江蘇省東臺市第一高級中學2024-2025學年高二下學期第一次月考數(shù)學試題 （原卷版+解析版）

2024-2025學年度第二學期高二年級階段檢測（一）高二數(shù)學試卷考試時間：120分鐘；一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.（）A.2 B.22 C.12 D.102.已知向量，，若，則（）A. B.2 C. D.13.在的二項展開式中，含的項系數(shù)是（）A132 B.240 C.480 D.1964.已知空間中，點，則平面的一個法向量為（）A B. C. D.5.現(xiàn)從6名學生干部中選出3名同學分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數(shù)是（）A.20 B.90 C.120 D.2406.已知平行六面體的所有棱長均為，，則對角線的長為（）A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（）A. B.4 C.2 D.38.地圖涂色是一類經(jīng)典的數(shù)學問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（）種.A.84 B.72 C.48 D.24二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.）9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B.若對空間中任意一點，有，則、、、四點共面C.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線D.已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底10.在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件不合格品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（）A.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種C.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種D.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種11.若，則下列正確是（）A B.C. D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若，則______.13.已知直線過點和點，則點到直線的距離為____________.14.書架上某一層有本不同的書，新買了本不同的書插進去，要保持原來本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）四、解答題（本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和驗算步驟.）15.（1）解不等式；（2）計算：；（結(jié)果用數(shù)字表示）16.如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點，已知，.（1）求到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.17.3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數(shù).（1）全體站成一排，甲、乙不在兩端；（2）全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；（3）全體站成一排，男生彼此不相鄰.18.已知的展開式的第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開式常數(shù)項；（3）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，，平面，且，點在棱上，點為中點．（1）證明：若，則直線平面；（2）求二面角的正弦值；（3）是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

2024-2025學年度第二學期高二年級階段檢測（一）高二數(shù)學試卷考試時間：120分鐘；一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.（）A.2 B.22 C.12 D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的計算公式，準確計算，即可求解.【詳解】因為，所以.故選：A.2.已知向量，，若，則（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由向量共線列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可設(shè)，即，即，解得，所以.故選：A3.在的二項展開式中，含的項系數(shù)是（）A.132 B.240 C.480 D.196【答案】B【解析】【分析】利用二項式定理的原理分析取得的方式，就可求出其系數(shù).【詳解】可以看成6個因式相乘，要得到，只需兩個因式取，其他4個因式取常數(shù)即可，所以的系數(shù)為：.故選：B4.已知空間中，點，則平面的一個法向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出、，設(shè)平面的一個法向量為，利用法向量與平面垂直的坐標表示即可求解.【詳解】由題，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得.故選：B5.現(xiàn)從6名學生干部中選出3名同學分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數(shù)是（）A.20 B.90 C.120 D.240【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列可求不同的選派方案的種數(shù).【詳解】共有種不同的選派方案．故選：C.6.已知平行六面體的所有棱長均為，，則對角線的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算，可得的表達式，兩邊平方即可求得.【詳解】由已知：平行六面體所有棱長均為，，則，又因為：，同理可得：，則，則.故選：.7.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（）A. B.4 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求.【詳解】由題意，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建系如圖，設(shè)，因為，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，解得，即.故選：B.8.地圖涂色是一類經(jīng)典的數(shù)學問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（）種.A.84 B.72 C.48 D.24【答案】A【解析】【分析】先將區(qū)域分為上下左右，再分上下顏色相同與不同，最后用分步計數(shù)原理求解.【詳解】將圖形區(qū)域氛圍上下左右，若上下顏色相同，則上有4種，左有3種，右有3種，共有種；若上下顏色不同，則上有4種，下有3種，左右各有兩種，共有種，所以共有種，故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.）9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B.若對空間中任意一點，有，則、、、四點共面C.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線D.已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底【答案】AD【解析】【分析】利用空間向量共面的概念可判斷A選項；利用共面向量的推論可判斷B選項；利用線面位置關(guān)系與空間向量的關(guān)系可判斷C選項；利用空間向量基底的概念可判斷D選項.【詳解】對于A選項，空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，A對；對于B選項，若、、、四點共面，則存在、，使得，則對空間中任意一點，，可得，且，因，且，所以，、、、四點不共面，B錯；對于C選項，因為，即，故或，C錯；對于D選項，假設(shè)、、共面，則存在、，使得，所以，，則、、共面，與題設(shè)矛盾，故也是空間的一個基底，D對.故選：AD.10.在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件不合格品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（）A.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種C.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種D.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種【答案】ACD【解析】【分析】抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為不合格品1件、合格品2件，根據(jù)分步計數(shù)原理可知A正確，B錯誤；抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分兩種做法：（?。?件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分類計數(shù)法求解.（ⅱ）總的取法數(shù)減去抽取的三件都為合格品的取法即為所求.由此判斷CD正確【詳解】解：由題意得：對于A、B選項：抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為3件不合格品中抽取1件有種取法，7件合格品種抽取2件有種取法，故共有中取法，故A正確；對于選項C：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分三種情況：①抽取的3件產(chǎn)品中有1件不合格、有2件合格，共有種取法；②抽取的3件產(chǎn)品中有2件不合格、有1件合格，共有種取法；③抽取的3件產(chǎn)品都不合格，種取法.故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故B錯誤，C正確；對于選項D：10件產(chǎn)品種抽取三件的取法有，抽出的3件產(chǎn)品中全部合格的取法有種，抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故D正確.故選：ACD11.若，則下列正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用賦值法計算可判斷A錯誤，BC正確，對二項展開式兩邊同時求導(dǎo)并令計算可判斷D錯誤.【詳解】對于A：令，則，故A錯誤；對于B：令，則，故B正確；對于C：令，則，故C正確；對于D，由，兩邊同時求導(dǎo)得，令，則，故D錯誤.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若，則______.【答案】或【解析】【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因為，則或，且，解得或.故答案為：或.13.已知直線過點和點，則點到直線的距離為____________.【答案】【解析】【分析】取直線的一個單位方向向量為，由點到直線的距離公式為，代入運算，即可得解．【詳解】由題意知，直線的一個方向向量為,0,，取直線的一個單位方向向量為，又為直線外一點，且直線過點,2,，，,,，，點到直線的距離為．故答案為：．14.書架上某一層有本不同的書，新買了本不同的書插進去，要保持原來本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】原問題等價于將本書放在書架上，保持原來的本書順序不變，結(jié)合倍縮法即可得解.【詳解】原問題等價于將本書放在書架上，保持原來的本書順序不變，由倍縮法可知，不同的插法種數(shù)為種.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和驗算步驟.）15.（1）解不等式；（2）計算：；（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于的不等式，可解出的可能取值，再結(jié)合排列數(shù)公式可解出的值；（2）利用組合數(shù)的運算性質(zhì)可得出所求代數(shù)式的值.【詳解】（1）對于不等式，有，可得，因為，所以，即，可得，解得.又因為，解得；（2）由題意可知：.16.如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點，已知，.（1）求到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】，，，，.由直三棱柱中，底面，、底面，，.以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、，所以，，，設(shè)平面的法一個向量為，則，令，則，，所以，設(shè)到平面的距離為，則.【小問2詳解】設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，可得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數(shù).（1）全體站成一排，甲、乙不兩端；（2）全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；（3）全體站成一排，男生彼此不相鄰.【答案】（1）2400（2）288（3）1440【解析】【分析】（1）特殊元素優(yōu)先排求解；（2）利用捆綁法求解；（3）利用插空法求解.【小問1詳解】先在中間五個位置選兩個位置安排甲，乙，然后剩余5個人在剩余五個位置全排列，所以有種.【小問2詳解】相鄰問題，利用捆綁法，共有種.【小問3詳解】即不相鄰問題，先排好女生共有種排法，男生在5個空中安插，共有種排法，所以共有種18.已知的展開式的第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開式的常數(shù)項；（3）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是，可列出關(guān)于的方程再求解；（2）結(jié)合展開式的通項公式，得出指數(shù)的表達式，令其為零即可求解；（3）由結(jié)合數(shù)列的最值列出的不等式組，解得的范圍即可.【小問1詳解】依題意可得第2項的二項式系數(shù)為，第3項的二項式系數(shù)為，所以，即，則，或（舍去）；【小問2詳解】展開式的通項為（，），令，解得，所以，所以常數(shù)項為第5項60.【小問3詳解】系數(shù)的絕對值為，則所以，即