一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系課件九年級數(shù)學(xué)上冊

2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系第2章一元二次方程湘教版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********問題1：一個矩形的長比寬多2cm，面積是100\(cm^2\)，求矩形的長和寬。設(shè)矩形的寬為\(xcm\)，則長為\((x+2)cm\)，根據(jù)矩形面積公式可列出方程\(x(x+2)=100\)。問題2：某工廠1月份生產(chǎn)產(chǎn)品100件，3月份生產(chǎn)產(chǎn)品121件，求2、3月份平均每月的增長率。設(shè)平均每月的增長率為\(x\)，1月份生產(chǎn)產(chǎn)品100件，2月份生產(chǎn)產(chǎn)品\(100(1+x)\)件，3月份生產(chǎn)產(chǎn)品\(100(1+x)^2\)件，可列出方程\(100(1+x)^2=121\)。引導(dǎo)學(xué)生觀察這些方程的特點，與之前學(xué)過的一元一次方程進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)這些方程都含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，從而引出本節(jié)課的主題——一元二次方程。（二）探究新知（20分鐘）一元二次方程的概念給出一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。強(qiáng)調(diào)一元二次方程的三個條件：只含有一個未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2。是整式方程。讓學(xué)生判斷一些方程是否為一元二次方程，如\(x^2-3x+2=0\)，\(2x^2+5=0\)，\(x(x-1)=3\)，\(\frac{1}{x^2}+x=2\)（不是，因為它不是整式方程）等，加深對概念的理解。給出一元二次方程的一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），其中\(zhòng)(ax^2\)是二次項，\(a\)是二次項系數(shù)；\(bx\)是一次項，\(b\)是一次項系數(shù)；\(c\)是常數(shù)項。強(qiáng)調(diào)\(a\neq0\)，因為當(dāng)\(a=0\)時，方程就不是一元二次方程了。一元二次方程的解法直接開平方法對于形如\(x^2=p\)（\(p\geq0\)）的方程，可直接開平方得到\(x=\pm\sqrt{p}\)。例如，方程\(x^2=9\)，則\(x=\pm3\)。對于形如\((x+m)^2=p\)（\(p\geq0\)）的方程，也可直接開平方，得到\(x+m=\pm\sqrt{p}\)，進(jìn)而解得\(x=-m\pm\sqrt{p}\)。例如，方程\((x-2)^2=4\)，則\(x-2=\pm2\)，解得\(x_1=4\)，\(x_2=0\)。配方法以方程\(x^2+6x-16=0\)為例講解配方法。移項：將常數(shù)項移到等號右邊，得到\(x^2+6x=16\)。配方：在等號兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，即\((\frac{6}{2})^2=9\)，得到\(x^2+6x+9=16+9\)，即\((x+3)^2=25\)。開平方：\(x+3=\pm5\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=-8\)?？偨Y(jié)配方法的步驟：移項、配方、開平方、求解。公式法對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），其求根公式為\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。推導(dǎo)求根公式：通過配方法對\(ax^2+bx+c=0\)進(jìn)行變形，得到\((x+\frac{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)，當(dāng)\(b^2-4ac\geq0\)時，開平方可得\(x+\frac{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，從而得到求根公式。強(qiáng)調(diào)使用公式法時，要先確定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，再計算判別式\(\Delta=b^2-4ac\)的值，當(dāng)\(\Delta\geq0\)時，代入求根公式求解。例如，對于方程\(2x^2-5x+1=0\)，其中\(zhòng)(a=2\)，\(b=-5\)，\(c=1\)，\(\Delta=(-5)^2-4\times2\times1=17\gt0\)，則\(x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}\)。因式分解法對于方程\(x^2-3x+2=0\)，可將其因式分解為\((x-1)(x-2)=0\)，則\(x-1=0\)或\(x-2=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。總結(jié)因式分解法的步驟：將方程右邊化為0，左邊分解因式，然后令每個因式等于0，求解。（三）例題講解（15分鐘）例1：把方程\((x-3)(2x+1)=x^2+2\)化為一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。分析：先將方程左邊展開，再移項、合并同類項化為一般形式。解答：展開左邊得\(2x^2+x-6x-3=x^2+2\)。移項得\(2x^2+x-6x-3-x^2-2=0\)。合并同類項得\(x^2-5x-5=0\)。二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為\(-5\)，常數(shù)項為\(-5\)。例2：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）\(x^2-4x=0\)分析：可使用因式分解法，提取公因式\(x\)。解答：\(x(x-4)=0\)，則\(x=0\)或\(x-4=0\)，解得\(x_1=0\)，\(x_2=4\)。（2）\(2x^2-3x-1=0\)分析：此方程使用公式法較為合適。解答：\(a=2\)，\(b=-3\)，\(c=-1\)，\(\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-1)=17\)，\(x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}\)，即\(x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)，\(x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}\)。（3）\((x-2)^2=9\)分析：使用直接開平方法。解答：\(x-2=\pm3\)，解得\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)。例3：一個直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積是9\(cm^2\)，求較長的直角邊的長。分析：設(shè)較長的直角邊為\(xcm\)，則較短的直角邊為\((x-3)cm\)，根據(jù)直角三角形面積公式列出方程求解。解答：由題意得\(\frac{1}{2}x(x-3)=9\)。整理得\(x^2-3x-18=0\)。因式分解得\((x-6)(x+3)=0\)。則\(x-6=0\)或\(x+3=0\)，解得\(x_1=6\)，\(x_2=-3\)（邊長不能為負(fù)舍去）。所以較長的直角邊的長為6cm。（四）鞏固練習(xí)（10分鐘）下列方程中，哪些是一元二次方程？（1）\(x^2+5x=0\)（2）\(3x^2-\frac{1}{x}=0\)（不是，因為不是整式方程）（3）\(2x(x-3)=2x^2+1\)（化簡后不是一元二次方程）（4）\(x^2-4=(x+2)^2\)（化簡后不是一元二次方程）把方程\(3x(x-1)=2(x+2)+8\)化為一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）\(x^2-6x+9=0\)（2）\(x^2-2x-5=0\)（3）\(3x^2-4x-1=0\)一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，且個位數(shù)字的平方剛好等于這個兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：一元二次方程的概念、一般形式及各項系數(shù)。一元二次方程的四種解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，以及如何根據(jù)方程特點選擇合適的解法。運(yùn)用一元二次方程解決實際問題的一般步驟：設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗并作答。強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)一元二次方程時需要注意的問題，如在判斷方程是否為一元二次方程時要嚴(yán)格按照定義，使用公式法時要準(zhǔn)確計算判別式，在解決實際問題時要檢驗解的合理性等。（六）布置作業(yè)（5分鐘）基礎(chǔ)作業(yè)：教材課后練習(xí)題，包括判斷方程類型、將方程化為一般形式、求解方程、解決簡單實際問題等。已知關(guān)于\(x\)的一元二次方程\((m-1)x^2+2x+m^2-1=0\)有一個根為0，求\(m\)的值。拓展作業(yè)：某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件。如果商場通過銷售這批襯衫每天要盈利1200元，襯衫的單價應(yīng)降多少元？對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(a\)、\(b\)、\(c\)滿足什么條件時，方程有兩個相等的實數(shù)根？有兩個不相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？五、教學(xué)反思在本節(jié)課教學(xué)中，通過實際問題引入，學(xué)生能較好理解一元二次方程概念。多種解法探究環(huán)節(jié)，學(xué)生積極參與，但部分學(xué)生在配方法和公式法應(yīng)用時仍有困難，后續(xù)應(yīng)加強(qiáng)針對性練習(xí)。實際問題解決方面，部分學(xué)生找等量關(guān)系存在障礙，需在今后教學(xué)中強(qiáng)化建模訓(xùn)練，提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1、一元二次方程的一般形式是什么？求根公式是怎樣的？2、不解方程，判別下列一元二次方程根的情況。，無實數(shù)根。，有兩個不相等的實數(shù)根。，有兩個相等的實數(shù)根。，有兩個不相等的實數(shù)根。20-3-45-6-416-1先解方程，再填表：方程02由上表猜測：若方程的兩個根為，則：歸納[做一做]已知一元二次方程

，當(dāng)

時，它的兩個根為

，

，求證：

，

。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

16世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此,人們把這個關(guān)系稱為韋達(dá)定理。數(shù)學(xué)原本只是韋達(dá)的業(yè)余愛好，但就是這個業(yè)余愛好，使他取得了偉大的成就。韋達(dá)是第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)的人，并且對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行了很多改進(jìn)。是他確定了符號代數(shù)的原理與方法，使當(dāng)時的代數(shù)學(xué)系統(tǒng)化并且把代數(shù)學(xué)作為解析的方法使用。因此，他獲得了“代數(shù)學(xué)之父”之稱。

兩根之和、兩根之積存在的前提是什么？想一想例1根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根

，

的和與積：例2已知關(guān)于x的方程x2+3x+q=0的一個根為-3，求它的另一個根及q的值。

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系BAC4返回A2.若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一個根，則此方程的另一個根是(

)A．－1B．0C．1D．2【點撥】由題可知兩根之和為－1，故另一個根為0.返回B3.[2023·樂山]若關(guān)于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且x1＝3x2，則m的值為(

)A．4B．8C．12D．16返回【答案】C【點撥】∵一元二次方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，∴x1＋x2＝8，x1x2＝m.又∵x1＝3x2，∴4x2＝8，解得x2＝2.∴x1＝6.∴m＝x1x2＝6×2＝12.故選C.返回C5.[2023·宜賓]已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的兩個根，則m2＋mn＋2m的值為(

)A．0B．－10C．3D．10返回【答案】A【點撥】∵m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的兩個根，∴mn＝－5，m2＋2m－5＝0.∴m2＋2m＝5.∴m2＋mn＋2m＝m2＋2m＋mn＝5－5＝0.

6.已知x1，x2是方程x2－x－2025＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式x31－2025x1＋x22的值是(

)A．4051

B．4050

C．2025

D．1返回【答案】A【點撥】把x＝x1代入方程，得x21－x1－2025＝0，即x21－2025＝x1.∵x1，x2是方程x2－x－2025＝0的兩個實數(shù)根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝－2025.∴原式＝x1(x21－2025)＋x22＝x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋4050＝4051.返回8.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，且x21＋x22＝5，則k的值是(