吉林省長春市第一〇八學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列各式中，結(jié)果是的相反數(shù)的是（）A. B. C. D.2.作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從上面看到的圖形的是（）A. B.C. D.3.矩形的一條對角線與一邊的夾角為，則兩條對角線相交所成的銳角是（）A. B. C. D.4.下列各式計算正確的是（）A. B.C. D.5.已知a，b，m是實數(shù)，且，那么有（）A. B. C. D.6.如圖，小明在點C處測得樹的頂端A仰角為，測得米，則樹的高（單位：米）為（）A. B. C. D.7.某班學(xué)生對三角形內(nèi)角和為展開證明討論，以下四個學(xué)生的作法中，不能證明的內(nèi)角和為的是（）A.過點A作 B.延長BC到點D，過點C作C.過點A作于點D D.過BC上一點D作，8.如圖，直線交反比例函數(shù)（）的圖象于點和點，交軸于點，，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接．若的面積為，則的值為（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共18分）9.單項式的系數(shù)是，次數(shù)是，則______．10.計算：_________．11.如圖，拋物線的對稱軸是直線，關(guān)于的方程的一個根為，則另一個根為________．12.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，則的值為_________．13.如圖，中，，，，動點在邊上運動，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，取的中點，當(dāng)點從點開始向右運動到點時結(jié)束，則對應(yīng)的點所經(jīng)過的路線的長度為___________．14.如圖，以為直徑的與相切于點C，交的延長線于點E，直徑，，弦，垂足為點F，連接，，則下列結(jié)論正確的是___________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②③扇形的面積為④若點P線段上一動點，則有最大值三、解答題（本大題10小題，共78分）15.先化簡，再求值：，其中．16.一個不透明口袋中有三個小球，每個小球上只標(biāo)有一個漢字，分別是“步”、“步”、“高”，除漢字外其余均相同．小亮同學(xué)從口袋中隨機摸出一個小球，記下漢字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小亮同學(xué)兩次摸出小球上的漢字不相同的概率．17.《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中第六章《均輸》卷記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有鳧（讀fú，指野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”題目大意是：今有野鴨從南海起飛，天到北海；大雁從北海起飛，天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經(jīng)過多少天相遇？18.如圖，在中，于E，點F在邊上，，求證：四邊形是矩形．19.圖①、圖②、圖③都是正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，線段的端點都在格點上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以為底邊畫一個等腰直角三角形；（2）在圖②中畫線段（點E、F不與點A、B重合），使與線段相交，且它們所夾銳角度數(shù)為．（3）在圖③中線段左側(cè)作一點P，連結(jié)，使且的面積為．20.北京冬奧會的開幕式驚艷了世界，在這背后離不開志愿者們的默默奉獻，這些志愿者很多來自高校，在志愿者招募之時，甲、乙兩所大學(xué)就積極組織了志愿者選拔活動，對報名的志愿者進行現(xiàn)場測試，現(xiàn)從兩所大學(xué)參加測試的志愿者中分別隨機抽取了20名志愿者的測試成績進行整理和分析（成績得分用x表示，滿分100分，共分成五組：A．，B．，C．；D．，E．），下面給出了部分信息：a．甲校20名志愿者的成績在D組的數(shù)據(jù)是：90，91，91，92；b．乙校20名志愿者的成績是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．c．甲校抽取志愿者成績的扇形統(tǒng)計圖如圖所示：d．甲、乙兩校抽取的志愿者成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表所示：學(xué)校平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲92a95乙92b根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）由上表填空：________，_______，________．（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者參加了此次測試，估計甲乙兩校此次參加測試的志愿者中，成績在90分以上的志愿者共有多少人？21.五一勞動節(jié)前夕，龍泉公園管理處購進兩種類型的花卉盆景共盆，其中種類型的花并價格為每盆元，購買種類型的花卉盆景所需費用（單位：元）與購買數(shù)量（單位：盆）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購買種類型花卉盆景所需的數(shù)量不超過盆，但不少于種類型花卉盆景的數(shù)量，試問如何購買能使購買費用最少？并求出最少費用．22.【綜合與實踐】問題情境：活動課上，小強同學(xué)以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動．如圖1，已知中，，．將從圖1的位置開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（點D、E分別是點B、C的對應(yīng)點），旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)線段交于點P，線段分別交、于點F、Q，如圖2．特例分析：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為___________；探究規(guī)律：在繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，小強同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段始終等于線段，請你幫小強同學(xué)證明這一結(jié)論．拓展延伸：（1）在繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，直接寫出當(dāng)是等腰三角形時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．（2）在圖3中，作射線、交于點M，四邊形面積記為，的面積記為，是否存在四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)，及此時的值；若不存在，請說明理由．23.如圖，的面積為，，，動點從點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，設(shè)點的運動時間為（）．（1）；（2）連結(jié)，當(dāng)平分的面積時，求的值；（3）求點的運動路徑長；（4）點在線段上運動時，在射線上作一點，使，當(dāng)為銳角時，直接寫出的取值范圍．24.已知拋物線經(jīng)過點，（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線上找一點，使是以為直角邊的三角形，求點的坐標(biāo)；（3）交軸于點，點是拋物線上一動點，過點作于點，過點作的平行線，交軸于點．①點在下方的拋物線上時，的值記為，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；②拋物線與四邊形交點的縱坐標(biāo)的最大值記為，最小值記為，當(dāng)時，直接寫出點的坐標(biāo)．

數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列各式中，結(jié)果是的相反數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相反數(shù)的定義、有理數(shù)的混合運算，先求出的相反數(shù)是，再根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則逐項判斷即可得出答案．【詳解】解：的相反數(shù)是，，故A選項不符合題意；，故B選項符合題意；，故C選項不符合題意；，故D選項不符合題意；故選：B．2.作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從上面看到的圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了三視圖的知識，準(zhǔn)確把握從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形是解決問題的關(guān)鍵．從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形，注意所有的看到的或看不到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線．【詳解】解：從上面看，得到的圖形是故選：B．3.矩形的一條對角線與一邊的夾角為，則兩條對角線相交所成的銳角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊對等角，進行求解即可．【詳解】解：如圖，矩形，則：，，∴，∴，∴兩條對角線相交所成的銳角的度數(shù)為，故選：D．4.下列各式計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查整式的乘法，冪的運算法則，解題的關(guān)鍵是掌握整式的乘法運算，冪的運算，根據(jù)冪的運算法則和單項式乘以單項式進行計算即可．【詳解】解：A、，故該選項錯誤，不符合題意；B、，故該選項錯誤，不符合題意；C、，故該選項錯誤，不符合題意；D、，故該選項正確，符合題意；故選：D．5.已知a，b，m是實數(shù)，且，那么有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟知不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：不等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)或者式子，不等號不改變方向，不等式兩邊乘以乘以或除以一個正數(shù)，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以或除以一個負(fù)數(shù)，不等號改變方向．【詳解】解：A、由不一定可得，例如，但是，原式錯誤，不符合題意；B、由可得，原式正確，符合題意；C、由不一定能得到，例如時，，原式錯誤，不符合題意；D、由不一定能得到，例如時，，原式錯誤，不符合題意；故選：B．6.如圖，小明在點C處測得樹的頂端A仰角為，測得米，則樹的高（單位：米）為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過解直角可以求得的長度．【詳解】解：在直角中，∵，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．7.某班學(xué)生對三角形內(nèi)角和為展開證明討論，以下四個學(xué)生的作法中，不能證明的內(nèi)角和為的是（）A.過點A作 B.延長BC到點D，過點C作C.過點A作于點D D.過BC上一點D作，【答案】C【解析】【分析】本題運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：A、由，則，．由，得，故符合題意．B、由，則，．由，得，故符合題意．C、由于，則，無法證得三角形內(nèi)角和是，故不符合題意．D、由，得，，則．由，得，，由，得，故符合題意，故選：C．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8.如圖，直線交反比例函數(shù)（）的圖象于點和點，交軸于點，，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接．若的面積為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義．根據(jù)題意得到，，繼而得到，求出，得到，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，，∵，∴，，∴，∴，∴，軸于點，，點在反比例函數(shù)，，∴．故選：D．二、填空題（每小題3分，共18分）9.單項式的系數(shù)是，次數(shù)是，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，單項式次數(shù)和系數(shù)的定義，單項式中數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)之和叫做單項式的次數(shù)，據(jù)此可得，再代值計算即可．【詳解】解：∵單項式的系數(shù)是，次數(shù)是，∴，∴，故答案為：1．10.計算：_________．【答案】18【解析】【分析】此題考查了二次根式的乘除法．根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：18．11.如圖，拋物線的對稱軸是直線，關(guān)于的方程的一個根為，則另一個根為________．【答案】【解析】【分析】利用拋物線的對稱軸是，設(shè)的另一根為x，利用二次函數(shù)的對稱性即可求出x．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是，設(shè)的另一根為x，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．12.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，則的值為_________．【答案】4【解析】【分析】本題考查了求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的定義、利用平方根解方程，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．將點代入一次函數(shù)的解析式可得一個關(guān)于的方程，再利用平方根解方程可求出的值，然后根據(jù)一次函數(shù)的定義可得，由此即可得出答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，∴，解得，又∵函數(shù)是一次函數(shù)，∴，解得，綜上，，故答案為：4．13.如圖，中，，，，動點在邊上運動，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，取的中點，當(dāng)點從點開始向右運動到點時結(jié)束，則對應(yīng)的點所經(jīng)過的路線的長度為___________．【答案】【解析】【分析】如圖，取的中點，連接，由題意得，，則是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得，，根據(jù)直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半，再根據(jù)勾股定理，即可．【詳解】解：如圖所示：把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，取的中點，連接，∵線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，∴，，，∴當(dāng)點與點重合時，點與點重合時，是等邊三角形；當(dāng)點與點重合時，點在處，是等邊三角形，∴連接、兩點，為點的運動路線，∵是的中點，∴，，∴，∵在中，，，，∴，∴，∴在中，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．14.如圖，以為直徑與相切于點C，交的延長線于點E，直徑，，弦，垂足為點F，連接，，則下列結(jié)論正確的是___________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②③扇形的面積為④若點P為線段上一動點，則有最大值【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，垂徑定理，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，扇形的面積公式解答即可.【詳解】解：∵以為直徑的與相切于點C，交的延長線于點E，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴；故①正確；∵，∴∴②正確；∵，，∴，，∴扇形的面積為，∴③錯誤；設(shè)，則，令，則，∵，∴當(dāng)時，滿足，故y由最大值，且最大值為，∴④正確；故正確的結(jié)論為①②④；故答案為：①②④.【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，扇形的面積，二次函數(shù)的最值，熟練掌握和靈活運算相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.三、解答題（本大題10小題，共78分）15.先化簡，再求值：，其中．【答案】，1【解析】【分析】先對分式通分、因式分解、約分等化簡，化成最簡分式，后代入求值．本題考查了分式的化簡求值，求代數(shù)式的值，運用因式分解，通分，約分等技巧化簡是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：；當(dāng)時，原式．16.一個不透明的口袋中有三個小球，每個小球上只標(biāo)有一個漢字，分別是“步”、“步”、“高”，除漢字外其余均相同．小亮同學(xué)從口袋中隨機摸出一個小球，記下漢字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小亮同學(xué)兩次摸出小球上的漢字不相同的概率．【答案】【解析】【分析】本題考查了概率的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握畫樹狀圖或者列表求解概率的性質(zhì)；畫出樹狀圖，共有9個等可能的結(jié)果，小亮同學(xué)兩次摸出小球上的漢字不相同的結(jié)果有4個，即可完成求解．【詳解】解：根據(jù)題意，可以畫出如下樹狀圖：共有9種等可能的結(jié)果，其中小亮同學(xué)兩次摸出小球上的漢字不相同的結(jié)果有4種，∴P（小亮同學(xué)兩次摸出小球上的漢字不相同）．17.《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中第六章《均輸》卷記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有鳧（讀fú，指野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”題目大意是：今有野鴨從南海起飛，天到北海；大雁從北海起飛，天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經(jīng)過多少天相遇？【答案】天【解析】【分析】首先設(shè)經(jīng)過天相遇，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：野鴨天的路程＋大雁天的路程，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過天相遇，根據(jù)題意，得∶，解得：．答：經(jīng)過天相遇．【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．18.如圖，在中，于E，點F在邊上，，求證：四邊形是矩形．【答案】見解析．【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD＝BC，再證AF＝CE，得四邊形AECF是平行四邊形，然后證∠AEC＝90°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴AD?DF＝BC?BE，即AF＝CE，∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴四邊形AECF是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的判定方法，證出四邊形AECF為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．19.圖①、圖②、圖③都是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，線段的端點都在格點上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以為底邊畫一個等腰直角三角形；（2）在圖②中畫線段（點E、F不與點A、B重合），使與線段相交，且它們所夾銳角的度數(shù)為．（3）在圖③中線段左側(cè)作一點P，連結(jié)，使且的面積為．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了作圖﹣運用與設(shè)計作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上知識．（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義，作出圖形即可．（2）根據(jù)等腰直角三角形的定義作出圖形是等腰直角三角形，再利用網(wǎng)格線的特點作和平行與相交即可；（3）同理（2）作出圖形是等腰直角三角形，由勾股定理求出，利用相似三角形的性質(zhì)即在線段上找到點P，使得，則，即可得到，連接即可．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求：【小問2詳解】解：如圖所示，線段即為所求：【小問3詳解】解：如圖所示，點為所求：20.北京冬奧會的開幕式驚艷了世界，在這背后離不開志愿者們的默默奉獻，這些志愿者很多來自高校，在志愿者招募之時，甲、乙兩所大學(xué)就積極組織了志愿者選拔活動，對報名的志愿者進行現(xiàn)場測試，現(xiàn)從兩所大學(xué)參加測試的志愿者中分別隨機抽取了20名志愿者的測試成績進行整理和分析（成績得分用x表示，滿分100分，共分成五組：A．，B．，C．；D．，E．），下面給出了部分信息：a．甲校20名志愿者的成績在D組的數(shù)據(jù)是：90，91，91，92；b．乙校20名志愿者的成績是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．c．甲校抽取志愿者成績的扇形統(tǒng)計圖如圖所示：d．甲、乙兩校抽取的志愿者成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表所示：學(xué)校平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲92a95乙92b根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）由上表填空：________，_______，________．（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者參加了此次測試，估計甲乙兩校此次參加測試的志愿者中，成績在90分以上的志愿者共有多少人？【答案】（1）；96；90（2）325人【解析】【分析】本題主要考查了求中位數(shù)，求眾數(shù)，求扇形圓心角度數(shù)，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求出中位數(shù)和眾數(shù)即可；再用360度乘以甲校C等級的占比即可得到答案；（2）用甲乙兩校的人數(shù)分別乘以其樣本中得分在90分以上的人數(shù)占比，然后求和即可得到答案．【小問1詳解】解：E的人數(shù)：（人）,把甲校的成績從低到高排列，處在第10名和第11名的成績分別為91分，92分，∴甲校的中位數(shù)；∵乙校得分中，得96分的人數(shù)最多，∴乙校的眾數(shù)；，故答案為：；96；90；【小問2詳解】解：人，∴估計甲乙兩校此次參加測試的志愿者中，成績在90分以上的志愿者共有325人．21.五一勞動節(jié)前夕，龍泉公園管理處購進兩種類型的花卉盆景共盆，其中種類型的花并價格為每盆元，購買種類型的花卉盆景所需費用（單位：元）與購買數(shù)量（單位：盆）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購買種類型花卉盆景所需的數(shù)量不超過盆，但不少于種類型花卉盆景的數(shù)量，試問如何購買能使購買費用最少？并求出最少費用．【答案】（1）；（2）購買種類型花卉盆景盆，種類型花卉盆景盆，費用最少，費用最少為元．【解析】【分析】（）分兩種情況，利用待定系數(shù)法解答即可求解；（）設(shè)購買了種類型花卉盆景盆，則購買了種類型花卉盆景盆，列出不等式組求出的取值范圍，設(shè)購買兩種花卉盆景費用為元，求出與的一次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正確求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：當(dāng)時，設(shè)，把代入得，，∴，∴；當(dāng)時，設(shè)，把、代入得，，解得，∴；綜上，；【小問2詳解】解：設(shè)購買了種類型花卉盆景盆，則購買了種類型花卉盆景盆，由題意可得，，解得，設(shè)購買兩種花卉盆景費用為元，則，∵，∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時，的值最小，，此時，，∴購買種類型花卉盆景盆，種類型花卉盆景盆，費用最少，費用最少為元．22.【綜合與實踐】問題情境：活動課上，小強同學(xué)以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動．如圖1，已知中，，．將從圖1的位置開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（點D、E分別是點B、C的對應(yīng)點），旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)線段交于點P，線段分別交、于點F、Q，如圖2．特例分析：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為___________；探究規(guī)律：在繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，小強同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段始終等于線段，請你幫小強同學(xué)證明這一結(jié)論．拓展延伸：（1）在繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，直接寫出當(dāng)是等腰三角形時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．（2）在圖3中，作射線、交于點M，四邊形的面積記為，的面積記為，是否存在四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)，及此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】特例分析：；探究規(guī)律：證明見解析；拓展延伸：（1）或；（2）存在，．【解析】【分析】特例分析：由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理，得到，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義求解即可；探究規(guī)律：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證，即可得出結(jié)論；拓展延伸：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，，再根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況討論，利用等邊對等角的性質(zhì)列方程分別求解即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得到，，再根據(jù)平行四邊形兩種對邊分別平行，求出，設(shè)直線與直線的距離為，分別表示出和，即可求出的值．【詳解】解：特例分析：，，，，，，點D是點B的對應(yīng)點，旋轉(zhuǎn)角，故答案為：；探究規(guī)律：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，即，點D、E分別是點B、C的對應(yīng)點，在和中，，，；拓展延伸：（1），，，，，若是等腰三角形，①當(dāng)時，，則，解得：；②當(dāng)時，，則，③當(dāng)時，，則，解得：（舍去），綜上可知，當(dāng)是等腰三角形時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為或；（2）存在四邊形是平行四邊形，，理由如下：，，，，若四邊形是平行四邊形，則，，，，，，設(shè)直線與直線的距離為，則四邊形的面積，的面積，．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．23.如圖，的面積為，，，動點從點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，設(shè)點的運動時間為（）．（1）；（2）連結(jié)，當(dāng)平分的面積時，求的值；（3）求點運動路徑長；（4）點在線段上運動時，在射線上作一點，使，當(dāng)為銳角時，直接寫出取值范圍．【答案】（1）（2）（3）（4）或【解析】【分析】（1）過點作交于點，過點作交于點，根據(jù)三角形的面積公式求出，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式求出，根據(jù)勾股定理求出，，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義即可求解；（2）連接，與交于點，根據(jù)題意可得是的中線，得出，根據(jù)題意得出，，求出，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)列出方程，解方程求出的值，即可；（3）將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接；在上取一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接；過點作，與線段的延長線交于點，連接；過點作交于點，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得出，，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)勾股定理求出；分兩種情況：①點在上，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)得出：當(dāng)點在上運動時，點的運動軌跡是線段，②點在上，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)得出：當(dāng)點在上運動時，點的運動軌跡是線段，即可求解；（4）過點作交于點，連接，先求出，，結(jié)合、是直角三角形，推得當(dāng)點在線段（不包含端點）上和點在線段的延長線（不包含點）上時，為銳角，分別列出不等式，求出的取值范圍即可．【小問1詳解】解：過點作交于點，過點作交于點，如圖：∵，，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，在中，，在中，，∴，故答案為：．【小問2詳解】解：連接，與交于點，如圖：∵平分的面積，即是的中線，∴，∵動點從點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，點的運動時間為，∴，，∴，，∵，，∴，∴，即，解得：，即當(dāng)時，平分的面積．【小問3詳解】解：將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接；在上取一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接；過點作，與線段的延長線交于點，連接；過點作交于點，如圖：在中，，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，在中，；分兩種情況：①點在上，當(dāng)點與點重合時，點與點重合，在與中，，，，∴，∵點在上，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，∴點在上，即當(dāng)點在上運動時，點的運動軌跡是線段，故當(dāng)點在上運動時，點的運動路徑長為；②點在上，當(dāng)點與點重合時，點與點