2025年大學統(tǒng)計學多元統(tǒng)計分析期末考試題庫理論+實驗試題

2025年大學統(tǒng)計學多元統(tǒng)計分析期末考試題庫理論+實驗試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述性統(tǒng)計分析要求：根據所給數據，完成描述性統(tǒng)計分析，包括計算均值、中位數、眾數、方差、標準差、最大值、最小值和四分位數。1.某班級30位同學的平均成績?yōu)?0分，成績標準差為10分，請回答以下問題：（1）若成績呈正態(tài)分布，請估算該班級成績低于60分的學生人數；（2）若成績呈正態(tài)分布，請估算該班級成績在70至90分之間的學生人數；（3）若成績呈正態(tài)分布，請估算該班級成績高于90分的學生人數。2.某城市連續(xù)5年每年隨機抽取100名居民，記錄其年人均可支配收入（單位：萬元），如下表所示：|年份|年人均可支配收入||----|---------------||2016|3.5||2017|3.7||2018|3.9||2019|4.1||2020|4.3|請回答以下問題：（1）計算這5年年人均可支配收入的中位數；（2）計算這5年年人均可支配收入的均值；（3）計算這5年年人均可支配收入的標準差；（4）計算這5年年人均可支配收入的方差；（5）求出這5年年人均可支配收入的四分位數Q1和Q3。二、相關分析要求：根據所給數據，完成相關分析，包括計算相關系數、散點圖繪制和擬合線性回歸模型。1.某班級30位同學的身高（cm）和體重（kg）數據如下表所示：|身高|體重||----|----||160|45||165|50||170|55||175|60||180|65||185|70||190|75||195|80||200|85||205|90||210|95||215|100||220|105||225|110||230|115||235|120||240|125||245|130||250|135||255|140||260|145||265|150||270|155||275|160||280|165|請回答以下問題：（1）計算身高與體重的相關系數；（2）繪制身高與體重散點圖；（3）建立身高與體重的線性回歸模型，并計算回歸系數；（4）利用回歸模型預測身高為180cm時的體重；（5）檢驗線性回歸模型的顯著性。四、因子分析要求：根據所給數據，進行因子分析，提取主成分，解釋因子載荷，并確定因子個數。1.某調查問卷包含10個問題，調查對象為100名消費者，以下是10個問題的得分數據：|問題1|問題2|問題3|問題4|問題5|問題6|問題7|問題8|問題9|問題10||------|------|------|------|------|------|------|------|------|------||5|4|3|2|1|5|4|3|2|1||4|3|2|1|5|4|3|2|1|5||3|2|1|5|4|3|2|1|5|4||2|1|5|4|3|2|1|5|4|3||1|5|4|3|2|1|5|4|3|2||5|4|3|2|1|5|4|3|2|1||4|3|2|1|5|4|3|2|1|5||3|2|1|5|4|3|2|1|5|4||2|1|5|4|3|2|1|5|4|3||1|5|4|3|2|1|5|4|3|2|請回答以下問題：（1）計算10個問題的相關系數矩陣；（2）進行KMO和Bartlett球形度檢驗；（3）提取主成分，解釋因子載荷；（4）確定因子個數；（5）根據因子分析結果，對問卷進行簡化。五、聚類分析要求：根據所給數據，進行聚類分析，選擇合適的聚類方法，解釋聚類結果。1.某公司有5個部門，每個部門有10名員工，以下是5個部門員工的年齡、工作年限和月收入數據：|部門|年齡|工作年限|月收入||----|----|--------|------||1|25|2|5000||1|30|5|7000||1|35|10|10000||1|40|15|12000||1|45|20|15000||2|25|2|5000||2|30|5|6000||2|35|10|9000||2|40|15|11000||2|45|20|13000||3|25|2|4500||3|30|5|5500||3|35|10|8000||3|40|15|10500||3|45|20|12500||4|25|2|5500||4|30|5|6500||4|35|10|9500||4|40|15|12000||4|45|20|14500||5|25|2|6000||5|30|5|7000||5|35|10|10000||5|40|15|13000||5|45|20|16000|請回答以下問題：（1）選擇合適的聚類方法，并解釋原因；（2）進行聚類分析，確定聚類個數；（3）解釋聚類結果，分析不同聚類之間的差異；（4）根據聚類結果，提出改進公司管理的建議。六、時間序列分析要求：根據所給數據，進行時間序列分析，建立模型，預測未來趨勢。1.某城市近10年居民消費支出（單位：億元）如下表所示：|年份|消費支出||----|--------||2011|100||2012|110||2013|120||2014|130||2015|140||2016|150||2017|160||2018|170||2019|180||2020|190|請回答以下問題：（1）繪制消費支出時間序列圖；（2）根據時間序列圖，判斷消費支出是否存在季節(jié)性波動；（3）選擇合適的時間序列模型，并解釋原因；（4）利用所選模型，預測2021年、2022年和2023年的消費支出；（5）分析預測結果，提出促進居民消費的建議。本次試卷答案如下：一、描述性統(tǒng)計分析1.（1）根據正態(tài)分布的性質，可以使用標準正態(tài)分布表查找Z值。對于低于60分的概率，計算公式為：\(P(X<60)=P\left(Z<\frac{60-\mu}{\sigma}\right)\)\(P(X<60)=P\left(Z<\frac{60-80}{10}\right)=P(Z<-2)\)查找標準正態(tài)分布表，得到\(P(Z<-2)\approx0.0228\)因此，低于60分的學生人數約為\(30\times0.0228\approx0.684\)，取整數為1人。（2）對于70至90分的概率，計算公式為：\(P(70\leqX\leq90)=P\left(Z<\frac{90-\mu}{\sigma}\right)-P\left(Z<\frac{70-\mu}{\sigma}\right)\)\(P(70\leqX\leq90)=P(Z<2)-P(Z<1)\)查找標準正態(tài)分布表，得到\(P(Z<2)\approx0.9772\)和\(P(Z<1)\approx0.8413\)因此，70至90分之間的學生人數約為\(30\times(0.9772-0.8413)\approx30\times0.1359\approx4.077\)，取整數為4人。（3）對于高于90分的概率，計算公式為：\(P(X>90)=1-P(X\leq90)\)\(P(X>90)=1-P(Z<\frac{90-\mu}{\sigma})\)\(P(X>90)=1-P(Z<2)\)查找標準正態(tài)分布表，得到\(P(Z<2)\approx0.9772\)因此，高于90分的學生人數約為\(30\times(1-0.9772)\approx30\times0.0228\approx0.684\)，取整數為1人。2.（1）中位數即為中間值，對于5個數據，中位數為第3個數，即3.9萬元。（2）均值計算公式為：\(\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}\)\(\bar{X}=\frac{3.5+3.7+3.9+4.1+4.3}{5}=3.9\)萬元（3）標準差計算公式為：\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{n}}\)\(\sigma=\sqrt{\frac{(3.5-3.9)^2+(3.7-3.9)^2+(3.9-3.9)^2+(4.1-3.9)^2+(4.3-3.9)^2}{5}}\)\(\sigma=\sqrt{\frac{0.16+0.04+0+0.04+0.16}{5}}\)\(\sigma=\sqrt{0.1}\approx0.316\)萬元（4）方差計算公式為：\(\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{n-1}\)\(\sigma^2=\frac{(3.5-3.9)^2+(3.7-3.9)^2+(3.9-3.9)^2+(4.1-3.9)^2+(4.3-3.9)^2}{4}\)\(\sigma^2=\frac{0.16+0.04+0+0.04+0.16}{4}\)\(\sigma^2=0.1\)萬元^2（5）四分位數Q1為中間兩個數的平均值，即\(\frac{3.7+3.9}{2}=3.8\)萬元；Q3為中間兩個數的平均值，即\(\frac{4.1+4.3}{2}=4.2\)萬元。二、相關分析1.（1）相關系數計算公式為：\(r=\frac{n(\sumxy)-(\sumx)(\sumy)}{\sqrt{[n\sumx^2-(\sumx)^2][n\sumy^2-(\sumy)^2]}}\)根據給定數據計算得到相關系數\(r\)的具體值。（2）繪制身高與體重散點圖，觀察點的分布情況，初步判斷是否存在線性關系。（3）建立線性回歸模型，計算回歸系數\(a\)和\(b\)：\(y=ax+b\)\(a=\frac{n(\sumxy)-(\sumx)(\sumy)}{n\sumx^2-(\sumx)^2}\)\(b=\frac{\sumy-a(\sumx)}{n}\)根據給定數據計算得到回歸系數\(a\)和\(b\)的具體值。（4）利用回歸模型預測身高為180cm時的體重：\(y=a\times180+b\)根據計算得