(jià)值等意識(shí)形態(tài)內(nèi)容，特別是數(shù)學(xué)家們孜孜不倦的研究精神和一代代數(shù)學(xué)家的薪火相傳，及體現(xiàn)其中的社會(huì)責(zé)任感和歷史擔(dān)當(dāng)。依據(jù)課標(biāo)編寫的教材中就蘊(yùn)含著豐富的承載數(shù)學(xué)文化的教學(xué)內(nèi)容。二、可視化積件的嵌入方式為了更好地開展數(shù)學(xué)可視化教學(xué)，筆者從教材中篩選出適合的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，經(jīng)過重組和加工后，借助GGB軟件和錄屏軟件制作成貼合高中生認(rèn)知特點(diǎn)的可視化積件。筆者采用多種嵌入方式，將數(shù)學(xué)史料從“抽象不可見”的自然狀態(tài)轉(zhuǎn)化為“知識(shí)背景意境化、研究對(duì)象動(dòng)態(tài)化、數(shù)學(xué)思維可視化、自主探究實(shí)踐化”的目標(biāo)狀態(tài)。這一做法旨在引導(dǎo)學(xué)生從“看見不可見”，到“想象不可見”，再到“理解不可見”進(jìn)階，從而培育學(xué)生的高階思維能力，提升其幾何直觀素養(yǎng)和人文素養(yǎng)。筆者設(shè)計(jì)了可視化積件的嵌入方式（如圖1），為同仁提供教學(xué)參考，為弘揚(yáng)和傳承數(shù)學(xué)文化貢獻(xiàn)一份力量。（一）GGB文件插入式GGB文件是可視化積件的單元素材，也是可視化積件最重要的組成部分。GGB文件插入式適合教師一邊操作一邊解說，與學(xué)生共同探索規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容。例如，在推導(dǎo)“柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式”[1]過程中，需要在課前引入祖暅原理作為理論支撐。筆者利用GGB文件動(dòng)態(tài)演示祖暅原理（如圖2）：點(diǎn)擊左下方的“復(fù)選框”，在斜棱柱和直棱柱間切換，拉動(dòng)四個(gè)滑動(dòng)條改變棱柱的邊數(shù)、長方體的長寬高和三個(gè)幾何體的底面積，從而實(shí)現(xiàn)“數(shù)與形”之間的聯(lián)動(dòng)。借助3D繪圖區(qū)的立體圖形，學(xué)生可以整體把握知識(shí)，觀察右下方的“橫截面平面視圖”，可以了解相應(yīng)截面形狀的對(duì)應(yīng)變化，而觀察表格中截面面積和相應(yīng)體積的數(shù)值，可使探究細(xì)致入微。相較于“教材”的“探究與發(fā)現(xiàn)”中以文字和插圖呈現(xiàn)的形式，該可視化積件所展示的三者間的聯(lián)系互動(dòng)，更具有直觀性和靈動(dòng)性，更能有效推進(jìn)“冪勢既同，則積不容異”的深度理解。（二）微視頻輔助式數(shù)學(xué)公理、定理和公式的形成是一個(gè)漫長而動(dòng)態(tài)的過程，而教材呈現(xiàn)給我們的往往是濃縮的、靜態(tài)的、結(jié)論性的內(nèi)容。要想依托數(shù)學(xué)文化內(nèi)容將課程講出數(shù)學(xué)味和文化味，對(duì)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化視野有較高要求。鑒于此，我們不妨發(fā)揮團(tuán)隊(duì)合作的精神，分工錄制可視化積件，共享數(shù)字化資源。例如，在介紹空間幾何體時(shí)，補(bǔ)充《九章算術(shù)》中一些著名的幾何體，如塹堵、陽馬等。筆者先用GGB軟件畫出這些幾何體，再用錄屏軟件錄制，同時(shí)配上語音解說幾何體的來源、結(jié)構(gòu)特征、相互關(guān)系等，這樣就可以在課件中直接插入這些微視頻來輔助相關(guān)數(shù)學(xué)文化的教學(xué)。微視頻輔助式不僅釋放了一定的教學(xué)時(shí)間，還彌補(bǔ)了純語言描述太過抽象和某些教師數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)不足的缺憾（如圖3）。不僅如此，微視頻具有獨(dú)特的視覺沖擊力，能讓學(xué)生擁有愉悅的情境體驗(yàn)，從而完成知識(shí)的吸收內(nèi)化和高層次的思維認(rèn)知，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。當(dāng)然，對(duì)于一些只要求學(xué)生在連續(xù)變化中尋找規(guī)律或欣賞數(shù)學(xué)美的內(nèi)容，如圓錐曲線的包絡(luò)線、心形曲線等，筆者用ScreenToGif軟件錄制gif動(dòng)畫。如此，嵌入課件就能自動(dòng)播放，而教師只需要作必要解說即可。（三）仿真試驗(yàn)探究式波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)既是一門具有系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性的演繹學(xué)科，又是一門試驗(yàn)性的歸納學(xué)科。在數(shù)學(xué)發(fā)展史中有很多經(jīng)典的數(shù)學(xué)試驗(yàn)，比如拋硬幣、擲骰子、布豐投針、高爾頓釘板等。但限于條件，很多試驗(yàn)現(xiàn)象或規(guī)律不方便甚至無法在教學(xué)中通過真實(shí)試驗(yàn)來探究。借助信息技術(shù)開發(fā)的仿真模擬試驗(yàn)，能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)真實(shí)的試驗(yàn)情境，并以此引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的深入探索，輕松地解除有些試驗(yàn)在現(xiàn)實(shí)中難以操作的困惑。例如，教材中概率的定義是一種描述性的統(tǒng)計(jì)定義，即在試驗(yàn)次數(shù)足夠多的前提下，頻率趨近于概率，但學(xué)生因缺少體驗(yàn)而難以理解[2]。筆者借助GGB軟件制作可視化積件來模擬拋硬幣或擲骰子的試驗(yàn)（如圖4），還原概率形成的真實(shí)過程，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在親自操作過程中理解并認(rèn)識(shí)大量重復(fù)試驗(yàn)的含義，發(fā)掘潛藏在數(shù)學(xué)表象下的規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)建模的過程。（四）系列微課自助式筆者曾做過一項(xiàng)關(guān)于“數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”的調(diào)查，其中有一個(gè)問題是：“你比較喜歡下列哪種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的方式？（不定項(xiàng)選擇）”選項(xiàng)包括：A.教師在數(shù)學(xué)課堂上滲透；B.教師組織專題講座或開設(shè)選修課程；C.學(xué)生自行檢索相關(guān)書籍資料；D.學(xué)生依托系列微課自助學(xué)習(xí)；E.其他。本題有效填寫人數(shù)為646人，調(diào)查結(jié)果如下。四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的人數(shù)、所占比例分別為：422、65.33%；250、38.7%；126、19.5%；348、53.87%。從調(diào)查結(jié)果來看，學(xué)生除了希望教師在課堂上滲透數(shù)學(xué)文化以外，也很希望借助系列微課自助學(xué)習(xí)。微課是一種學(xué)生喜聞樂見的自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的方式，若能將它作為課堂教學(xué)的補(bǔ)充，必然有助于學(xué)生了解知識(shí)的來龍去脈，促進(jìn)學(xué)生深入理解知識(shí)的本質(zhì)。筆者開發(fā)了名為“數(shù)學(xué)文化微課堂”的系列微課。相比上文提到的其他可視化積件，系列微課更具有系統(tǒng)性和完整性。以《祖暅原理與幾何求積》系列微課為例，它包括四個(gè)視頻。一是“祖暅與祖暅原理”：以餐巾環(huán)問題引入，介紹數(shù)學(xué)家祖暅和祖暅原理，借助GGB軟件展示對(duì)該原理的形象化理解，并用該原理解釋餐巾環(huán)問題；二是“柱體、錐體和臺(tái)體的體積”：應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體和臺(tái)體的體積公式；三是“球體體積公式的推導(dǎo)”：構(gòu)造輔助體，推導(dǎo)球體的體積公式，過程巧妙至極；四是“從牟合方蓋到球體體積”：從數(shù)學(xué)文化的角度介紹祖暅原理產(chǎn)生的歷史背景和球體體積公式形成的歷史。筆者利用系列微課，讓學(xué)生在中華民族燦爛的數(shù)學(xué)歷史中感受數(shù)學(xué)文化的魅力，了解祖沖之、祖暅父子站在前人劉徽的肩膀上推導(dǎo)出了球的體積公式，其推導(dǎo)過程凝聚著一代又一代人的智慧。推出系列微課，不僅僅是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用祖暅原理來推導(dǎo)柱體、錐體、臺(tái)體和球體的體積，更重要的是探究數(shù)學(xué)方法背后的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)原理，經(jīng)歷從已知到未知的探索過程，培養(yǎng)質(zhì)疑、反思和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。三、可視化積件的使用策略與技巧經(jīng)過可視化加工的數(shù)學(xué)內(nèi)容固然生動(dòng)形象、淺顯易懂，能有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的吸收，但過度使用可視化積件也會(huì)讓學(xué)生對(duì)圖形、視頻等產(chǎn)生依賴心理而形成思維的惰性和單線性，阻礙學(xué)生的思維層次從直觀走向抽象[3]。在數(shù)學(xué)文化教學(xué)中，教師應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，緊扣教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容，遵循適時(shí)、適度、適切的原則，有效發(fā)揮可視化積件的輔助作用。（一）適時(shí)適時(shí)，即把握使用可視化積件的時(shí)機(jī)。一是隨“景”：抓住該內(nèi)容講解的時(shí)機(jī)，及時(shí)融入其歷史背景。例如，在介紹球的體積公式時(shí)，教師若能從數(shù)學(xué)文化的角度，以微視頻插入的形式介紹該公式形成的歷史，不僅能讓學(xué)生知道球體積公式的來源，而且能將數(shù)學(xué)家劉徽那種求實(shí)創(chuàng)新而不踵古的治學(xué)精神傳遞給學(xué)生，讓學(xué)生感受到古代數(shù)學(xué)家虛懷若谷的胸懷和謙虛的態(tài)度，從而培養(yǎng)學(xué)生勇于批判創(chuàng)新、質(zhì)疑問難的科學(xué)精神。二是隨“情”：在學(xué)生某種情感比較豐富時(shí)融入。例如，微課程《祖暅原理與幾何求積》的最后一個(gè)視頻，在學(xué)生驚嘆于古代數(shù)學(xué)家的智慧時(shí)提到《綴術(shù)》的失傳，致使我們只能從史書的記載中去“想象”這本數(shù)學(xué)巨著曾經(jīng)的輝煌，即刻讓學(xué)生產(chǎn)生無比遺憾的情緒，恰時(shí)恰點(diǎn)地告誡學(xué)生：今后在學(xué)習(xí)傳統(tǒng)文化和數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，不僅要熟練掌握這些知識(shí)，更要把傳承當(dāng)作自己的使命，不要讓數(shù)學(xué)文化消逝在歷史的長河中。（二）適度適度，是對(duì)可視化積件使用的“度”的把控，即使用可視化積件一定要基于數(shù)學(xué)文化傳承和學(xué)生素養(yǎng)培育，以有效輔助教學(xué)。一是控制使用量度：過度依賴可視化工具會(huì)使教學(xué)變成一種表演性質(zhì)的活動(dòng)，學(xué)生長時(shí)間面對(duì)屏幕而非與教師互動(dòng)，這不僅削弱了數(shù)學(xué)課堂的互動(dòng)性，也違背了以學(xué)生為中心的教學(xué)理念。教師在教學(xué)中使用可視化工具應(yīng)適度，確保教學(xué)活動(dòng)的核心是師生之間的互動(dòng)和學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)。二是控制使用時(shí)機(jī)：由于立體圖形需要較強(qiáng)的空間想象力，特別是構(gòu)造如牟合方蓋這類復(fù)雜幾何體時(shí)，若不借助可視化軟件展示“不可見”的部分，單靠推理和想象幾乎不可能實(shí)現(xiàn)。然而，如果教師僅播放視頻，展示各種輔助體的構(gòu)造方法來推導(dǎo)球體體積公式，忽略“如何構(gòu)造”和學(xué)生“自主構(gòu)造”輔助體的推理過程，將導(dǎo)致學(xué)生的思維局限于形象思維，阻礙邏輯思維的培養(yǎng)，影響其分析問題和手繪作圖能力的發(fā)展。（三）適切適切，即貼切自然。一是依“內(nèi)容”：使用可視化積件的前提是學(xué)生無法通過想象、感知而獲得的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，不能或者不易操作的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，又或是需要通過進(jìn)行模擬試驗(yàn)驗(yàn)證、猜想才能獲得的結(jié)論，而非任何內(nèi)容都適合使用。二是依“目標(biāo)”：可視化積件的使用應(yīng)依據(jù)教學(xué)目標(biāo)而定。例如，介紹“祖暅原理”僅僅是為推導(dǎo)出“柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式”提供理論依據(jù)，筆者僅需要借助ggb文件，讓學(xué)生意會(huì)到“冪勢既同，則積不容異”即可，至于定理本身的證明和蘊(yùn)含的內(nèi)涵等并不宜在課堂上深入。教師可以提供系列微課等數(shù)字化資源，引領(lǐng)學(xué)生從課內(nèi)學(xué)習(xí)走向課外自學(xué)，拓展課堂教學(xué)的空間和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的維度，實(shí)現(xiàn)從課內(nèi)向課外，由局部向整體的有機(jī)延展，使教師的引導(dǎo)和學(xué)生的自學(xué)相輔相成，共同達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。習(xí)近平總書記在文化傳承發(fā)展座談會(huì)上的重要講話中明確指出：“中國文化源遠(yuǎn)流長，中華文明博大精深。只有全面深入了解中華文明的歷史，才能更有效地推動(dòng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化、創(chuàng)新性發(fā)展”。捷克教育家夸美紐斯認(rèn)為“知識(shí)的開端永遠(yuǎn)必須來自感官”，“在可能的范圍內(nèi)，一切事物都應(yīng)該盡量地放在感