貴州省遵義市播州區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

高一聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊占30%，必修第二冊至必修第三冊第七章第2節(jié)占70%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.2.已知集合，則集合中的元素個數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.53.某校為了豐富學(xué)生的課余生活，組織了籃球比賽．已知該校高二（1）班籃球隊員甲每場比賽得分的莖葉圖如圖所示，則甲每場比賽得分的分位數(shù)是（）01237822457903551377A.23 B.24 C.28 D.314.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，且，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.7.某企業(yè)研發(fā)一款新產(chǎn)品，計劃第一年投入研發(fā)經(jīng)費10萬元，此后每年投入的研發(fā)經(jīng)費比上一年增長．若第年的投入的研發(fā)經(jīng)費首次超過20萬元，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.4 B.5 C.7 D.88.已知點O在內(nèi)部，且有，則與的面積的比值為（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，9.下列說法正確的是（）A.我們把既有大小又有方向的量叫作向量 B.單位向量是相等向量C.零向量與任意向量平行 D.向量的?？梢员容^大小10.依次擲兩個質(zhì)地均勻骰子，記事件A表示“第一個骰子正面朝上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件B表示“第二個骰子正面朝上的點數(shù)不大于4”，事件C表示“兩個骰子正面朝上的點數(shù)之和大于8”，事件D表示“兩個骰子正面朝上的點數(shù)都是偶數(shù)”，則下列不是相互獨立事件的是（）A.A與C B.A與D C.B與C D.B與D11.已知，且，則下列不等式一定成立是（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某科研所有名研究人員，其中男研究員人數(shù)與女研究員人數(shù)之比為．現(xiàn)從該研究所所有研究人員中按性別采用分層抽樣的方法抽取120名研究人員進行調(diào)查，則被抽取到的女研究員人數(shù)是_______．13.如圖1，這是杭州第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”．如圖2，這是“潮涌”的平面圖，若，則圖形的面積與扇形的面積的比值是_______．14.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則當(dāng)時，_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．16.其校為了解學(xué)生的綜合素養(yǎng)情況，從該校學(xué)生中隨機地抽取了40名學(xué)生作為樣本，進行綜合素養(yǎng)測評，將他們的得分（滿分：100分）分成，共六組．根據(jù)他們的得分繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從得分低于60分的樣本中隨機地選取2個樣本，求這2個樣本的得分在同一組的概率；（2）若在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為86分，方差為10，在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為92分，方差為6，求在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)和方差．17.已知函數(shù)（，且），且．（1）求的值；（2）判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；（3）若不等式恒成立，求t的取值范圍．18.如圖，四邊形是等腰梯形，，是線段的中點，在線段上．（1）若是線段中點，且，求；（2）若是線段的中點，且，求梯形的面積；（3）若，且，求的值．19.某商場為了吸引顧客，規(guī)定購買一定價值的商品可以獲得一次抽獎機會，獎品價值分別為10元、20元、30元、40元．已知甲抽到價值為10元、20元、30元、40元的獎品的概率分別為，且每次抽獎結(jié)果相互獨立．（1）已知甲參與抽獎兩次，求甲兩次抽到獎品價值不同的概率；（2）求甲參與抽獎三次，抽到兩種不同價值的獎品，且獲得的獎品價值總和不低于80元的概率．

高一聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊占30%，必修第二冊至必修第三冊第七章第2節(jié)占70%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的加法運算法則.【詳解】故選：B2.已知集合，則集合中的元素個數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，根據(jù)集合的交運算即可求解.【詳解】由，由，故，故中的元素個數(shù)是4.故選：C3.某校為了豐富學(xué)生的課余生活，組織了籃球比賽．已知該校高二（1）班籃球隊員甲每場比賽得分的莖葉圖如圖所示，則甲每場比賽得分的分位數(shù)是（）01237822457903551377A.23 B.24 C.28 D.31【答案】C【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合百分位數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】由莖葉圖可知：共有16個數(shù)據(jù)，則，故得分的分位數(shù)為第12和第13個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故選：C4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式，舉特例可判斷選項正誤.【詳解】由，得，則．取，，滿足，但不滿足．則由可得，由得不到，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用賦值法可判斷ABD；利用不等式性質(zhì)可判斷C.【詳解】，但，故A錯誤；，但，故B錯誤；因為，所以，所以，又，所以，所以，故C正確；，但，故D錯誤.故選：C.6.已知函數(shù)，且，則m取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】確定函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用性質(zhì)求解不等式.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，函數(shù)是奇函數(shù)，又函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則在R上單調(diào)遞增，不等式，則，即，解得或，所以m的取值范圍是.故選：A7.某企業(yè)研發(fā)一款新產(chǎn)品，計劃第一年投入研發(fā)經(jīng)費10萬元，此后每年投入的研發(fā)經(jīng)費比上一年增長．若第年的投入的研發(fā)經(jīng)費首次超過20萬元，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.4 B.5 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】由題意得到不等式，化簡得，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得，即，兩邊同時取以10為底的對數(shù)，則有，所以，解得，因為，所以.故選：B8.已知點O在內(nèi)部，且有，則與的面積的比值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點，由給定的向量等式，結(jié)合向量運算可得，再利用等高的兩個三角形面積比求解.【詳解】由，得，取的中點，連接，則，于是，因此，所以與的面積的比值為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，9.下列說法正確的是（）A.我們把既有大小又有方向的量叫作向量 B.單位向量是相等向量C.零向量與任意向量平行 D.向量的?？梢员容^大小【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的定義以及單位向量，零向量的定義，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，我們把既有大小又有方向的量叫作向量，A正確，對于B，單位向量是長度為1的向量，方向不確定，故不一定是相等向量，B錯誤，對于C，零向量與任意向量平行，C正確，對于D，向量的模長是實數(shù)，故可以比較大小，D正確.故選：ACD10.依次擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，記事件A表示“第一個骰子正面朝上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件B表示“第二個骰子正面朝上的點數(shù)不大于4”，事件C表示“兩個骰子正面朝上的點數(shù)之和大于8”，事件D表示“兩個骰子正面朝上的點數(shù)都是偶數(shù)”，則下列不是相互獨立事件的是（）A.A與C B.A與D C.B與C D.B與D【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，列舉出樣本空間，求出有關(guān)概率，再利用相互獨立事件的判定公式逐項計算判斷.【詳解】擲兩個質(zhì)地均勻的骰子的樣本空間：，共36個樣本點，，共18個樣本點，，共24個樣本點，，共10個樣本點，，共9個樣本點，，對于A，，，A是；對于B，，，D是；對于C，，，C是；對于D，，，D不是.故選：ABC11.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】A直接利用基本不等式判斷；B化成再分析即得；C利用“1”的代換以及基本不等式計算可得；D消元后利用基本不等式即得.【詳解】對于A，由，則，等號成立條件為，故A錯誤；對于B，由，得，又，得，故B正確；對于C，由，則，則，等號成立條件為，故C正確；對于D，由B項知，，則，等號成立條件為，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某科研所有名研究人員，其中男研究員人數(shù)與女研究員人數(shù)之比為．現(xiàn)從該研究所所有研究人員中按性別采用分層抽樣的方法抽取120名研究人員進行調(diào)查，則被抽取到的女研究員人數(shù)是_______．【答案】45【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的特點，根據(jù)抽樣比計算即可.【詳解】由題：抽取的女研究員人數(shù)為（人），故答案為：45.13.如圖1，這是杭州第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”．如圖2，這是“潮涌”的平面圖，若，則圖形的面積與扇形的面積的比值是_______．【答案】【解析】【分析】利用扇形面積公式，分別求出扇形和扇形的面積，作差得圖形的面積，再求比值即可.【詳解】設(shè)扇形的圓心角，，則，由扇形面積公式可知，，所以，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則當(dāng)時，_______．【答案】【解析】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)求得時，的解析式，利用周期性可求得時，的解析式.詳解】令，則可得，因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，又因為，所以，所以，所以為函數(shù)的周期，當(dāng)時，，由題意可得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求的值；（2）利用齊次式化弦為切即可求值；（3）化為齊次式，進而弦化切即可求值.【小問1詳解】因為，可得，所以；【小問2詳解】；【小問3詳解】.16.其校為了解學(xué)生的綜合素養(yǎng)情況，從該校學(xué)生中隨機地抽取了40名學(xué)生作為樣本，進行綜合素養(yǎng)測評，將他們的得分（滿分：100分）分成，共六組．根據(jù)他們的得分繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從得分低于60分的樣本中隨機地選取2個樣本，求這2個樣本的得分在同一組的概率；（2）若在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為86分，方差為10，在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為92分，方差為6，求在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)和方差．【答案】（1）（2）平均數(shù)分，方差【解析】【分析】（1）先計算頻率分布直方圖求出得分低于60分的樣本在不同組的數(shù)列，再利用古典概型的概率公式計算這2個樣本的得分在同一組的概率；（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式和方差的性質(zhì)計算內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)和方差.【小問1詳解】由圖可知，，解得，則在內(nèi)的樣本容量為，將這2個樣本分別記為，在內(nèi)的樣本容量為，將這4個樣本分別記為．從中隨機地選取2個，可知樣本空間，共有15個樣本點．用事件表示“這2個樣本的得分在同一組”，則，有7個樣本點，則，即這2個樣本得分在同一組的概率為．【小問2詳解】由圖可知，在內(nèi)的樣本數(shù)與在內(nèi)的樣本數(shù)之比為，所以在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)分，方差17.已知函數(shù)（，且），且．（1）求的值；（2）判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；（3）若不等式恒成立，求t的取值范圍．【答案】（1）；（2）奇函數(shù)，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）把給定條件代入函數(shù)式求出參數(shù)值；（2）利用函數(shù)奇偶性定義判斷并證明；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求解不等式即可.【小問1詳解】函數(shù)中，由，得，而，所以；【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)的定義域為R，，所以是R上的奇函數(shù)；【小問3詳解】函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則是R上的增函數(shù)，不等式，因此，即，則，解，得或；解，即，得.于是，所以t的取值范圍是.18.如圖，四邊形是等腰梯形，，是線段的中點，在線段上．（1）若是線段的中點，且，求；（2）若是線段的中點，且，求梯形的面積；（3）若，且，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量加減法的法則分別表示出，及，再結(jié)合圖形，求出，進而求出，即可求出；（2）由（1）可知，再結(jié)合圖形得到，進而求出及高，即可求出梯形的面積；（3）由題目條件先求出，設(shè)，根據(jù)向量加減法的法則分別表示出，及，由即可求出值.【小問1詳解】若是線段的中點，由題意可知，，，所以.如下圖所示：過作于，過作于，因為是等腰梯形，，可知，在直角中，因為，所以，，所以，所以，所以.【小問2詳解】若是線段的中點，由（1）可知，，在直角中，因為，即，所以，因為，所以，即，解得，.在直角中，由勾股定理可得，所以梯形的面積.【小問3詳解】由（1）可知，在直角中，因為，，所以，所以，設(shè)，所以，又由（1）知，所以，所以，因為，所以，整理得，解得或（舍），所以19.某商場為了吸引顧客，規(guī)定購買一定