湖南省常德市石門某中學(xué)2024屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

湖南省常德市石門一中2024屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視

圖，則該陀螺的表面積為（）

A.（7+2&）兀B.（10+2&）兀

C.（10+4后）兀D.（U+4&）兀

2.設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，貝上卬＜0”是"S?皿＜0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.圓錐底面半徑為石，高為2,SA是一條母線，P點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則2點(diǎn)到S4所在直線的距離的最大值是

（）

*264石

A.----B.----C.73D.4

33

4.如圖，圓錐底面半徑為正，體積為述萬，AB.CD是底面圓。的兩條互相垂直的直徑，E是母線M的中

3

點(diǎn)，已知過。。與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)尸的距

離等于（）

A石

A?_LIRS??JIvr??---------nJLF?

242

5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積等于（）5?

4正■■■）一O??■

□

.In&3兀,2乃,3不

A.4+——B.4+——C.6+——D.6+—

3232

-7---r-1,-1<X<0

6.已知“不）=]‘（""）,若方程“另—26=〃-1有唯一解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

50<x<l

B.{-16}u（；,lD（2,+8）

A.{—8}D（1,~KX））

C.{-8}ug,lu（2,+oo）D.{-32}u[l,2]u（4,-bx）

7.已知例是函數(shù)/*）=lnx圖象上的一點(diǎn)，過M作圓Y+），2—2），=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,則

的最小值為（）

c

A.242-3B.-1C.0D.—--3

2

8.直三棱柱A3C-A4G中，CA=CC1=2CB,AC1BC,則直線BQ與AB1所成的角的余弦值為（）

A01t后「2加n3

A.——B.C?D.—

5355

9.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對(duì)樂器進(jìn)行分類的方法，最先見于《周禮?春

官?大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（p6。）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”

為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（）

3H八12

A.—B.—C.—D.—

1414147

10.袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)小球，從袋子中一次性摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼并放回，如果

兩個(gè)號(hào)碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎(jiǎng)的概率是(〉

12.以4(3,—1),8(-2,2)為直徑的圓的方程是

A.x2+y2-x-y-8=0B.x2+y2-x-y-9=0

C.x2+y2+x+y-8=0D.x2+y2+x+y-9=0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知機(jī)，〃為正實(shí)數(shù)，且+〃=則m+2〃的最小值為.

,2~\x<01I

14.若函數(shù)八，貝iJ/E/dog，)］的值為____.

log3x9x>033

15.。+工一2)4的展開式中/的系數(shù)為.

X

16.'k十七)的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知矩形紙片ABCD中，4/?=6,人。=12,將矩形紙片的右下角沿線段MN折疊，使矩形的頂點(diǎn)△落

在矩形的邊AO上，記該點(diǎn)為￡,且折痕MN的兩端點(diǎn)M,N分別在邊。上.設(shè)NMN8=0,MV=/,MMN的

面積為￡

（1）將，表示成。的函數(shù)，并確定〃的取值范圍；

（2）求,的最小值及此時(shí)sin。的值；

（3）問當(dāng)0為何值時(shí)，AEMN的面積S取得最小值？并求出這個(gè)最小值.

18.（12分）某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大

市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了健身促銷活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的

部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足I小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來該健身館健身，設(shè)甲、

|112

乙健身時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別為二，一，健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別為不，且兩人健

4623

身時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).

（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量自（單位：元），求J的分布列與數(shù)學(xué)期望石信）；

（2）此促銷活動(dòng)推出后，健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來參與健身活動(dòng)，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)

測此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營業(yè)額.

19.（12分）已知。>0,b>0f且=

（1）求，+］的最小值；

ab

（2）證明："+2b〈立.

a2+b2+\2

20.（12分）已知片，鳥分別是橢圓￡：二+與的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)。（-1,克）在橢圓E1上，且拋物線

a~b~2

）,2=4工的焦點(diǎn)是橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn).

（1）求“，/?的值：

（2）過點(diǎn)用作不與X軸重合的直線/,設(shè)/與圓/+），2=/+獷相交于八，3兩點(diǎn),且與橢圓E相交于C,D兩點(diǎn),

當(dāng)片4￡3=1時(shí)，求A《CD的面積.

21.（12分）已知A是拋物線&V=2px（">0）上的一點(diǎn)，以點(diǎn)4和點(diǎn)以2,0）為直徑兩端點(diǎn)的圓C交直線x=l于M,

N兩點(diǎn).

(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程；

(2)若OVpVL拋物線￡與圓(x?5產(chǎn)+產(chǎn)=9在x軸上方的交點(diǎn)為P,Q,點(diǎn)G為P。的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直

線OG斜率的取值范圍.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=l)x+lnx,?！闞.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線/(x)在點(diǎn)(2,7(2))的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，

【詳解】

由題意可知幾何體的直觀圖如圖：

上部是底面半徑為1,高為3的圓柱，下部是底面半徑為2,高為2的圓錐,

幾何體的表面積為：4乃+」x4乃x2&+24x3=(1()+4夜)4,

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

2、C

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】

1—1_/J2021

由于數(shù)列仇｝是等比數(shù)列'所以5/?皆'由于皆>。，所以

4<。o52021<0,故“4<0”是“S刈<0”的充分必要條件.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解尸的位置，推出結(jié)果即可.

詳解：圓錐底面半徑為石，高為2,S4是一條母線，。點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，夕在底面的射影為。；SA=JTG=3,

OA>SO,過S4的軸截面如圖：

ZASQ>90°,過。作QT_LSA于7，則Q7<QS,在底面圓周，選擇尸，使得NPSA=90。，則。到SA的距離

的最大值為3,故選：C

點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題.

4、D

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)尸的距離.

【詳解】

將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示，

,:P0=4i，OE=]tOC=OD=五,

AC（-1,V2）,設(shè)拋物線y2=2px,代入C點(diǎn),

可得/=-2x

(1A

???焦點(diǎn)為一不°，

I2)

即焦點(diǎn)為0E中點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)為產(chǎn)，

EF=g,PE=\t：,PF=-.

22

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，推理論

證能力，應(yīng)用意識(shí).

5、D

【解析】

解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為：

V=V三棱柱+V半園柱=^x2x2xl+，?7t?12xl=(6+1.5rt)cm1.

22

故答案為6+1.571.

點(diǎn)睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可.

6、B

【解析】

求出了“)的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布，求出。的范圍即可.

【詳解】

解：令-IvxvO,貝

貝ij/(x+l)=U，

----1,-1<.r<0

故/")=『+1,如圖示：

—,0?x<1

12

由/(X)-2ax=a-\,

得+

函數(shù)丁=](2]+1)-1恒過4一；，-1),

由限)，C(0,l),

2

-+1_1+1_

可得—=1，%=2,%=丁=,

月5

若方程fM-2dx=a-\有唯一解，

則1<222或2々>4,即1<4,1或。>2；

2

2

當(dāng)23+〃-1=弋-1即圖象相切時(shí)，

X+1

根據(jù)△=(),9。2—84(4—2)=0,

解得4=76(0舍去)，

則〃的范圍是{-16}u(g,lU(2,+8),

故選：B.

r

I

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

7、C

【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓，可知|M4|二|"5|,若設(shè)NAM3=26,貝”/04耳附二+，所以

412cos26=24個(gè)夕+F二一3,而要求加人.MB的最小值，只要sin。取得最大值，若設(shè)圓

sin6

犬+/一2),二0的圓心為。，則如夕二啟，所以只要眼。取得最小值，若設(shè)MCUnx),則

|MC|2=x2+(lnx-l)2,然后構(gòu)造函數(shù)gaxV+Qnx-i)?,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.

【詳解】

記圓d+y2_2y=o的圓心為C,設(shè)乙4MC=8,貝小"川二|MB卜高⑻皿二六，設(shè)

A/(x,lnx),|MC\2=X2+(lnx-l)2,記g(x)=x2+(lnx-l)2,貝!1

g'(x)=2x+2(lnx-l),一i二一7(丁+lnx-l),令。(幻二丁+inx-1,

xx

因?yàn)椤?幻=/+上工-1在(0,+8)上單調(diào)遞增，且〃(1)=0,所以當(dāng)Ovxvl時(shí)，力(x)v〃(l)=O,g'(x)vO；當(dāng)％>1

時(shí)，〃⑶>"(l)=0,g'(x)>0,則g(?在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,田)上單調(diào)遞增，所以g。)而n=g⑴=2,即

即|麻,。V孝,所以必?礪必皿如2城辦焉3。(當(dāng)sin*#時(shí)等號(hào)成立).

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值，利用了導(dǎo)數(shù)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題.

8、A

【解析】

設(shè)C4=CG=2CB=2,延長A罔至。，使得44=優(yōu)/）,連BD,C"可證得到/（清。（或補(bǔ)角）

為所求的角，分別求出解4c8。即可.

【詳解】

設(shè)C4=CC=2CA=2,延長A片至0,使得AB】=BQ,

連BD,CP，在直三棱柱43C-AMG中，AB//A,Bl,AB=AiBlt

AB//BQ,AB=B1D,四邊形ABDB,為平行四邊形，

.?.ABJiBD,../CiBD（或補(bǔ)角）為直線8G與A片所成的角,

在《△8CG中，BC,=^CC；+BC1=x/5,

I2

在RfAAB￡中，AB1二JA。；+B]C：=^cosZ^^Cj=金,

在中,

G。2=Ac:+4。2-2AG?Aocos/qAG=4+20—16=8,

在Rf△4A|B|中，AB}=JAV+AB：=3,.,.BD=AB】=3,

BC^+BDr-C.Dr5+9-8—石

在4G。中，cosNC\BD=

2BQ?BD60一5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.

9、B

【解析】

分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】

從“八音”中任取不同的“兩音”共有=28種取法；

“兩音”中含有打擊樂器的取法共有心-仁=22種取法；

~一2211

所求概率〃

Zo14

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用組合的知識(shí)求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).

10、C

【解析】

先確定摸一次中獎(jiǎng)的概率，5個(gè)人摸獎(jiǎng)，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn)，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得

到結(jié)果.

【詳解】

從6個(gè)球中摸出2個(gè)，共有15種結(jié)果，

兩個(gè)球的號(hào)碼之和是3的倍數(shù)，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)

???摸一次中獎(jiǎng)的概率是以=:，

153

5個(gè)人摸獎(jiǎng)，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn)，且每一次發(fā)生的概率是g,

O1QA

;?有5人參與摸獎(jiǎng)，恰好有2人獲獎(jiǎng)的概率是。(J.(；尸-黑，

JJJ

故選；C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，解題時(shí)主要是看清摸獎(jiǎng)5次,

相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題.

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況，即可得解.

【詳解】

由題可知/（X）定義域?yàn)椤喊停ǎ?（（）團(tuán),

—sinx=f(x),

.../（x）是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱,

排除C,D.

???外力在（0,乃）必有零點(diǎn)，排除A.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

12、A

【解析】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法一一求出從而求出圓的方程.

【詳解】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。一。）2+（），一份2=/,

由題意得圓心0（。力）為A,8的中點(diǎn)，

3-21-1+2I

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得〃=?=3=

2222

又r=四=如+2）2+"2）2=叵,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

222

（A-i）2-Cv-1）2=y,化簡整理得犬+V_X_y_8=0,

所以本題答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程組，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3+2&

【解析】

m+n=nm=>-+-=if所以有m+2〃=+2/?）（1+1）=3+-+—,再利用基本不等式求最值即可.

mnmnnm

【詳解】

由已知，-+-=1,所以根+2〃=（旭+2〃）（工+1）=3+%+”23+2&,

mnmnnm

當(dāng)且僅當(dāng)['〃=&〃，即〃?=行+],〃二2±亞時(shí)，等號(hào)成立.

m4-n=mn2

故答案為：3+2叵

【點(diǎn)睛】

本題考查利用基本不等式求和的最小值問題，采用的是“1”的替換，也可以消元等，是一道中檔題.

14>--

2

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

【詳解】

2Tr0

根據(jù)題意，函數(shù)/*）=/八，

則/（>og41）=/（-log43）=/（-log2V3）=>/3,

J

則/[1/（bg4g）]=于吟）=143當(dāng)=一；

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.

15、28

【解析】

將己知式轉(zhuǎn)化為（X+L-2）4=0=匚，則（冗+,-2）4的展開式中犬的系數(shù)57）8中f的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式展開式

可求得其值.

【詳解】

???（工+4一2）4=上^^匚=止」1,所以。+,-2）4的展開式中x2的系數(shù)就是（.1一1）8中尤6的系數(shù)，而（］一］）8

XXXX

中X6的系數(shù)為C；?（一=C；=28,

展開式中Y的系數(shù)為仁二28

故答案為：28.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開式中的某特定項(xiàng)的系數(shù)，關(guān)鍵在于將原表達(dá)式化簡將三項(xiàng)的塞的形式轉(zhuǎn)化為可求的二項(xiàng)式的形式,

屬干基礎(chǔ)題.

16、240

【解析】

利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于3,計(jì)算展開式中含有F項(xiàng)的系數(shù)即可.

【詳解】

由題意得：乙尸2（2X嚴(yán)（2）「，只需6-1r=3,可得尸=2,

代回原式可得7；=240/,

故答案：240.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式及簡單應(yīng)用，相對(duì)不難.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）1=.「但"if［（）sin^=—,/的最小值為迪.（3）夕=［時(shí)，面積S取最小值為

sin<9cos-24）3226

【解析】

（1）/ENM=/MNB=e,/EMA=2。,利用三角函數(shù)定義分別表示NB,MB,ME,AM，且4W+MB=6,即可得到

3

BN=——=——<12

sincos6?

3

/關(guān)于。的解析式；BNK12,8M<6,則《BM=——<6，即可得到。的范圍;

cos-0

0<6><-

2

(2)由(1),若求/的最小值即求sinOccH。的最大值,即可求sin29cos%的最大值，設(shè)為rCXsiMecoT凡令

X=cos2"則尸(。)=(1r)V即可設(shè)g。)=(1,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得g(x)的最大值，進(jìn)而

求解;

9811

(3)由題,S=sin6cos8=-x-------z—,”埒則s?=，設(shè)

2sin6>cos3/9U24sin2^cos66

t=COS2夕后《"3〃⑺=(1一此利用導(dǎo)函數(shù)求得力⑺的最大值，即可求得S的最小值.

【詳解】

解：(1)4ENM=4MNB=，4EMA=2e,

故NB=lcos6,MB=ME=lsin夕AM=MEcos20=/sin/9cos20.

因?yàn)锳M+M3=6,所以/sin8cos28+/sine=6,,

63

所以/=

sin6(cos26+1)sincos20'

3

BN=——=——<12

sin0cos0

3777T

又則——<6，所以一4。《一,

cos-6*124

0<3<-

2

3

所以/=—<0<—

sin^cos2124；

(2)記f(0)=sin0cos2工夕工：,

則Fcxsirecos'e,

設(shè)X=cos2e,X￡，則尸3)=(17],

記g(M=(1-x)x2,JHOg'(x)=2x-3x2,

2

令/")=。,貝!=

當(dāng)xw:，,時(shí),且彳勾>0;當(dāng)xw

時(shí)，g'x)VO,

_z3J''34

,2乎］上單調(diào)遞減,

所以g(.r)在1|上單調(diào)遞增，在

J34

故當(dāng)x=cos26=2時(shí)/取最小值，此時(shí)sin夕=且，/的最小值為迪.

332

(3)NEMN的面積S=-l^sinOcosO=-x-.----^―|—

22sin，cos'，(124；

所以s2=%J設(shè)［=3《：“￡力,則建/二2±烏

4sirrOcos。U24J24

312+\/3

設(shè)/z(f)=(l-則〃?)二3/一4尸,令"a)=o"=w￡,

所以當(dāng)/三時(shí)，〃⑺>0；當(dāng)四永馬￥時(shí)，"⑺<0,

1332+

所以“(T)在上單調(diào)遞增，在二，----一上單調(diào)遞喊，

44

故當(dāng)/=3=cos2。，即8=9時(shí)，面積S取最小值為8百

46

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力.

18、(1)見解析，40元(2)6000元

【解析】

(D甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是。元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情

況，分情況計(jì)算即可

(2)根據(jù)(1)結(jié)果求均值.

【詳解】

解：(D由題設(shè)知J可能取值為0,20,40,60,80,則

p（^=O）=-xl=—；

'74624

P（/=20）=-x-+lxl=l；

'743624

P（^=40）=—x-+—x—+—x—=—；

'746236412

^=60）=lxl+lx|=l：

P（^80）=lxl=±.

故4的分布列為:

自020406080

1\_5\_1

P

24412424

—+20x-!-4-40x—XX=40（元）

所以數(shù)學(xué)期望E(J)=Ox+60-!-+80—

24412424

(2)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營業(yè)額預(yù)計(jì)為：40x300x1=6000(元)

2

【點(diǎn)睛】

考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.

19、(1)3+2夜(2)證明見解析

【解析】

(1)利用基本不等式即可求得最小值；

(2)關(guān)鍵是配湊系數(shù)，進(jìn)而利用基本不等式得證.

【詳解】

（1），+、=（十+〃）（，+3）=3+孕+，..3+2、^^?^=3+2&,當(dāng)且僅當(dāng)“=”時(shí)取等號(hào),

ababba\ba

12

故一+的最小值為3+2后；

ab

ab+2bab+2bab+2b_ab+2b_x/5

（2）a1+h2+\2m+2竹丁丁“J2

當(dāng)且僅當(dāng)〃=工為=延時(shí)取等號(hào)，此時(shí)。十

22

ab+2b石

故-----；--<—?

ci~+b~+\2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基本不等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

20、(1)a=>/2.b=l；(2).

7

【解析】

(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì)，可求出bi

(2)設(shè)直線/方程為x=)+l,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出產(chǎn)，再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡，由根與系數(shù)的關(guān)系

得到結(jié)論，繼而求出面積.

【詳解】

(1)_/=4x焦點(diǎn)為尸(1,0),則尸1(1,0),Fi(1,0),

2a=|P用+|P以=2&,解得a=BC=Lb=l,

(II)由已知，可設(shè)直線/方程為工=。+1,4x，y),8(々,)，2)

2t

)”為=-不

聯(lián)立〈、,c得(『+廳+仍-2=0,易知△＞(),則＜

x-+)廣=32

￡A?=(X+l)(x2+l)+x%=(ty1+2)(.2+2)+%丫2

2-2t2

=(t2+1)yj,+2t(y+y)+4=

(2t2+l

7Ot2I

因?yàn)?所以苛_=1,解得t2=g

x=ty+\

聯(lián)立、X2,,得(F+2)y2+2ty-l=0,△=8(t2+l)>0

—+y-=\

2

—2t

…F

設(shè)C(%3，%),8。4，)，4),貝］＜

i

乂陷=工

Vs(l+t2)=Jx3=476

SAFCD=；l￡F2Hy3-yJ=

(2+277~

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系，解決直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)

系問題.意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

21、(1)/=4.v.(2)

【解析】

(1)設(shè).4的坐標(biāo)為A(xo,jo),由題意可得圓心C的坐標(biāo)，求出C到直線x=l的距離.由半個(gè)弦長，圓心到直線的

距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得P的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；

(2)將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理，進(jìn)而求出中點(diǎn)G的坐標(biāo)，再求出直線OG的斜率的表達(dá)式，換

元可得斜率的取值范圍.

【詳解】

(1)設(shè)4(xo,jo)且城=2內(nèi)()，貝!]圓心C(—^-----),

圓C的直徑|4用=5(/_2)2+為2,

圓心C到直線x=l的距離d=|五2-1|=|EI，

22

因?yàn)樗?網(wǎng))即亡=

|MN|=2,(MN)W=2,1+(/—2)2+%2,yQ2=2

2244

整理可得(2p-4)xo=O,所以p=2,

所以拋物線的方程為：J2=4x；

(2)聯(lián)立拋物線與圓的方程卜=2〃'、整理可得好?2(5?p)x+16=0,△>0,

[(x-5)2+9=9

設(shè)P(XI，Ji),Q(X2,J2),則Xl+X2=2(5?p),X1X2=16,

所以中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)XG=5-p,yo=(JX+JE)=個(gè)9p-p?,

所以k0G二必二(0<P<l),

5-〃

令l=5?p(/e(4,5)),則AG=

V2

解得OVkwV

2

所以直線0G斜率的取值范圍(0,立).

2

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的綜合，換元方法的應(yīng)用，屬于中檔題.

22、