解直角三角形解直角三角形在坡度問題中的應(yīng)用課件華東師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

24.4.4解直角三角形解直角三角形在坡度問題中的應(yīng)用第24章解直角三角形華東師大版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時(shí)間：********給出解直角三角形的定義：在直角三角形中，除直角外，已知兩個元素（其中至少一個是邊），求其他元素的過程叫做解直角三角形。引導(dǎo)學(xué)生分析為什么已知的兩個元素中至少有一個是邊：如果已知的兩個元素都是角，由于三角形的內(nèi)角和是\(180^{\circ}\)，直角三角形中直角是固定的\(90^{\circ}\)，那么僅知道兩個銳角，三角形的大小和形狀是不確定的，無法求出三邊的長度。而當(dāng)已知至少一條邊和其他一個元素時(shí)，就可以利用勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識求出其他元素。分類討論解直角三角形的類型：類型一：已知斜邊和一直角邊例如，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=5\)，\(a=3\)，求\(b\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。先根據(jù)勾股定理\(b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)。再根據(jù)\(\sinA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}\)，利用計(jì)算器求出\(\angleA\approx36.9^{\circ}\)。最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx53.1^{\circ}\)。類型二：已知斜邊和一銳角如在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=10\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，求\(a\)，\(b\)，\(\angleB\)。因?yàn)閈(\sinA=\frac{a}{c}\)，所以\(a=c\sinA=10\times\sin30^{\circ}=5\)。又因?yàn)閈(\cosA=\frac{c}\)，所以\(b=c\cosA=10\times\cos30^{\circ}=5\sqrt{3}\)。由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。類型三：已知一直角邊和一銳角已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=6\)，\(\angleB=45^{\circ}\)，求\(b\)，\(c\)，\(\angleA\)。因?yàn)閈(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，所以\(\angleA=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\)，則\(\angleA=\angleB\)，所以\(a=b=6\)。再根據(jù)勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\)。類型四：已知兩直角邊若在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=4\)，\(b=3\)，求\(c\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。首先由勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)。然后\(\tanA=\frac{a}=\frac{4}{3}\)，利用計(jì)算器求出\(\angleA\approx53.1^{\circ}\)。最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx36.9^{\circ}\)。（三）例題解析（15分鐘）例1：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=\sqrt{3}\)，\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，解這個直角三角形。分析：已知\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，因?yàn)閈(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\angleB=60^{\circ}\)。由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)。又因?yàn)閈(\sinB=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)，解得\(AB=2\)。再根據(jù)勾股定理\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\)。解答過程：解：因?yàn)閈(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\angleB=60^{\circ}\)。又\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，所以\(\angleA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)。由\(\sinB=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)，得\(AB=2\)。根據(jù)勾股定理\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\)。綜上，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(\angleB=60^{\circ}\)，\(AB=2\)，\(BC=1\)。例2：在\(\triangleABC\)中，\(\angleC\)為直角，\(\angleA\)、\(\angleB\)、\(\angleC\)所對的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(b=20\)，\(\angleA=35^{\circ}\)，解這個三角形（精確到\(0.1\)）。分析：已知\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=90^{\circ}-\angleA=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}\)。因?yàn)閈(\tanA=\frac{a}\)，所以\(a=b\tanA=20\times\tan35^{\circ}\)，利用計(jì)算器求出\(a\approx20\times0.7002\approx14.0\)。又因?yàn)閈(\cosA=\frac{c}\)，所以\(c=\frac{\cosA}=\frac{20}{\cos35^{\circ}}\)，利用計(jì)算器求出\(c\approx\frac{20}{0.8192}\approx24.4\)。解答過程：解：因?yàn)閈(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=90^{\circ}-\angleA=55^{\circ}\)。由\(\tanA=\frac{a}\)，得\(a=b\tanA=20\times\tan35^{\circ}\approx20\times0.7002\approx14.0\)。由\(\cosA=\frac{c}\)，得\(c=\frac{\cosA}=\frac{20}{\cos35^{\circ}}\approx\frac{20}{0.8192}\approx24.4\)。綜上，\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=55^{\circ}\)，\(a\approx14.0\)，\(c\approx24.4\)。（四）鞏固練習(xí)（10分鐘）在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=37^{\circ}\)，\(BC=32\)，（參考數(shù)據(jù)：\(\sin37^{\circ}\approx0.60\)，\(\cos37^{\circ}\approx0.80\)，\(\tan37^{\circ}\approx0.75\)），求\(AC\)的長。解：因?yàn)閈(\tanB=\frac{AC}{BC}\)，所以\(AC=BC\tanB=32\times\tan37^{\circ}\approx32\times0.75=24\)。如圖，已知\(Rt\triangleABC\)中，斜邊\(BC\)上的高\(yùn)(AD=3\)，\(\cosB=\frac{3}{5}\)，求\(AC\)的長。解：在\(Rt\triangleABD\)中，\(\cosB=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}\)，設(shè)\(BD=3x\)，\(AB=5x\)。由勾股定理\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x\)，又\(AD=3\)，所以\(4x=3\)，\(x=\frac{3}{4}\)，則\(AB=\frac{15}{4}\)。因?yàn)閈(\angleB+\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleCAD+\angleC=90^{\circ}\)，所以\(\angleB=\angleCAD\)，則\(\cos\angleCAD=\cosB=\frac{3}{5}\)。在\(Rt\triangleACD\)中，\(\cos\angleCAD=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}\)，即\(\frac{3}{AC}=\frac{3}{5}\)，解得\(AC=5\)。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容：解直角三角形的定義。解直角三角形的依據(jù)，包括勾股定理、直角三角形兩銳角互余以及銳角三角函數(shù)。解直角三角形的類型和方法，已知兩個元素（至少一個是邊）求其他元素的過程。強(qiáng)調(diào)在解直角三角形時(shí)需要注意的問題：選擇合適的三角函數(shù)關(guān)系式，盡量使用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，以減小誤差。注意計(jì)算的準(zhǔn)確性和規(guī)范性，書寫過程要條理清晰。（六）布置作業(yè)（5分鐘）基礎(chǔ)作業(yè)：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=10\)，\(\cosA=\frac{4}{5}\)，求\(b\)，\(c\)，\(\angleB\)。已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=60^{\circ}\)，\(b=4\)，解這個直角三角形。拓展作業(yè)：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleB=45^{\circ}\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，\(AB=6\)，求\(BC\)的長（結(jié)果保留根號）。一個物體從點(diǎn)\(A\)出發(fā)，沿坡度為\(1:2\)的斜坡向上移動到點(diǎn)\(B\)，如果\(AB=5\sqrt{5}\)米，求物體升高了多少米？五、教學(xué)反思在本節(jié)課的教學(xué)過程中，通過復(fù)習(xí)舊知引入新課，讓學(xué)生對直角三角形的相關(guān)知識有了更清晰的認(rèn)識，為學(xué)習(xí)解直角三角形奠定了基礎(chǔ)。在探究新知環(huán)節(jié)，通過分類討論和例題解析，引導(dǎo)學(xué)生掌握解直角三角形的方法和步驟，培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。在練習(xí)環(huán)節(jié)，通過不同類型的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高了學(xué)生的解題能力。但在教學(xué)過程中，可能存在部分學(xué)生對三角函數(shù)的運(yùn)用不夠熟練，在后續(xù)的教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)針對性的練習(xí)和輔導(dǎo)。同時(shí)，在教學(xué)方法上可以進(jìn)一步多樣化，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解在解直角三角形的過程中，重要關(guān)系式：(2)兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°(3)邊角之間的關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系A(chǔ)BabcC（勾股定理）活動一

如圖，從山腳到山頂有兩條路

AB與

BC，問哪條路比較陡？如何用數(shù)量來刻畫哪條路陡呢？ABC1.坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α.2.坡度(或坡比)坡度通常寫成1:m的形式，如

i=1:6.如圖所示，坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作

i，

即i=h:l

.αlhi=h:l坡面水平面3.坡度與坡角的關(guān)系即坡度等于坡角的正切值.αlhi=h:l坡面水平面顯然，坡度越大，坡角

α就越大，坡面就越陡.例1

水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡

AB的坡度

i=1:3，斜坡

CD的坡度

i=1:2.5，

求(1)求壩底寬

AD和斜坡

AB的長（精確到0.1m）；

(2)斜坡

CD的坡面角

α（精確到1°）解：(1)分別過點(diǎn)

B、C作

BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)

E、F，由題意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中在Rt△DCF中，同理可得在Rt△ABE中，由勾股定理可得=69+6+57.5=132.5m(2)斜坡

CD的坡度

i=tanα=1:2.5=0.4，由計(jì)算器可算得

α=22°.答：壩底寬

AD為132.5米，斜坡

AB的長約為72.7米．斜坡

CD的坡角

α約為22°.1.[2023·泰安]在一次綜合實(shí)踐活動中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測量．如圖，在塔前C處，測得該塔頂端B的仰角為50°，后退60m(CD＝60m)到D處有一平臺，在高2m(DE＝2m)的平臺上的E處，測得B的仰角為26.6°，則該電視發(fā)射塔的高度AB為________m．(精確到1m，參考數(shù)據(jù)：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5)55【點(diǎn)撥】過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F.由題意得AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA.設(shè)AC＝xm，∵CD＝60m，∴EF＝AD＝AC＋CD＝(x＋60)m.在Rt△ABC中，∠BCA＝50°，∴