《備考指南 理科數(shù)學(xué)》課件-第13章 第2講

第十三章第2講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2018年長沙模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝3＋2t))(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.【解析】(1)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝3＋2t))(t為參數(shù))，所以直線l的普通方程為2x－y－1＝0.因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，所以ρ2＝2ρcosθ.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.(2)因曲線C：(x－1)2＋y2＝1是以C(1,0)為圓心，r＝1為半徑的圓，故圓心C(1,0)到直線l的距離d＝eq\f(|2－0－1|,\r(4＋1))＝eq\f(\r(5),5)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(4\r(5),5).2．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2eq\r(3)sinθ.(1)寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)．【解析】(1)由ρ＝2eq\r(3)sinθ，得ρ2＝2eq\r(3)ρsinθ，從而有x2＋y2＝2eq\r(3)y，所以x2＋(y－eq\r(3))2＝3.(2)設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,2)t，\f(\r(3),2)t))，又C(0，eq\r(3))，則|PC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,2)t))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)t－\r(3)))2)＝eq\r(t2＋12)，故當(dāng)t＝0時(shí)，|PC|取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3,0)．3．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l：ρsin(α－θ)＝2sinα，其中α為直線l的傾斜角(α≠0)．(1)求曲線C1的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)直線l與x軸的交點(diǎn)為M，與曲線C1的交點(diǎn)分別為A，B，求|MA|·|MB|的值．【解析】(1)因?yàn)榍€C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，所以曲線C1的普通方程為(x－1)2＋y2＝4.因?yàn)橹本€l：ρsin(α－θ)＝2sinα，即ρsinαcosθ－ρcosαsinθ＝2sinα，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xsinα－ycosα＝2sinα.(2)因?yàn)橹本€l與x軸的交點(diǎn)為M(2,0)，所以直線l的參數(shù)方程可設(shè)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))．將直線l的參數(shù)方程代入圓C1的方程(x－1)2＋y2＝4，得t2＋2tcosα－3＝0，所以|MA|·|MB|＝|t1·t2|＝3.4．(2018年重慶校級(jí)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－4.(1)寫出直線l的極坐標(biāo)方程，并判斷曲線C的形狀；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|OA|)－\f(1,|OB|)))2的值．【解析】(1)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，所以直線l的普通方程為y＝eq\r(3)x.直線l過原點(diǎn)(極點(diǎn))且傾斜角為eq\f(π,3)，所以直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)．因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝4eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－4，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ－4，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4.所以曲線C是以C(2,2)為圓心，以2為半徑的圓．(2)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－4y＋4＝0，,y＝\r(3)x，))得x2－(eq\r(3)＋1)x＋1＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\r(3)＋1，x1x2＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|OA|)－\f(1,|OB|)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)))－\f(1,\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2|x1|)－\f(1,2|x2|)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|x2|－|x1|,2|x1x2|)))2＝eq\f(|x2|－|x1|2,4)＝eq\f(x1＋x22－4x1x2,4)＝eq\f(\r(3)＋12－4,4)＝eq\f(\r(3),2).[B級(jí)能力提升]5．(2018年大連二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)，斜率為eq\f(3,4)，直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)．(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程；(2)求||PA|－|PB||的值．【解析】(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))，所以曲線C的普通方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)，斜率為eq\f(3,4)，所以直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(4,5)t，,y＝1＋\f(3,5)t))(t為參數(shù))．(2)直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(4,5)t，,y＝1＋\f(3,5)t))(t為參數(shù))，將直線l代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，得84t2＋240t－125＝0.因?yàn)閑q\f(12,4)＋eq\f(12,3)＜1，所以點(diǎn)P(1,1)在橢圓的內(nèi)部．所以直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B位于點(diǎn)P的兩側(cè)，即點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的常數(shù)t值異號(hào)．設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t2，則t1＋t2＝－eq\f(20,7)，t1t2＝－eq\f(125,84)，故||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝eq\f(20,7).6．(2018年沈陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線m的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋2t))(t為參數(shù))，直線l垂直于直線m且過點(diǎn)F(1,0)．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2(3＋sin2θ)＝12.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；(2)直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|FA|)－\f(1,|FB|))).【解析】(1)由ρ2(3＋sin2θ)＝12，得3x2＋3y2＋y2＝12，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.直線m的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋2t))(t為參數(shù))，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為2x－y－3＝0.則直線l的斜率k＝－eq\f(1,2)，又F(1,0)，故直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(2\r(5),5)t，,y＝\f(\r(5),5)t))(t為參數(shù))．(2)由于直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)，把直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(2\r(5),5)t，,y＝\f(\r(5),5)t))(t為參數(shù))代入曲線C的方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2\r(5),5)t))2＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)t))2＝12，整理，得eq\f(16,5)t2－eq\f(12\r(5),5)t－9＝0，故t1＋t2＝eq\f(3\r(5),4)，t1·t2＝－eq\f(45,16)(t1，t2異號(hào))．故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|FA|)－\f(1,|FB|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,t1t2)))＝eq\f(4\r(5),15).7．(2018年聊城二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－1＋\f(4,5)t))(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,2)))，曲線C的極坐標(biāo)方程為asinθ－ρcos2θ＝0(a＞0)．(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且|PA|＝3|PB|，求a的值．【解析】(1)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－1＋\f(4,5)t))(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為4x－3y－3＝0.因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為asinθ－ρcos2θ＝0(a＞0)，即aρsinθ－ρ2cos2θ＝0，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝ay(a＞0)．(2)將直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－1＋\f(4,5)t))代入x2＝ay，得9t2－20at＋25a＝0，由Δ＝400a2－900a＞0，得a＞eq\f(9,4).設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝eq\f(20,9)a，t1t2＝eq\f(25,9)a.①由點(diǎn)P的極坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,2)))，得其直角坐標(biāo)為(0，－1)，可知點(diǎn)P在直線l上，由|PA|＝3|PB|，得t1＝3t2.代入①，可得a＝3＞eq\f(9,4).所以a＝3.8．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝8cosθ.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)為F，求eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)的值．【解析】(1)由ρsin2θ＝8cosθ得，ρ2sin2θ＝8ρcosθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝8x.(2)易得直線l與x軸的交點(diǎn)為F(2,0)，將直線l的方程代入y2＝8x，得(tsinα)2＝8(2＋tcosα)，整理得sin2α·t2－8cosα·t－16＝0.由已知sinα≠0，Δ＝(－8cosα)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，所以t1＋t2＝eq\f(