2025北京海淀進(jìn)修學(xué)校附中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2025北京海淀進(jìn)修學(xué)校附中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則=A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.4.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.5.如圖，已知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，其邊長為4，在該容器內(nèi)放置一個圓柱，使得圓柱上底面的所在平面與圓錐底面的所在平面重合.若圓柱的高是圓錐的高的，則圓柱的體積為（）A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t“是上的增函數(shù)”是“任意，無零點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的首項(xiàng)均為－3，且，，則數(shù)列（）A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)9.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章記錄了弧田面積的計(jì)算問題.如圖，某弧田由弧和其所對的弦圍成，若弦長度為2，弧所對的圓心角的弧度數(shù)為2，則該弧田的面積為（）A. B.C. D.10.形如(n是非負(fù)整數(shù))的數(shù)稱為費(fèi)馬數(shù)，記為數(shù)學(xué)家費(fèi)馬根據(jù)都是質(zhì)數(shù)提出了猜想:費(fèi)馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).多年之后，數(shù)學(xué)家歐拉計(jì)算出不是質(zhì)數(shù)，那的位數(shù)是（）(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010)A.9 B.10 C.11 D.12第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分）11.在的展開式中，的系數(shù)為__________.12.寫一個焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程______.13.在中，角所對的邊分別為，且，則__________；若的面積，則__________.14.已知的圖象向右平移個單位后得到的圖象，則函數(shù)的最大值為_________；若的值域?yàn)椋瑒ta的最小值為_________．15.在數(shù)列中，，．給出下列三個結(jié)論：①存在正整數(shù)，當(dāng)時，；②存在正整數(shù)，當(dāng)時，；③存在正整數(shù)，當(dāng)時，．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.已知函數(shù)的兩個相鄰零點(diǎn)之間的距離為，__________；從以下三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面空白橫線中，然后完成下面問題.（1）確定的解析式；（2）令，若函數(shù)在上不單調(diào)，求整數(shù)的最小值.條件①：的一條對稱軸為；條件②：的一個對稱中心為；條件③：為偶函數(shù).17.如圖，在多面體中，為等邊三角形，，，.點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面平面；（1）求證：平面；（2）設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.18.在新冠病毒疫情防控期間，北京市中小學(xué)開展了“優(yōu)化線上教育與學(xué)生線下學(xué)習(xí)相結(jié)合”的教育教學(xué)實(shí)踐活動.為了解某區(qū)教師對五類線上教育軟件的使用情況每位教師都使用這五類教育軟件中的某一類且每位教師只選擇一類教育軟件.，從該區(qū)教師中隨機(jī)抽取了人，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，其中，.教育軟件類型選用教師人數(shù)假設(shè)所有教師選擇使用哪類軟件相互獨(dú)立.（1）若某校共有名教師，試估計(jì)該校教師中使用教育軟件或的人數(shù)；（2）從該區(qū)教師中隨機(jī)抽取人，估計(jì)這人中至少有人使用教育軟件的概率；（3）設(shè)該區(qū)有名教師，從中隨機(jī)抽取人，記該教師使用教育軟件或的概率估計(jì)值為；該區(qū)學(xué)校有名教師，其中有人使用教育軟件，人使用教育軟件，從學(xué)校中隨機(jī)抽取人，該教師使用教育軟件或的概率值為；從該區(qū)其他教師除學(xué)校外.中隨機(jī)抽取人，該教師使用教育軟件或的概率估計(jì)值為.試比較，和之間的大小.結(jié)論不要求證明.19.已知橢圓，橢圓的短軸長的，離心率為.過點(diǎn)與軸不重合的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱.（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn).20.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù).①若在處取得極大值，求的單調(diào)區(qū)間；②若恰有三個零點(diǎn)，求的取值范圍.21.已知無窮數(shù)列滿足.對于集合，定義若，則；若，則.（1）若，求集合；（2）若，集合，且，求中元素個數(shù)的可能值；（3）若，集合，對任意的，滿足，且，證明:.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）1.【答案】C【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】由可得，故，故選：C2.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及模長公式得到結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，故答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長公式的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】C【分析】由函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性定義對選項(xiàng)逐個判斷即可.【詳解】對于A，的定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，故A錯誤；對于B，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，的定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，的圖象如下圖，故D錯.故選：C.4.【答案】B【分析】根據(jù)焦半徑公式可得，根據(jù)點(diǎn)在拋物線可得，聯(lián)立即可求解.【詳解】在上，所以，由于，故，聯(lián)立可得，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選；B5.【答案】C【分析】根據(jù)題意，作出軸截面圖，求出正三角形的高，再結(jié)合題意得圓柱的底面半徑和高，進(jìn)而計(jì)算體積即可.【詳解】根據(jù)題意，軸截面如圖：在等邊三角形中，高，因?yàn)閳A柱的高是圓錐的高的，所以圓柱的高,又且，所以是的中點(diǎn)，即，于是該圓柱的底面半徑為1，高為，則體積為.故選：C.6.【答案】A【分析】由是上的增函數(shù)得，即無零點(diǎn)，滿足充分性；反之若對任意，，滿足無零點(diǎn)，但不滿足是上的增函數(shù)，不滿足必要性，即可判斷.【詳解】若是上的增函數(shù)，則對任意，顯然，故，即無零點(diǎn)，滿足充分性；反之，若對任意，，即，滿足無零點(diǎn)，但是上的減函數(shù)，不滿足必要性，故“是上的增函數(shù)”是“任意，無零點(diǎn)”的充分而不必要條件.故選：A.7.【答案】D【分析】設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，則，設(shè)，即，依題意，求t的范圍即求直線與圓有公共點(diǎn)時在y軸上截距的范圍，即圓心到的距離，解得，所以的取值范圍為，故選：D.8.【答案】A【分析】求出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出，確定數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)，然后設(shè)，用作差法得出的單調(diào)性，從而可得數(shù)列的最值．【詳解】，，則，，，，，，，，顯然第一項(xiàng)為正，第二項(xiàng)為負(fù)，時，奇數(shù)項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)都是正數(shù)，設(shè)，則，時，，，即數(shù)列從往后遞減，且，所以中，最大，又所以是最小項(xiàng)．故選：A．9.【答案】D【分析】過作，垂足為，利用銳角三角函數(shù)求出，即可求出弧的長，最后根據(jù)弧田的面積即可求解.【詳解】過作，垂足為，易知為中點(diǎn)，，因?yàn)椋?，所以，，所以弧的長為，因?yàn)?，，所以弧田的面積.故選：D10.【答案】B【分析】,設(shè),兩邊取常用對數(shù)估算的位數(shù)即可.【詳解】,設(shè)，則兩邊取常用對數(shù)得.，故的位數(shù)是10，故選：B．【點(diǎn)睛】解決對數(shù)運(yùn)算問題的常用方法：(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對數(shù)中的簡化計(jì)算.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】由展開式的通項(xiàng)求解即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以x的系數(shù)為，故答案為：-56.12.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)漸近線方程可得，即可根據(jù)焦點(diǎn)位置求解.【詳解】漸近線方程為的雙曲線方程可以為，取，則焦點(diǎn)在軸上，故，故答案為：（答案不唯一）13.【答案】①.##②.【分析】由正弦定理化簡已知式可得，即可求出；再由三角形的面積公式和余弦定理可求出.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以由可得：，則，所以；，解得：，因?yàn)?，所以由余弦定理可得：，則.故答案為：；.14.【答案】①.；②.【分析】第一空：先由輔助角公式寫出，再結(jié)合平移變換寫出，即可求得最大值；第二空：由值域?yàn)榈煤愠闪?，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合求出a的最小值即可.【詳解】第一空：由可得，易得的最大值為；第二空：若的值域?yàn)?，則恒成立，即，又，故，解得，又，故當(dāng)時，a的最小值為.故答案為：；.15.【答案】②③【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求出，用差比較法可判定各選項(xiàng).【詳解】對于①：由，，可得，又，當(dāng)時，因?yàn)?，所以時，故①錯誤；對于②：，又，結(jié)合①的結(jié)論時，所以當(dāng)時，，故②正確；對于③：，，所以當(dāng)時，，所以，故③正確；故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出，根據(jù)遞推關(guān)系分析出當(dāng)時，進(jìn)而判定①，利用差比較法結(jié)合結(jié)論①可判定②③.三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.【答案】（1）答案見解析（2）2【分析】（1）選①②③時，均可根據(jù)整體法求出，結(jié)合周期可求解析式；（2）利用三角變換公式可得，結(jié)合可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得滿足的不等式，故可求的范圍.【小問1詳解】因?yàn)閮蓚€相鄰零點(diǎn)之間的距離為，故，故.選①，因?yàn)楹瘮?shù)的一條對稱軸，則，解得，所以，故；選②，因?yàn)楹瘮?shù)的一個對稱中心，則，解得，所以，故；選③，函數(shù)為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，得，解得，，所以，故；【小問2詳解】，當(dāng)時，，函數(shù)在上不單調(diào)，解得.的最小值為2.17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面,進(jìn)而可得平面平面，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可求證平面，（2）利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離為，即可求解.【小問1詳解】平面平面,且交線為，，平面，故平面,平面，故平面平面，由于平面平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn),故,平面，故平面，【小問2詳解】由于平面，平面，故，平面,平面，故，由于，,,故,設(shè)到平面的距離為，則，故,故，設(shè)直線與平面所成角為,則，18.【答案】（1）人；（2）；（3）．【分析】（1）用樣本頻率估計(jì)總體頻率計(jì)算；（2）用樣本頻率估計(jì)概率，求出抽取一名教師，使用的概率為，記被抽取的人中使用軟件的人數(shù)為，則.所求概率為，由二項(xiàng)分布概率計(jì)算；（3）由已知得，設(shè)該區(qū)有名教師中，使用教育軟件或的人數(shù)為，則，，比較的大小后再與比較．【詳解】解：（1）從表格數(shù)據(jù)可知，，則，所以樣本中教師使用教育軟件或的人數(shù)為人，故估計(jì)該校教師中使用教育軟件或的人數(shù)為人.（2）設(shè)事件為“從該區(qū)教師中隨機(jī)抽取人，至少有人使用教育軟件”.由題意，樣本中的名教師使用軟件的頻率為.用頻率估計(jì)概率，從該區(qū)教師中隨機(jī)抽取一名教師，估計(jì)該教師使用教育軟件的概率為.記被抽取的人中使用軟件的人數(shù)為，則.所以，，所以.（3）由已知得，設(shè)該區(qū)有名教師中，使用教育軟件或的人數(shù)為，則，，，由，，所以，，所以，，，所以.19.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由橢圓短軸長的，離心率為，列方程組即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得到韋達(dá)定理，結(jié)合橢圓的對稱性，可知定點(diǎn)在軸上，利用韋達(dá)定理化簡即可求得直線恒過定點(diǎn)；【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的短軸長的，離心率為，所以解得所以橢圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，則，聯(lián)立整理得，則，，，所以，直線的方程為，由橢圓的對稱性知，若存在定點(diǎn)，則必在軸上．當(dāng)時，，即直線恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).20.【答案】（1）（2）①單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；②【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）①對求導(dǎo)后，令，結(jié)合在處取得極大值可得的范圍，即可得的單調(diào)區(qū)間；②由，可得是的一個零點(diǎn)，故有兩個不為2實(shí)數(shù)根，即方程有兩個不為2實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性后計(jì)算即可得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，令，得，或，（i）當(dāng)時，即時，令，得；令，得，或，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，此時不符合題意，（ii）當(dāng)時，即時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處不取極值，此時不符合題意，（iii）當(dāng)時，即時，令，得；令，得，或，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，此時符合題意，綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；②因?yàn)?，所以，所以是的一個零點(diǎn)，因?yàn)榍∮腥齻€零點(diǎn)，所以方程有兩個不為2實(shí)數(shù)根，即方程有兩個不為2實(shí)數(shù)根，令，所以，令，得，令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，的值域?yàn)椋划?dāng)時，的值域?yàn)?，所以，且，所以，且，所以的取值范圍?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本體最后一問關(guān)鍵在于對函數(shù)因式分解，可得一零點(diǎn)，再研究另一因式，結(jié)合方程與函數(shù)的關(guān)系參變