《高考備考指南 文科數(shù)學(xué)》課件-第9章 第4講

第九章第4講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點(diǎn)P(a，b)()A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．以上都有可能【答案】B【解析】由eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，得eq\r(a2＋b2)>1，∴點(diǎn)P在圓外．2．(2016年黃山一模)設(shè)圓C：x2＋y2－2x－2y－m＝0與直線y＝x－4相切，則圓C的半徑為()A．2eq\r(2)－2 B．10C．6 D．2eq\r(2)【答案】D【解析】∵圓C：x2＋y2－2x－2y－m＝0與直線y＝x－4相切，圓C的圓心C(1,1)，∴圓C的半徑r＝eq\f(|1－1－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故選D．3．圓C1：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的公切線有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條【答案】C【解析】圓C1：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，圓心坐標(biāo)為(－1，－2)，半徑為2，圓C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝9，圓心坐標(biāo)為(2,2)，半徑為3，所以eq\r([2－－1]2＋[2－－2]2)＝5＝2＋3，故兩圓的圓心距等于兩圓的半徑的和，所以兩圓外切，所以兩圓的公切線有3條．4．已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為()A．4＋eq\r(15) B．4＋eq\r(5)C．4±eq\r(15) D．4±eq\r(5)【答案】C【解析】易知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．故圓心C(1，a)到直線AB的距離為eq\r(3).即eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\r(3)，解得a＝4±eq\r(15).5．(2017年重慶校級(jí)模擬)已知C，D是圓A：(x＋1)2＋y2＝1與圓B：x2＋(y－2)2＝4的公共點(diǎn)，則△BCD的面積為()A．eq\f(4,5) B．eq\f(8,5)C．eq\f(4\r(5),5) D．eq\f(8\r(5),5)【答案】B【解析】C，D是圓A：(x＋1)2＋y2＝1與圓B：x2＋(y－2)2＝4的公共點(diǎn)，兩方程相減可得CD的方程為2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.圓B：x2＋(y－2)2＝4的圓心為B(0,2)，半徑為2，B到CD的距離為eq\f(4,\r(12＋22))＝eq\f(4,\r(5))，|CD|＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(5))))2)＝eq\f(4,\r(5)).△BCD的面積為eq\f(1,2)×eq\f(4,\r(5))×eq\f(4,\r(5))＝eq\f(8,5).故選B．6．(2016年貴陽(yáng)二模)過點(diǎn)M(2,0)作圓x2＋y2＝1的兩條切線MA，MB(A，B為切點(diǎn))，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝()A．eq\f(5\r(3),2) B．eq\f(5,2)C．eq\f(3\r(3),2) D．eq\f(3,2)【答案】D【解析】由圓的切線性質(zhì)可得，OA⊥MA，OB⊥MB.直角三角形OAM，OBM中，由sin∠AMO＝sin∠BMO＝eq\f(r,|OM|)＝eq\f(1,2)，可得∠AMO＝∠BMO＝eq\f(π,6)，|MA|＝|MB|＝eq\r(|OM|2－r2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\r(3)×eq\r(3)×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).故選D．7．(2016年陜西校級(jí)模擬)圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值是________．【答案】eq\r(2)＋1【解析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)，圓的半徑r＝1.所以圓心到直線x－y＝2的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，則圓上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離最大值為d＋r＝eq\r(2)＋1.8．過圓x2＋y2＋4x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的相交弦端點(diǎn)的圓中，周長(zhǎng)最小的圓的方程是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(6,5)))2＝eq\f(4,5)【解析】聯(lián)立圓的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，,x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,5)，,y＝－\f(2,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))∴兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，－\f(2,5)))，B(－1，－2)．過兩交點(diǎn)的圓中，以AB為直徑的圓的周長(zhǎng)最小，∴該圓的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(6,5)))，半徑為eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)＋2))2),2)＝eq\f(2\r(5),5).∴所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(6,5)))2＝eq\f(4,5)9．已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)求公共弦所在直線的方程；(2)求公共弦的長(zhǎng)．【解析】(1)兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程x－2y＋4＝0.(2)圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑為5eq\r(2)，圓心到公共弦所在直線的距離d＝eq\f(|1＋10＋4|,\r(1＋4))＝3eq\r(5)，∴公共弦的長(zhǎng)＝2eq\r(5\r(2)2－3\r(5)2)＝2eq\r(5).10．已知圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)且|AB|＝2eq\r(2)時(shí)，求直線l的方程．【解析】將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2.(1)若直線l與圓C相切，則有eq\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝－eq\f(3,4).(2)過圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CD|＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，,|DA|＝\f(1,2)|AB|＝\r(2)，))解得a＝－7或a＝－1.故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.[B級(jí)能力提升]11．若直線l：y＝kx＋1(k<0)與圓C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定【答案】A【解析】因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圓心坐標(biāo)為(－2,1)，半徑為eq\r(2)，因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以eq\f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1.因?yàn)閗<0，所以k＝－1.所以直線l的方程為x＋y－1＝0.圓心D(2,0)到直線l的距離d＝eq\f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<eq\r(3)，所以直線l與圓D相交．12．過點(diǎn)(eq\r(2)，0)引直線l與曲線y＝eq\r(1－x2)相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于()A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)【答案】B【解析】如圖所示，∵S△AOB＝eq\f(1,2)|OA||OB|·sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB≤eq\f(1,2).當(dāng)∠AOB＝eq\f(π,2)時(shí)，△AOB面積最大．此時(shí)點(diǎn)O到AB的距離d＝eq\f(\r(2),2).設(shè)AB的方程為y＝k(x－eq\r(2))(k<0)，即kx－y－eq\r(2)k＝0.由d＝eq\f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，得k＝－eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(也可k＝－tan∠OPH＝－\f(\r(3),3))).13．(2016年撫順一模)已知直線l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圓C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A(0，k)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則線段AB的長(zhǎng)為()A．2 B．2eq\r(2)C．3 D．2eq\r(3)【答案】D【解析】由圓C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，表示以C(3，－1)為圓心、半徑等于1的圓．由題意可得，直線l：kx＋y－2＝0經(jīng)過圓C的圓心(3，－1)，故有3k－1－2＝0，得k＝1，則點(diǎn)A(0,1)，即|AC|＝eq\r(0－32＋1＋12)＝eq\r(13).則線段|AB|＝eq\r(|AC|2－r2)＝eq\r(\r(13)2－1)＝2eq\r(3).故選D．14．(2017年四川模擬)已知圓C1：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圓C3：x2＋y2－2x－2y－eq\f(14,5)＝0，則圓C1與圓C2的公共弦所在的直線被圓C3所截得的弦長(zhǎng)為________．【答案】4【解析】∵圓C1：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，兩式相減得公共弦方程為4x－2y＋2＝0，即2x－y＋1＝0.由C3：x2＋y2－2x－2y－eq\f(14,5)＝0得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(24,5)，則圓心C3坐標(biāo)為(1,1)，半徑R＝eq\r(\f(24,5))，∴圓心C3到2x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|2－1＋1|,\r(22＋1))＝eq\f(2,\r(5))，則公共弦所在的直線被圓C3所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(\f(24,5)－\f(4,5))＝2eq\r(4)＝2×2＝4.15．設(shè)A(1,0)，B(0,1)，直線l：y＝ax，圓C：(x－a)2＋y2＝1.若圓C既與線段AB有公共點(diǎn)，又與直線l有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\r(2)，\r(\f(1＋\r(5),2))))【解析】由于圓與直線l有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于等于半徑，即有eq\f(a2,\r(1＋a2))≤1，∴a2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(5),2)))；由于圓C與線段AB相交，則a≤2且eq\f(|a－1|,\r(2))≤1，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(2)≤a≤\r(2)＋1，,a≤2，))即1－eq\r(2)≤a≤2，因此可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\r(2)，\r(\f(1＋\r(5),2)))).16．(2016年商丘三模)過點(diǎn)A(0，a)作直線與圓E：(x－2)2＋y2＝1交于B，C兩點(diǎn)，在線段BC上取滿足BP∶PC＝AB∶AC的點(diǎn)P.(1)求P點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)直線2x－ay－3＝0與圓E交于M，N兩點(diǎn)，求△EMN(E為圓心)面積的最大值．【解析】(1)設(shè)AB方程為y＝kx＋a，與圓的方程聯(lián)立得(1＋k2)x2＋(2ak－4)x＋a2＋3＝0.設(shè)B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(2ak－4,1＋k2)，x1x2＝eq\f(a2＋3,1＋k2).設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，∵eq\f(BP,PC)＝eq\f(AB,AC)，∴eq\f(x－x1,x2－x)＝eq\f(x1,x2).∴x＝eq\f(2x1x2,x1＋x2)＝eq\f(a2＋3,2－ak)，∴y＝kx＋a＝eq\f(2a＋3k,2－ak).消去k，得2x－ay－3＝0