2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第十一章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第2講用樣本估計總體高效演練分層突破文新人教A版

PAGEPAGE1第2講用樣本估計總體[基礎(chǔ)題組練]1．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，則在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：選D.由題知，在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq\f(14,20)＝0.7.2．(2024·高考全國卷Ⅱ)演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差解析：選A.記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的依次排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.3．(2024·陜西咸陽模擬檢測(二))PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標，我國采納世界衛(wèi)生組織的最寬值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空氣質(zhì)量為一級，在35～75μg/m3空氣質(zhì)量為二級，超過75μg/m3為超標．如圖是某地12月1日至10日的PM2.5(單位：μg/m3)的日均值，則下列說法不正確的是()A．這10天中有3天空氣質(zhì)量為一級B．從6日到9日PM2.5日均值漸漸降低C．這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是55D．這10天中PM2.5日均值最高的是12月6日解析：選C.這10天中第一天，第三天和第四天，共3天空氣質(zhì)量為一級，所以A正確；從題圖可知從6日到9日PM2.5日均值漸漸降低，所以B正確；從題圖可知，這10天中PM2.5日均值最高的是12月6日，所以D正確；由題圖可知，這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是eq\f(41＋45,2)＝43，所以C不正確．故選C.4．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)中相同的是()A．極差 B．方差C．平均數(shù) D．中位數(shù)解析：選C.由題中莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布，可知方差不同，極差不同，甲的中位數(shù)為eq\f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位數(shù)為eq\f(14＋18,2)＝16，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(5＋16＋12＋25＋21＋37,6)＝eq\f(58,3)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq\f(58,3)，所以甲、乙的平均數(shù)相同．故選C.5．甲、乙、丙、丁四人參與某運動會射擊項目的選拔賽，四人的平均成果和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個人中選擇一人參與該運動會射擊項目競賽，最佳人選是．解析：由題表中數(shù)據(jù)可知，丙的平均環(huán)數(shù)最高，且方差最小，說明技術(shù)穩(wěn)定，且成果好．答案：丙6．對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：(1)[25，30)年齡組對應(yīng)小矩形的高度為；(2)據(jù)此估計該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)為．解析：設(shè)[25，30)年齡組對應(yīng)小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.則志愿者年齡在[25，35)年齡組的頻率為5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25，35)年齡組的人數(shù)約為0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)4407．某校1200名高三年級學(xué)生參與了一次數(shù)學(xué)測驗(滿分為100分)，為了分析這次數(shù)學(xué)測驗的成果，從這1200人的數(shù)學(xué)成果中隨機抽取200人的成果繪制成如下的統(tǒng)計表，請依據(jù)表中供應(yīng)的信息解決下列問題：成果分組頻數(shù)頻率平均分[0，20)30.01516[20，40)ab32.1[40，60)250.12555[60，80)c0.574[80，100]620.3188(1)求a、b、c的值；(2)假如從這1200名學(xué)生中隨機抽取一人，試估計這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測驗及格的概率P(注：60分及60分以上為及格)；(3)試估計這次數(shù)學(xué)測驗的年級平均分．解：(1)由題意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)依據(jù)已知，在抽出的200人的數(shù)學(xué)成果中，及格的有162人．所以P＝eq\f(162,200)＝0.81.(3)這次數(shù)學(xué)測驗樣本的平均分為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，所以這次數(shù)學(xué)測驗的年級平均分大約為73分．8．為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù)，制圖如下：每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費狀況如下：甲公司規(guī)定每件4.5元；乙公司規(guī)定每天35件以內(nèi)(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)依據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；(2)依據(jù)圖中數(shù)據(jù)估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費．解：(1)甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為36，眾數(shù)為33.(2)依據(jù)題圖中數(shù)據(jù)，可估算甲公司的每位員工該月所得勞務(wù)費為4.5×36×30＝4860(元)，易知乙公司員工B每天所得勞務(wù)費X的可能取值為136，147，154，189，203，所以乙公司的每位員工該月所得勞務(wù)費約為eq\f(1,10)×(136×1＋147×3＋154×2＋189×3＋203×1)×30＝165.5×30＝4965(元)．[綜合題組練]1．(2024·安徽五校聯(lián)盟其次次質(zhì)檢)數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的方差為σ2，則數(shù)據(jù)2a1，2a2，2a3，…，2an的方差為()A.eq\f(σ2,2) B．σ2C．2σ2 D．4σ2解析：選D.設(shè)a1，a2，a3，…，an的平均數(shù)為a，則2a1，2a2，2a3，…，2an的平均數(shù)為2a，σ2＝eq\f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n).則2a1，2a2，2a3，…，2an的方差為eq\f(（2a1－2a）2＋（2a2－2a）2＋（2a3－2a）2＋…＋（2an－2a）2,n)＝4×eq\f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n)＝4σ2.故選D.2.(2024·鄭州市其次次質(zhì)量預(yù)料)將甲、乙兩個籃球隊各5場競賽的得分數(shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結(jié)論正確的是()A．甲隊平均得分高于乙隊的平均得分B．甲隊得分的中位數(shù)大于乙隊得分的中位數(shù)C．甲隊得分的方差大于乙隊得分的方差D．甲、乙兩隊得分的極差相等解析：選C.由題中莖葉圖得，甲隊的平均得分eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，乙隊的平均得分eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，選項A不正確；甲隊得分的中位數(shù)為29，乙隊得分的中位數(shù)為30，甲隊得分的中位數(shù)小于乙隊得分的中位數(shù)，選項B不正確；甲隊得分的方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝eq\f(18,5)，乙隊得分的方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，選項C正確；甲隊得分的極差為31－26＝5，乙隊得分的極差為32－28＝4，兩者不相等，選項D不正確．故選C.3.(2024·沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(一))某籃球運動員的投籃命中率為50%，他想提高自己的投籃水平，制定了一個夏季訓(xùn)練安排，為了了解訓(xùn)練效果，執(zhí)行訓(xùn)練前，他統(tǒng)計了10場競賽的得分，計算出得分的中位數(shù)為15，平均得分為15，得分的方差為46.3.執(zhí)行訓(xùn)練后也統(tǒng)計了10場競賽的得分，莖葉圖如圖所示：(1)請計算該籃球運動員執(zhí)行訓(xùn)練后統(tǒng)計的10場競賽得分的中位數(shù)、平均得分與方差；(2)假如僅從執(zhí)行訓(xùn)練前后統(tǒng)計的各10場競賽得分數(shù)據(jù)分析，你認為訓(xùn)練安排對該運動員的投籃水平的提高是否有幫助？為什么？解：(1)訓(xùn)練后得分的中位數(shù)為eq\f(14＋15,2)＝14.5；平均得分為eq\f(8＋9＋12＋14＋14＋15＋16＋18＋21＋23,10)＝15；方差為eq\f(1,10)[(8－15)2＋(9－15)2＋(12－15)2＋(14－15)2＋(14－15)2＋(15－15)2＋(16－15)2＋(18－15)2＋(21－15)2＋(23－15)2]＝20.6.(2)盡管中位數(shù)訓(xùn)練后比訓(xùn)練前稍小，但平均得分一樣，訓(xùn)練后方差20.6小于訓(xùn)練前方差46.3，說明訓(xùn)練后得分穩(wěn)定性提高了(闡述觀點合理即可)，這是投籃水平提高的表現(xiàn)．故此訓(xùn)練安排對該籃球運動員的投籃水平的提高有幫助．4．(2024·廣州市調(diào)研測試)某蔬果經(jīng)銷商銷售某種蔬果，售價為每千克25元，成本為每千克15元．銷售宗旨是當天進貨當天銷售．假如當天賣不出去，未售出的全部降價以每千克10元處理完．依據(jù)以往的銷售狀況，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)依據(jù)頻率分布直方圖計算該種蔬果日需求量的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表)；(2)該經(jīng)銷商某天購進了250千克該種蔬果，假設(shè)當天的需求量為x千克(0≤x≤500)，利潤為y元．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合頻率分布直方圖估計利潤y不小于1750元的概率．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝50×0.0010×100＋150×0.0020×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0015×100＝265.故該種蔬果日需求量的平均數(shù)為265千克．(2)當日需求量不低于250千克時，利潤y＝(25－15)