等腰三角形第4課時等邊三角形的判定與含30°角的直角三角形的性質(zhì)

第一章三角形的證明1等腰三角形第4課時等邊三角形的判定與含30°角的直角三角形的性質(zhì)目錄CONTENTSA知識分點練B能力綜合練C拓展探究練

知識點1

等邊三角形的判定1.

（2024·西安校級月考）在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一個條

件后，仍不能判定△ABC為等邊三角形的是（

C

）A.

AB＝ACB.

∠A＝∠BC.

AD⊥BCD.

∠B＝∠CC12345678910112.

如圖，池塘旁邊有一條筆直的小路BC和一棵小樹A.

測得的相關數(shù)

據(jù)如下：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48

m.由上述數(shù)據(jù)可知

AC＝

m.48

12345678910113.

（教材P13習題T3變式）如圖，△ABC是等邊三角形，DF⊥AB，

DE⊥CB，EF⊥AC.

求證：△DEF是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等邊三角形.1234567891011[變式]

位置關系→數(shù)量關系如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，CA的

延長線上，且BE＝AF＝CD.

求證：△DEF是等邊三角形.證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠EAF＝∠EBD＝120°.∵BE＝CD，∴BE＋AB＝CD＋BC，即AE＝BD.

在△BDE和△AEF中，∵BE＝AF，∠EBD＝∠FAE，BD＝AE，∴△BDE≌△AEF（SAS），∴ED＝EF.

同理可得EF＝FD，∴EF＝ED＝FD，∴△DEF是等邊三角形.1234567891011變式題知識點2

含30

°角的直角三角形的性質(zhì)4.

（教材P11做一做變式）一個含30°角的直角三角尺ABC如圖1所

示，用兩個完全相同的這種三角尺恰好能拼成一個如圖2所示的等邊三

角形.若BC＝6，則AB的長為（

C

）A.3B.

6

C.12D.9C12345678910115.

2024年5月24日－26日，中國圖象圖形大會（CCIG

2024）在陜西省

西安市召開.在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中一個等腰三

角形模型的示意圖如圖所示，它的頂角為120°，腰長為12

m，則腰上

的高是

?.

[變式]

（教材P11例4變式）若一個等腰三角形腰上的高等于腰長的一

半，則該等腰三角形的底角的度數(shù)是

?.15°或75°

12345678910116.

（2024·西安期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝

60°，CD是△ABC的高，BC＝4，求AD的長.

1234567891011變式題

7.

如圖，上午8時一艘輪船從A地以25海里/時的速度向南偏西40°的方

向行駛，上午10時到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛50海里

到達C地，則A，C兩地相距（

C

）A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里C12345678910118.

（2024·西安閻良區(qū)期中）如圖，在邊長為10的等邊三角形ABC中，

點M在邊AB的延長線上，點N在邊AC上，且MN＝MC.

若AM＝16，

則CN的長為（

B

）A.3B.4C.5D.6B12345678910119.

（2024·西安校級月考）如圖，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠A＝

30°，AC＝b，CD＝a，以點C

為圓心，CD的長為半徑畫弧，交斜

邊AD于點B，AB＝c，則下列說法正確的是

.（填序號）①△BCD是等邊三角形；②a＋c＜b；③a＝c；④b＝2a.①③

123456789101110.

如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分別為

D，E，AE，BD相交于點O，連接DE.

（1）判斷△CDE的形狀，并說明理由；

1234567891011（2）求證：S△AOB＝2S△OBE.

1234567891011

11.

如圖，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12.現(xiàn)有兩點M，N分別從

點A，B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為每秒1個單

位長度，點N的速度為每秒2個單位長度.當點M第一次到達點B時，

M，N兩點同時停止運動.（1）點M，N運動幾秒后，M，N兩點重合？解：（1）設點M，N運動x秒后，M，N兩點重合.由題意，得x＋12＝2x，解得x＝12.∴點M，N運動12秒后，M，N兩點重合.1234567891011（2）點M，N運動幾秒后，可得到等邊三角形AMN？（2）設點M，N運動t秒后，可得到等邊三角形AMN，如圖1所示.由題意，得AM＝t，AN＝AB－BN＝12－2t.∵△AMN是等邊三角形，∴t＝12－2t，解得t＝4，∴點M，N運動4秒后，可得到等邊三角形AMN.

1234567891011（3）當點M，N在邊BC上運動時，是否存在以MN為底邊的等腰三角

形AMN？若存在，請求出此時M，N運動的時間.（3）存在.如圖2所示.∵△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB.

∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C＝∠B.

在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，1234567891011∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN.

假設當點M，N在邊BC上運動時，存在以MN為底邊的等腰三角形

AMN，此時M，N運動的時間為y秒，則CM＝y(tǒng)－12，NB＝36－2y.由題意，得y－12＝36－2y，解得y＝16.故假設成立.∴當點M，N在邊BC上運動時，存在以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M，N運動的時間為16秒.1234567891011謝謝觀看第3題變式變式1

（2024·西安校級月考）如圖，點P，M，N分別在等邊三角

形ABC的各邊上，且

MP⊥AB于點P，MN⊥BC于點M，PN⊥AC于

點N.

（1）求證：△PMN是等邊三角形；解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.

∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等邊三角形.（2）若AC＝12

cm，求CM的長.（2）根據(jù)題意，得△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，

PB＝MC＝AN，∴BM＋PB＝AB＝AC＝12

cm.∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB＋PB＝12

cm，∴PB＝4

cm，∴CM＝4

cm.變式2

（2023·咸陽秦都區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝120°，

AB＝AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足.求

證：△DEF是等邊三角形.

第6題變式變式1如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠BAD＝

30°，BD＝1，則BC＝（B

）A.3B.4C.

2

D.5變式1題圖B變式2

（2024·西安校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，

∠B＝30°，AD⊥BC，則下列等式成立