《高考備考指南 數(shù)學(xué) 》課件-第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第二章第3講函數(shù)的奇偶性與周期性(本講對應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)P29)課標(biāo)要求考情概覽1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、運用簡單函數(shù)的周期性考向預(yù)測：本部分常常命制高考試題，一般結(jié)合分段函數(shù)、不等式等內(nèi)容進(jìn)行綜合考查，難度中等.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的能力欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏11.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且都有

，則稱函數(shù)f(x)是偶函數(shù)

都有

，則稱函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

圖象特征關(guān)于

軸對稱

關(guān)于

對稱

y軸f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

原點

【常用結(jié)論】函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論：(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集.(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有

，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個

的正數(shù)，那么這個

就叫做f(x)的最小正周期.

f(x＋T)＝f(x)

最小最小正數(shù)

2.對稱性的三個常用結(jié)論：(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.

BC

B4.(2023年茂名期末)(多選)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x－3)＝f(x＋1)，當(dāng)x∈［0，2］時，f(x)＝x2＋1，則下列各選項正確的有(

)A.當(dāng)x∈［－2，0)時，f(x)＝x2＋1B.y＝f(x)的周期為4C.f(2023)＝3D.y＝f(x)的圖象關(guān)于(2，0)對稱AB【解析】設(shè)x∈［－2，0)，則－x∈(0，2］，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋1，故A正確；由f(x－3)＝f(x＋1)得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，故B正確；因為f(2023)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2，故C錯誤；因為f(3)≠－f(1)，故D錯誤.故選AB.5.(易錯題)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝x－3，則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝

.

1.判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時，必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0).2.判定分段函數(shù)的奇偶性時，不能利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)來否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性.

重難突破能力提升2函數(shù)奇偶性的判斷

函數(shù)奇偶性的判斷

解：

f(x)的定義域為{－1，1}，關(guān)于原點對稱.又因為f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).函數(shù)奇偶性的判斷

函數(shù)奇偶性的判斷

【解題技巧】判斷函數(shù)奇偶性的三種方法：(1)定義法：(2)圖象法：

(3)性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.［提醒］對函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

BC

ln2

函數(shù)的周期性

C

函數(shù)的周期性

例2

(2)(2023年金華調(diào)研)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當(dāng)－1≤x＜3時，f(x)＝x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝

.

340【解析】

(2)因為f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝337×1＋1＋2＝340.【解題技巧】1.函數(shù)周期性的判斷方法：只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題.2.利用函數(shù)周期性求值的方法技巧：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期.

B

函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

示通法函數(shù)性質(zhì)的綜合問題，可以利用函數(shù)的周期性、對稱性確定函數(shù)圖象，利用已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

D

B

D

【解題技巧】1.函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略：(1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性.(2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.2.函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用的注意點：函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.因此在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)化，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.【變式精練】3.(1)(2023年孝感月考)已知f(x)是定義在［－2，2b］上的偶函數(shù)，且在［－2b，0］上單調(diào)遞增，則f(x＋1)≤f(－1)的解集為(

)A.［－2，0］B.［－3，1］C.［－3，－2］∪［0，1］D.(－∞，－2］∪［0，＋∞)C

A

C

素養(yǎng)微專直擊高考3

【思維建?！扛鶕?jù)以上解答過程可知，上述結(jié)果是可以一般化的.事實上，由于g(x)的圖象是關(guān)于點(0，0)成中心對稱的，則f(x)＝g(x)＋b的圖象關(guān)于點(0，b)成中心對稱，則有f(x)＋f(－x)＝2b.也即若f(x)的圖象關(guān)于點(0，b)成中心對稱，則f(x)＋f(－x)＝2b.更一般地，若f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)成中心對稱，則f(x)＋f(2a－x)＝2b.上述結(jié)論其實反映了中心對稱函數(shù)的一般性質(zhì).同時也告訴我們，將奇函數(shù)平移可以得到中心對稱函數(shù)，若逆向探討，則可以得到任何一個中心對稱函數(shù)平移后都可以變成奇函數(shù)，這樣便可以得到對稱中心.

D