新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四概率與統(tǒng)計第1講統(tǒng)計與統(tǒng)計案例練習(xí)文新人教A版

PAGE1-第1講統(tǒng)計與統(tǒng)計案例一、選擇題1．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的狀況，采納分層抽樣的方法從高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人進(jìn)行問卷調(diào)查．已知高二被抽取的人數(shù)為30，那么n＝()A．860 B．720C．1020 D．1040解析：選D.依據(jù)分層抽樣方法，得eq\f(1200,1000＋1200＋n)×81＝30，解得n＝1040.故選D.2．(2024·高考全國卷Ⅱ)演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差解析：選A.記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的依次排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.3．(2024·高考全國卷Ⅲ)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)珍寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的狀況，隨機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8解析：選C.依據(jù)題意閱讀過《紅樓夢》《西游記》的人數(shù)用Venn圖表示如下：所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為eq\f(70,100)＝0.7.4．(2024·武漢市調(diào)研測試)某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：A—結(jié)伴步行，B—自行乘車，C—家人接送，D—其他方式．并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請依據(jù)圖中信息，求本次抽查的學(xué)生中A類人數(shù)是()A．30 B．40C．42 D．48解析：選A.由條形統(tǒng)計圖知，B—自行乘車上學(xué)的有42人，C—家人接送上學(xué)的有30人，D—其他方式上學(xué)的有18人，采納B，C，D三種方式上學(xué)的共90人，設(shè)A—結(jié)伴步行上學(xué)的有x人，由扇形統(tǒng)計圖知，A—結(jié)伴步行上學(xué)與B—自行乘車上學(xué)的學(xué)生占60%，所以eq\f(x＋42,x＋90)＝eq\f(60,100)，解得x＝30，故選A.5．為了探討某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學(xué)生，依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，已知eq\i\su(i＝1,10,)xi＝255,eq\i\su(i＝1,10,)yi＝1600，eq\o(b,\s\up6(^))＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為()A．160 B．163C．166 D．170解析：選C.由題意可知eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up6(^))，又eq\x\to(x)＝22.5，eq\x\to(y)＝160，因此160＝22.5×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝70，因此eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋70.當(dāng)x＝24時，eq\o(y,\s\up6(^))＝4×24＋70＝96＋70＝166.6．(2024·鄭州市其次次質(zhì)量預(yù)料)將甲、乙兩個籃球隊各5場競賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結(jié)論正確的是()A．甲隊平均得分高于乙隊的平均得分B．甲隊得分的中位數(shù)大于乙隊得分的中位數(shù)C．甲隊得分的方差大于乙隊得分的方差D．甲、乙兩隊得分的極差相等解析：選C.由題中莖葉圖得，甲隊的平均得分eq\x\to(x)甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，乙隊的平均得分eq\x\to(x)乙＝eq\f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，選項A不正確；甲隊得分的中位數(shù)為29，乙隊得分的中位數(shù)為30，甲隊得分的中位數(shù)小于乙隊得分的中位數(shù)，選項B不正確；甲隊得分的方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝eq\f(18,5)，乙隊得分的方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，選項C正確；甲隊得分的極差為31－26＝5，乙隊得分的極差為32－28＝4，兩者不相等，選項D不正確．故選C.二、填空題7．某校高三(2)班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機編號為0，1，2，…，63，依編號依次平均分成8組，組號依次為1，2，3，…，8.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為8的樣本，若在第1組中隨機抽取的號碼為5，則在第6組中抽取的號碼為________．解析：依題意，分組間隔為eq\f(64,8)＝8，因為在第1組中隨機抽取的號碼為5，所以在第6組中抽取的號碼為5＋5×8＝45.答案：458．為了解學(xué)生在課外活動方面的支出狀況，抽取了n個同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些學(xué)生的支出金額(單位：元)都在[10，50]，其中支出金額在[30，50]的學(xué)生有117人，頻率分布直方圖如圖所示，則n＝________．解析：[30，50]對應(yīng)的頻率為1－(0.01＋0.025)×10＝0.65，所以n＝eq\f(117,0.65)＝180.答案：1809．某新聞媒體為了了解觀眾對央視《開門大吉》節(jié)目的寵愛與性別是否有關(guān)系，隨機調(diào)查了觀看該節(jié)目的觀眾110名，得到如下的列聯(lián)表：女男總計寵愛402060不寵愛203050總計6050110試依據(jù)樣本估計總體的思想，估計在犯錯誤的概率不超過________的前提下(約有________的把握)認(rèn)為“寵愛該節(jié)目與否和性別有關(guān)”．參考附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828(參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d)解析：假設(shè)寵愛該節(jié)目和性別無關(guān)，分析列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，可得K2的觀測值k＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.822>6.635，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下(約有99%的把握)認(rèn)為“寵愛該節(jié)目與否和性別有關(guān)”．答案：0.0199%三、解答題10．(2024·高考全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．依據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事務(wù)：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，依據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.11．(2024·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)料)疫苗關(guān)系人民群眾健康，關(guān)系公共衛(wèi)生平安和國家平安，因此，疫苗行業(yè)在生產(chǎn)、運輸、儲存、運用等任何一個環(huán)節(jié)都容不得半點瑕疵．國家規(guī)定，疫苗在上市前必需經(jīng)過嚴(yán)格的檢測，并通過臨床試驗獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，以保證疫苗運用的平安和有效．某生物制品探討所將某一型號疫苗用在小白鼠身上進(jìn)行科研和臨床試驗，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：未感染病毒感染病毒總計未注射疫苗40px注射疫苗60qy總計100100200現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為eq\f(3,5).(1)求2×2列聯(lián)表中p，q，x，y的值；(2)能否有99.9%的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解：(1)由eq\f(p,40＋p)＝eq\f(3,5)，得p＝60，所以q＝40，x＝100，y＝100.(2)由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得K2＝eq\f(200×（40×40－60×60）2,100×100×100×100)＝8<10.828，所以沒有99.9%的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效．12．(2024·長沙市統(tǒng)一模擬考試)某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入安排，收集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表：月份123456廣告投入量/萬元24681012收益/萬元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回來方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyieq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)7301464.24364(1)依據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；(2)殘差肯定值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異樣數(shù)據(jù)，須要剔除：(i)剔除異樣數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的回來方程；(ii)廣告投入量x＝18時，(1)中所選模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）（yi－eq\x\to(y)）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)應(yīng)當(dāng)選擇模型①，因為模型①的殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回來方程的預(yù)報精度高．(2)(i)剔除異樣數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝364－62＝328.eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5eq\x\to(x)eq\x\to(y),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o