《高考備考指南 數(shù)學(xué) 》課件-第7講　離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差

第7講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第十章

(本講對應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)P290)課標(biāo)要求考情概覽1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.2.能確定隨機(jī)變量，求出隨機(jī)變量發(fā)生的概率，正確列出分布列.3.理解超幾何分布，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的熱點內(nèi)容.預(yù)測本年度將會考查：①離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解；②離散型隨機(jī)變量的期望與方差在決策中的應(yīng)用.試題以解答題的形式呈現(xiàn)，以現(xiàn)實生活中的事例為背景進(jìn)行考查，屬中檔題型.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏1(1)隨機(jī)變量：一般地，對于隨機(jī)試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有

的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.

(2)離散型隨機(jī)變量：可能取值為

的隨機(jī)變量，我們稱之為離散型隨機(jī)變量.

(3)字母表示：通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，例如

；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，例如

.

唯一

有限個或可以一一列舉

X，Y，Z

x，y，z2.分布列的概念與性質(zhì)(1)定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.(2)表示方法：①表格；②概率分布圖.(3)性質(zhì)：①pi

0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝

.≥

1

X01P1－pp

(2)超幾何分布：①定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

np4.離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)＝

＝

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.

(2)意義：均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的

.

x1p1＋x2p2＋…＋xnpn

平均水平

5.離散型隨機(jī)變量的方差(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn我們稱D(X)＝

＝

為隨機(jī)變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱_______________________

為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).

(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn

(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的

，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差

，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差

，隨機(jī)變量的取值越分散.偏離程度越小越大

6.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝

；

(2)D(aX＋b)＝

.

aE(X)＋b

a2D(X)【特別提醒】1.隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定.2.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.【常用結(jié)論】1.若X是隨機(jī)變量，則Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))也是隨機(jī)變量.2.min{M，n}表示M，n的最小值，對于m＝min{M，n}，當(dāng)n≤M時，m＝n；當(dāng)n＞M時，m＝M.1.(教材習(xí)題改編)若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)X≥7”的概率是(

)A.0.88B.0.12C.0.79D.0.09A2.(2023年泰安月考)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值為(

)A.0.2B.0.4

C.0.8D.1C3.(2023年孝感月考)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ012Pa

B4.(2023年聊城期中)(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果正確的有(

)A.a＝0.1

B.P(X≥2)＝0.7C.P(X≥3)＝0.4D.P(X≤1)＝0.3ABD

1.兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能性，其概率之和為1.2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)，主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.重難突破能力提升2離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

(1)(2023年鹽城期末)已知隨機(jī)變量X的分布列如表：X1234P0.150.35m0.25則實數(shù)m＝(

)A.0.05B.0.15C.0.25D.0.35C

C【解題技巧】離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用：(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值.(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.【變式精練】1.(1)(2023年臺州期中)已知隨機(jī)變量X的分布列如表，若E(X)＝5，則a＝(

)X3aPb

C

(2)(2023年北京西城區(qū)期中)隨機(jī)變量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝(

)X－101Pabc

A

求離散型隨機(jī)變量的分布列

(2022年甲卷)甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.解：(1)甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學(xué)校每場比賽獲勝的概率如下表所示：

第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學(xué)校獲勝概率0.50.40.8乙學(xué)校獲勝概率0.50.60.2甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場.①甲學(xué)校3場全勝，概率為P1＝0.5×0.4×0.8＝0.16.②甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為P2＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44.所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為p＝P1＋P2＝0.6.(2)乙學(xué)校的總得分X的可能取值為0，10，20，30，P(X＝0)＝P1＝0.16，P(X＝10)＝P2＝0.44，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，P(X＝20)＝1－P(X＝0)－P(X＝10)－P(X＝30)＝0.34，則X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06X的期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.【解題技巧】離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟：(1)明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義.(2)弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率.(3)按規(guī)范要求形式寫出分布列.(4)利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確.

ξ0123P離散型隨機(jī)變量的均值與方差

示通法求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個值時的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).考向1求離散型隨機(jī)變量的均值、方差

(2022年南京模擬)(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表，若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有(

)A.E(X)＝0.4B.D(X)＝0.24C.E(Y)＝1.8D.D(Y)＝0.48X01P0.60.4ABC

【解析】由題意可知X服從兩點分布，所以E(X)＝0.4，D(X)＝(0－0.4)2×0.6＋(1－0.4)2×0.4＝0.24，A，B正確.因為Y＝2X＋1，所以E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×0.4＋1＝1.8，故C正確.D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝4×0.24＝0.96，故D錯誤.故選ABC.考向2已知均值與方差，求參數(shù)值

(2023年紹興二模)設(shè)0＜a，b，c＜1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012Pabc

B

【解題技巧】離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略：(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差.可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程，解方程即可求出參數(shù)值.【變式精練】3.(1)(2023年十堰期末)(多選)某同學(xué)求得一個離散型隨機(jī)變量X的分布列為X1246P0.20.3m0.1

ABD

(2)(2023年衡水模擬)(多選)已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為X＝0，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗可得0＜a＜2，隨機(jī)變量X的分布列為(

)X0a2Pb

ABC

超幾何分布

(2023年河北模擬)學(xué)校體育節(jié)，某小組共10人利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.

X012P

【解題技巧】1.超幾何分布的應(yīng)用條件：(1)考察對象分兩類.(2)已知各類對象的個數(shù).(3)從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)ξ的概率分布.2.求超幾何分布的分布列的步驟：

η123P

素養(yǎng)微專直擊高考3思想方法——均差與方差在決策中的應(yīng)用(2022年聊城三模)2021年3月5日李克強(qiáng)總理在政府工作報告特別指出，扎實做好碳達(dá)峰、碳中和各項工作，制定2030年前碳排放達(dá)峰行動方案，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu).某環(huán)保機(jī)器制造商為響應(yīng)號召，對一次購買2臺機(jī)器的客戶推出了兩種超過機(jī)器保修期后5年內(nèi)的延保維修方案.方案一：交納延保金5000元，在延保的5年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)1000元；方案二：交納延保金6230元，在延保的5年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)t元.制造商為制定收取標(biāo)準(zhǔn)，為此搜集并整理了200臺這種機(jī)器超過保修期后5年內(nèi)維修的次數(shù)，統(tǒng)計得到下表：典例精析維修次數(shù)0123機(jī)器臺數(shù)20408060以這200臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器超過保修期后5年內(nèi)共需維修的次數(shù).(1)求X的分布列；(2)以所需延保金與維修費(fèi)用之和的均值為決策依據(jù)，為使選擇方案二對客戶更合算，應(yīng)把t定在什么范圍？【思路導(dǎo)引】(1)由X的取值求解概率，得到分布列；(2)求出兩種方案所需費(fèi)用的均值，由方案二的均值小于方案一的均值求解t的取值范圍.

X0123456P(2)設(shè)選擇方案一所需費(fèi)用為Y1元，則X≤2時，Y1＝5000；X＝3時，Y1＝6000；X＝4時，Y1＝7000；X＝5時，Y1＝8000，X＝6時，Y1＝9000.故Y1的分布列為Y150006000700080009000P

Y262306230＋t6230＋2tP

【點評】隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，當(dāng)均值不同時，兩個隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷.若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.

為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對