平面幾何中的向量方法-高一數(shù)學(人教A版2019)

高中數(shù)學

人教A版（2019）

必修第一冊第六章

平面向量及其應用6.4.1平面幾何中的向量方法山東沂水縣第四中學教材分析6.4平面向量的應用課時內容平面幾何中的向量方法向量在物理中的應用舉例余弦定理、正弦定理所在位置教材第38頁教材第40頁教材第42頁新教材內容分析本節(jié)的目的是讓學生加深對向量的認識，更好地體會向量這個工具的優(yōu)越性。對于向量方法，就思路而言，幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用”向量和向量運算“來替代”數(shù)和數(shù)的運算“。物理學家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已發(fā)現(xiàn)這些量之間可以進行某種運算。數(shù)學家在物理家使用向量的基礎上，對向量又進行了深入研究，使向量成為研究數(shù)學和其他科學的有力工具。本節(jié)將舉例說明向量在解決物理問題中的應用。余弦、正弦定理是研究任意三角形邊角之間關系的重要開端；用余弦、正弦定理解三角形，是典型的用代數(shù)的方法來解決的幾何問題的類型；在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中的應用又十分廣泛核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過對用向量法解決平面幾何問題的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模等數(shù)學素養(yǎng).通過實例，引導學生用向量方法解決物理中的速度、力學問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。通過對余弦定理、正弦定理的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模等數(shù)學素養(yǎng)。教學主線平面向量的線性運算、坐標表示本小節(jié)內容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應用》的第四節(jié)《平面向量的應用》。以下是本節(jié)的課時安排：學習目標

1.會用向量方法解決簡單的幾何問題,培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；2.體會向量在解決幾何問題中的作用，提升數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。重點、難點1.重點：用向量方法解決幾何問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”。2.難點：能夠將幾何問題轉化為平面向量問題。（一）新知導入

1.創(chuàng)設情境，生成問題

向量理論的發(fā)展有著深刻的幾何背景.這一源泉最早可追溯到萊布尼茲的位置幾何的概念.萊布尼茲認為代數(shù)僅僅能表達未定的數(shù)或量值，不能直接表達位置、角度和運動，利用代數(shù)運算來分析一個圖形的特點、尋找方便的幾何證明和構造有時是很困難的.鑒于此，他提出了一個“新代數(shù)”，其中幾何實體可以用符號來表示，并且這些符號可以直接進行運算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多點和線.這就是向量.（一）新知導入

2.探索交流，解決問題【問題1】要判斷AB⊥CD,從向量的角度如何證明?

【問題2】怎樣用向量的方法證明AB∥CD?

【問題3】如何利用向量方法求直線AB與CD所成角?

【問題4】如何利用向量的方法求線段的長度?[提示]根據(jù)向量的有關運算,求出對應向量的模,即為線段的長度.（二）平面向量在幾何中的應用1.用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；③把運算結果“翻譯”成幾何關系．2.用向量方法解決平面幾何問題的兩個基本方法：①幾何法：選取適當?shù)幕?基底中的向量盡量已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質計算．②坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行、夾角等問題轉化為代數(shù)運算．（二）平面向量在幾何中的應用

答案：（1）B（2）A（三）典型例題1.利用平面向量證明垂直問題【例1】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.（三）典型例題【類題通法】利用向量解決垂直問題的方法和途徑方法：對于線段的垂直問題，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的條件，即向量的數(shù)量積為0.途徑：可以考慮向量關系式的形式，也可以考慮坐標的形式.【鞏固練習1】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求證：AC⊥BC.（三）典型例題2.利用平面向量求幾何中的長度、角度問題【例2】（1）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長.（三）典型例題

（三）典型例題

【鞏固練習2】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D為AC中點，則cos∠BDC＝()B（三）典型例題3.平面幾何中的平行(或共線)問題

（三）典型例題【類題通法】用向量解決平面幾何中的平行問題，首先想到的應該是平面向量共線定理。【鞏固練習3】在△ABC中，點M，N分別在線段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求證：MN∥BC.（四）操作演練

素養(yǎng)提升

3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長為________.4.正方形OABC的邊長為1，點D、E分別為AB，BC的中點，求cos∠DOE的值.

課堂小結知識總結學生反思（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？

（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？作業(yè)布置完成教材——第39頁練習第1，2，3題