配方法課件人教版數(shù)學(xué)九年級上冊

21.2.1.1配方法第21章一元二次方程人教版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********展示生活中與一元二次方程相關(guān)的實際問題情境，如：一個面積為120平方米的矩形花園，長比寬多2米，求花園的長和寬。設(shè)寬為x米，則長為(x+2)米，可列方程x(x+2)=120。某種藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由56元降為31.5元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率。設(shè)每次降價的百分率為x，則可列方程56(1-x)2=31.5。引導(dǎo)學(xué)生觀察列出的方程，與之前學(xué)過的一元一次方程進行對比，發(fā)現(xiàn)這些方程的特點，從而引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的一元二次方程的內(nèi)容，讓學(xué)生感受到一元二次方程在解決實際問題中的廣泛應(yīng)用。（二）知識講解（30分鐘）一元二次方程的概念給出幾個不同形式的方程，如x2-3x+2=0，2x2+5x=0，3(x-1)2=27等，讓學(xué)生觀察方程的結(jié)構(gòu)特征?？偨Y(jié)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。強調(diào)“整式方程”這一條件，舉例說明如1/x2+x-1=0不是一元二次方程，因為它不是整式方程。講解一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。讓學(xué)生指出前面給出方程的各項系數(shù)，注意當(dāng)系數(shù)為1或-1時，“1”常省略不寫，但在確定系數(shù)時要寫出。一元二次方程的解法直接開平方法：以方程x2=9為例，講解直接開平方法的原理和步驟。因為x是9的平方根，所以x=±3。推廣到一般形式，對于方程(x-m)2=n（n≥0），可以直接開平方得到x-m=±√n，進而解得x=m±√n。通過練習(xí)如(x-2)2=16，讓學(xué)生掌握直接開平方法。配方法：以x2+6x-7=0為例，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將方程左邊配成完全平方式。首先在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，即x2+6x+9-9-7=0，變形為(x+3)2-16=0，再利用直接開平方法求解?？偨Y(jié)配方法的步驟：移項（把常數(shù)項移到方程右邊）、配方（在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方）、變形（將方程左邊配成完全平方式）、開平方、求解。通過練習(xí)如x2-4x-5=0，讓學(xué)生鞏固配方法。強調(diào)配方時加上的數(shù)是一次項系數(shù)一半的平方，且方程兩邊都要加。公式法：對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），通過配方法推導(dǎo)求根公式。\(\begin{align*}ax?2+bx+c&=0\\ax?2+bx&=-c\\x?2+\frac{a}x&=-\frac{c}{a}\\x?2+\frac{a}x+(\frac{2a})?2&=(\frac{2a})?2-\frac{c}{a}\\(x+\frac{2a})?2&=\frac{b?2-4ac}{4a?2}\end{align*}\)當(dāng)b2-4ac≥0時，x+\frac{2a}=±\frac{\sqrt{b2-4ac}}{2a}，得到求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a}。講解利用公式法解方程的步驟：先確定a、b、c的值，計算判別式Δ=b2-4ac的值，判斷方程根的情況，當(dāng)Δ≥0時，代入求根公式求解。通過練習(xí)如2x2-5x+2=0，讓學(xué)生熟練運用公式法。因式分解法：以方程x2-3x=0為例，方程左邊可因式分解為x(x-3)=0，根據(jù)“若兩個因式的積為0，則至少有一個因式為0”，得到x=0或x-3=0，從而解得x?=0，x?=3?？偨Y(jié)因式分解法的步驟：將方程右邊化為0，把方程左邊因式分解，令每個因式為0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。通過練習(xí)如(x-1)(x+2)=6，先將方程化為一般形式x2+x-8=0，再嘗試因式分解（若不能分解則考慮其他解法），讓學(xué)生掌握因式分解法。一元二次方程根的判別式回顧公式法中求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a}，引出根的判別式Δ=b2-4ac。分析當(dāng)Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ<0時，方程沒有實數(shù)根。通過具體方程如x2-2x+1=0（Δ=0），x2-2x-3=0（Δ>0），x2+2x+3=0（Δ<0），讓學(xué)生計算判別式并判斷根的情況，加深理解。應(yīng)用舉例：已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。根據(jù)Δ>0，即(-2)2-4k>0，解得k<1。一元二次方程的實際應(yīng)用傳播問題：以流感傳播為例，假設(shè)一開始有1個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人。第一輪傳染后有(x+1)個人患流感，第二輪傳染后有(x+1)+x(x+1)=(x+1)2個人患流感，可列方程(x+1)2=121，解得x?=10，x?=-12（舍去）?？偨Y(jié)傳播問題的一般模型：設(shè)每輪傳染中平均一個對象傳染了x個對象，經(jīng)過n輪傳染后共有a(1+x)?個對象被傳染（a為最初的對象數(shù)）。增長率問題：某工廠去年的利潤為200萬元，預(yù)計今年和明年的利潤總和為1200萬元，求該工廠利潤的年平均增長率。設(shè)年平均增長率為x，則今年的利潤為200(1+x)萬元，明年的利潤為200(1+x)2萬元，可列方程200(1+x)+200(1+x)2=1200，整理得(1+x)2+(1+x)-6=0，設(shè)y=1+x，方程化為y2+y-6=0，解得y?=2，y?=-3（舍去），即1+x=2，x=1=100%?？偨Y(jié)增長率問題的一般模型：設(shè)初始量為a，平均增長率為x，經(jīng)過n次增長后的量為b，則a(1+x)?=b；若為平均降低率，則a(1-x)?=b。幾何圖形面積問題：在一塊長為32米，寬為20米的矩形空地上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種植花草，使種植花草的面積為540平方米，求道路的寬度。設(shè)道路的寬度為x米，將兩條道路平移到矩形的邊上，可得種植花草部分的長為(32-x)米，寬為(20-x)米，可列方程(32-x)(20-x)=540，展開并整理得x2-52x+100=0，解得x?=2，x?=50（舍去，因為道路寬度不可能大于矩形的寬）。強調(diào)在解決幾何圖形問題時，要根據(jù)圖形的特點合理設(shè)未知數(shù)，列出方程，并檢驗解是否符合實際情況。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.通過閱讀課本會用直接開平方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程，發(fā)展學(xué)生的運算能力；2.經(jīng)歷列方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效模型，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力；3.通過直接開平方法的探究活動,培養(yǎng)學(xué)生積極思考、勇于探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣.感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.重點難點什么叫開平方？什么是平方根？(一般地，如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方)舊知回顧當(dāng)這名運動員距離籃筐1m投籃時，籃球運動的最大高度恰好通過木板，且籃球距離水平地面的高度h（m）與籃球離木板的水平距離x（m）滿足h=-x2+4，已知籃圈中心距離地面的高度為3m，那么籃球能否投中呢？問題引入同學(xué)們從小學(xué)開始我們就學(xué)習(xí)了解方程，大家回憶一下都學(xué)會哪些解方程，是如何解的？視頻引入自主探究1.請同學(xué)們閱讀課本5-6頁探究.2.觀察下列方程，回答問題.x2=0;x2+1=0;2x2-8=0;(x+2)2=5.(1)你能求出一元二次方程x2+1=0的解嗎?若能，請寫出求解過程，若不能，請說明理由(不能，理由：因為一個數(shù)的平方不能是負的)(2)觀察上面可以求解的一元二次方程的二次項系數(shù)與常數(shù)項的符號有何共同規(guī)律?(當(dāng)常數(shù)項不為0時，二次項系數(shù)與常數(shù)項的符號互為異號；當(dāng)常數(shù)項為0時，方程的解為x?=x?=0)小組討論

（(a-8)2=25,a-8=±5，a1=13，a2=3）小組展示我提問我回答我補充我質(zhì)疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優(yōu)秀知識點用直接開平方法解一元二次方程（重點）教師講評

1.[2023瀘州月考]方程x2＝4的根為(

) C返回變式1解方程x2－9＝0的結(jié)果為(

) A.x＝3

B.x＝9 C.x1＝－3，x2＝3 D.x1＝－9，x2＝9 C2.用直接開平方法解方程：

(1)2x2＝50；【解】(1)2x2＝50，∴x2＝25，∴x＝±5，即x1＝5，x2＝－5.返回變式2[2023深圳龍崗區(qū)期末]解方程：

(1)3x2－18＝0；(2)4x2＋11＝2.3.如果關(guān)于x的方程(x－1)2＝m沒有實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是________.m＜0返回變式3[2024唐山月考]如果關(guān)于x的方程(x－2)2＝1－m無實數(shù)根，那么m滿足的條件是(

) A.m＞2

B.m＜2 C.m＞1 D.m＜1C4.用直接開平方法解方程：

(1)[2023賀州期中](x－1)2＝4；

(2)(2x－1)2－64＝0.【解】(1)(x－1)2＝4，直接開平方，得x－1＝±2，解得x1＝3，x2＝－1.(2)(2x－1)2－64＝0，移項，得(2x－1)2＝64，直接開平方，得2x－1＝±8，∴2x＝1±8，解得x1＝

，x2＝

.返回變式4用直接開平方法解方程：

(1)(2x－6)2＝0；

(2)3(x－1)2－75＝0.【解】(1)(2x－6)2＝0,直接開平方，得2x－6＝0，解得x＝3.∴原方程的解為x1＝x2＝3.(2)3(x－1)2－75＝0，移項，得3(x－1)2＝75，系數(shù)化為1，得(x－1)2＝25，直接開平方，得x－1＝±5，解得x1＝6，x2＝－4.返回1.方程

x2＝100的根是(

) A.x1＝x2＝10

B.x1＝x2＝－10

C.x1＝10，x2＝－10

C返回2.用直接開平方法解方程(2x－3)2＝4時，可以將其轉(zhuǎn)化為2x－3＝2或2x－3＝－2，其依據(jù)的數(shù)學(xué)知識是(

) A.完全平方公式 B.平方根的意義

C.等式的性質(zhì) D.平方差公式

B返回3.[2023上海期中]要使方程ax2＋b＝0有實數(shù)根，則條件是(

) A.a≠0，b＞0 B.a≠0，b＜0C.a≠0，a，b異號或b＝0 D.a≠0，b≤0C返回4.如圖是一個簡單的數(shù)值運算程