合理推理（第二課時(shí)）與演繹推理-高二數(shù)學(xué)理科選修教學(xué)課件(人教A版)

第二章推理與證明

合情推理(第二課時(shí))類比推理

演繹推理1.

什么是類比推理?2.在解決問題中如何運(yùn)用類比推理?學(xué)習(xí)要點(diǎn)

問題3.

你聽說過魯班發(fā)明鋸子的傳說嗎?他是由什么想到的?在平面直角坐標(biāo)系中,你能寫出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式嗎?在空間直角坐標(biāo)系中,你能寫出類似的公式嗎?

帶齒的草葉劃破了魯班的手,由此,魯班發(fā)明了鋸子.

在平面直角坐標(biāo)系中,已知P1(x1,y1),P2(x2,y2).線段P1P2中點(diǎn)的坐標(biāo)為

由此猜測空間直角坐標(biāo)系中,P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為

問題3.

你聽說過魯班發(fā)明鋸子的傳說嗎?他是由什么想到的?在平面直角坐標(biāo)系中,你能寫出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式嗎?在空間直角坐標(biāo)系中,你能寫出類似的公式嗎?

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理,稱為類比推理

(簡稱類比),即由特殊到特殊的推理.練習(xí):(課本25頁“探究”)類比圓和球,填寫下表中球的相關(guān)特征.圓的概念和性質(zhì)球的類似概念和性質(zhì)圓有周長和面積圓的一條直徑把圓分成兩個(gè)半圓圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩條弦相等,與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦長.以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r

為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2.球有表面積和體積球的一個(gè)大圓把球分成兩個(gè)半球.球心與小圓圓心的連線垂直于小圓面.與球心距離相等的兩個(gè)小圓相等,與球心距離不等的小圓不等,距球心較近的小圓較大.以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,R為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2.

例2.

類比實(shí)數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).分析:(1)加法有加數(shù),有結(jié)果;乘法有乘數(shù),有結(jié)果.(2)加法有運(yùn)算律,乘法有運(yùn)算律.(4)加法中的特殊數(shù),乘法中的特殊數(shù).(3)加法有逆運(yùn)算,乘法有逆運(yùn)算.

例2.

類比實(shí)數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).解:(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)相加,和為實(shí)數(shù);兩個(gè)實(shí)數(shù)相乘,積為實(shí)數(shù).(2)加法有交換律:a+b=b+a;乘法有交換律:ab=ba.

加法有結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c);乘法有結(jié)合律:(ab)c=a(bc).(3)加法有逆運(yùn)算:a+b=c,

a=c-b;乘法有逆運(yùn)算:ab=c,(4)任意數(shù)加上0等于任意數(shù);任意數(shù)乘以1等于任意數(shù).

例3.

類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.解:直角三角形有兩條邊互相垂直,有一條邊不垂直,如圖,∠C=90,a2+b2=c2.ABCabc

類似地考慮四面體中,有一個(gè)面不垂直,其它三個(gè)面兩兩垂直,如圖,PEDS1S2S3FS∠PDE=∠PDF=∠EDF=90.

猜想:直角面的面積平方和等于斜面面積的平方,即

(此結(jié)論是正確的,請同學(xué)們自己證明)

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類比,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.

數(shù)學(xué)研究中,得到一個(gè)新結(jié)論之前,合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論;證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.練習(xí):(課本77頁)第3

題.3.

如圖,若射線OM,ON

上分別存在點(diǎn)M1,M2

與點(diǎn)N1,N2,則三角形面積之比若不在同一平面內(nèi)的射線OP,OQ和OR

上分別存在點(diǎn)P1,P2,點(diǎn)Q1,Q2

和點(diǎn)R1,R2,則類似的結(jié)論是什么?OM1MN1NM2N2P1PR1RQ1QOP2R2Q2解:如圖,連結(jié)P1Q1,Q1R1,R1P1,P2Q2,Q2R2,R2P2.在平面內(nèi),等式是在立體圖形中,類似于體積比與射線上的線段比.猜想:面積比與射線上的線段比.練習(xí):(課本77頁)【課時(shí)小結(jié)】1.

類比推理

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理,稱為類比推理

(簡稱類比),即由特殊到特殊的推理.【課時(shí)小結(jié)】2.

類比推理的基本思想(1)由已知對象的特性,聯(lián)想到類似對象也可能有相同的特性.(2)待解決問題時(shí),尋求類似對象,由類似對象的特性推測所求對象的特性.【課時(shí)小結(jié)】3.

合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類比,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.

數(shù)學(xué)研究中,得到一個(gè)新結(jié)論之前,合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論;證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.習(xí)題2.1A組第4、5題.

4.

在△ABC中,不等式成立;在四邊形ABCD中,不等式成立;在五邊形ABCDE中,不等式成立.猜想在n邊形A1A2…An

中,有怎樣的不等式成立.解:由題設(shè)中已知多邊形猜想,在n

邊形中有習(xí)題2.1A組

5.

在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則有

a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,且n

N*)成立.類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列{bn}中若b9=1,則存在怎樣的等式?解:在等差數(shù)列中,a10

是a1

與a19

的等差中項(xiàng),任何數(shù)加上a10

等于任何數(shù).類比上述等差數(shù)列,則在等比數(shù)列{bn}中,b9

是b1

與b17

的等比中項(xiàng),任何數(shù)乘以b9

等于任何數(shù),于是猜測b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b17-n

(n<17,且n

N*).演繹推理1.

什么是演繹推理?它的構(gòu)成形式是怎樣的?2.在演繹推理中,怎樣保證結(jié)論的正確性?學(xué)習(xí)要點(diǎn)

問題4.

比較下面的推斷,它們有什么區(qū)別?

(1)

鐵能導(dǎo)電,銅能導(dǎo)電,因?yàn)殍F、銅都是金屬,所以金屬能導(dǎo)電.

(2)

所有金屬都能導(dǎo)電,鈾是金屬,所以鈾能導(dǎo)電.

(3)

由52-1是24的倍數(shù),72-1是24的倍數(shù),112-1是24的倍數(shù),而5,7,11都是質(zhì)數(shù),所以質(zhì)數(shù)的平方減去1是24的倍數(shù).

(4)

一切不小于5的質(zhì)數(shù)的平方減去1都是24的倍數(shù),而97是大于5的質(zhì)數(shù),所以972-1是24的倍數(shù).(1)(3)是由特殊到一般的推理,前面我們學(xué)過,這種推理稱為歸納推理.(2)(4)是由一般到特殊的推理,這種推理稱為演繹推理.又如:

(1)

太陽系的行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行,天王星是太陽系的行星,因此天王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行;

(2)

一切奇數(shù)都不能被2整除,(2100+1)是奇數(shù),所以(2100+1)不能被2整除;

(3)

三角形都是周期函數(shù),tana

是三角函數(shù),因此tana

是周期函數(shù);

(4)

兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).如果∠A

與∠B

是兩條平行線的同旁內(nèi)角,那么∠A+∠B=180.

以上例子都是從一般性原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,這些推理都是演繹推理.又如:

(1)

太陽系的行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行,天王星是太陽系的行星,因此天王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行;

(2)

一切奇數(shù)都不能被2整除,(2100+1)是奇數(shù),所以(2100+1)不能被2整除;

(3)

三角形都是周期函數(shù),tana

是三角函數(shù),因此tana

是周期函數(shù);

(4)

兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).如果∠A

與∠B

是兩條平行線的同旁內(nèi)角,那么∠A+∠B=180.仔細(xì)分析,每一個(gè)推理都分三段.第一段是一般原理,如各句中畫實(shí)線部分.這一段稱為“大前提”.又如:

(1)

太陽系的行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行,天王星是太陽系的行星,因此天王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行;

(2)

一切奇數(shù)都不能被2整除,(2100+1)是奇數(shù),所以(2100+1)不能被2整除;

(3)

三角形都是周期函數(shù),tana

是三角函數(shù),因此tana

是周期函數(shù);

(4)

兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).如果∠A

與∠B

是兩條平行線的同旁內(nèi)角,那么∠A+∠B=180.仔細(xì)分析,每一個(gè)推理都分三段.第二段是某個(gè)特殊情況,如各句中畫虛線部分.第二段稱為“小前提”.又如:

(1)

太陽系的行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行,天王星是太陽系的行星,因此天王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行;

(2)

一切奇數(shù)都不能被2整除,(2100+1)是奇數(shù),所以(2100+1)不能被2整除;

(3)

三角形都是周期函數(shù),tana

是三角函數(shù),因此tana

是周期函數(shù);

(4)

兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).如果∠A

與∠B

是兩條平行線的同旁內(nèi)角,那么∠A+∠B=180.仔細(xì)分析,每一個(gè)推理都分三段.第三段是推出結(jié)論,如各句中畫雙線部分.第三段稱為“結(jié)論”.三段論是演繹推理的一般模式,包括:(1)大前提

—已知的一般原理;(2)小前提

—所研究的特殊情況;(3)結(jié)論

—根據(jù)一般原理,對特殊情況做出判斷.數(shù)學(xué)的證明主要是通過演繹推理來進(jìn)行的.

例5.

如圖,在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E

是垂足.求證:AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)D,E

的距離相等.ABMEDC思路:(1)證△ADB,△AEB是直角三角形;(2)證(3)證AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)D,E

的距離相等.每一步用三段論的形式證明如下:

例5.

如圖,在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E

是垂足.求證:AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)D,E

的距離相等.ABMEDC證明:(1)有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形,(大前提)AD⊥BC

得∠ADB

是直角,(小前提)所以△ADB

是直角三角形.(結(jié)論)同理證△AEB

是直角三角形.

例5.

如圖,在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E

是垂足.求證:AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)D,E

的距離相等.ABMEDC證明:(大前提)(小前提)所以(論結(jié))(2)因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半.而M

是AB

的中點(diǎn)得DM是直角三角形ADB斜邊AB

上的中線,于是得DM=

EM,即

AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)D,E

的距離相等.同理得三段論可以表示為大前提:M

是P.小前提:S

是M.結(jié)論:S

是P.

我們還可以利用集合知識(shí)說明三段論:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S

是M

的一個(gè)子集,那么S

中所有元素也都具有性質(zhì)P.

在證明過程中,有時(shí)為了敘述的簡潔,如果大前提是顯然的,可以省略.例6.

證明函數(shù)f(x)=-x2+2x

在(-∞,1)內(nèi)是增函數(shù).證明:當(dāng)x

(-∞,1)時(shí)f

(x)>0,則f(x)在(-∞,1)上是增函數(shù).(大前提)因?yàn)閒

(x)=-2x+2,而x<1,得-2x+2>0,即x

(-∞,1)時(shí),f

(x)>0,(小前提)所以

f(x)=-x2+2x

在(-∞,1)內(nèi)是增函數(shù).(結(jié)論)(此證明可以省略大前提)問題5.

如下推理的結(jié)論是否正確?為什么?因?yàn)樗羞呴L都相等的凸多邊形是正多邊形,而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形,所以菱形是正多邊形.(大前提)(小前提)(結(jié)論)推理是標(biāo)準(zhǔn)的三段式,但結(jié)論不正確.問題出在大前提是錯(cuò)誤的.在大小前提有錯(cuò)誤時(shí),結(jié)論就會(huì)有錯(cuò).

演繹推理在大小前提正確的前提下,得到的結(jié)論一定正確.合情推理得到的結(jié)論不一定正確.練習(xí):(課本81頁)第1、2、3題.練習(xí):(課本81頁)

1.

將本小節(jié)開始的演繹推理(2)~(5)寫成三段論的形式.

(2)

太陽系的行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行,天王星是太陽系的行星,因此天王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行;

大前提:

因?yàn)樘栂档男行嵌家詸E圓形軌道繞太陽運(yùn)行的.小前提:

天王星是太陽系的行星.結(jié)論:

天王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行.練習(xí):(課本81頁)

1.

將本小節(jié)開始的演繹推理(2)~(5)寫成三段論的形式.

(3)

一切奇數(shù)都不能被2整除,(2100+1)是奇數(shù),所以(2100+1)不能被2整除;大前提:

因?yàn)橐磺衅鏀?shù)都不能被2整除.小前提:

而(2100+1)是奇數(shù).結(jié)論:

所以(2100+1)不能被2整除.練習(xí):(課本81頁)

1.

將本小節(jié)開始的演繹推理(2)~(5)寫成三段論的形式.

(4)

三角形都是周期函數(shù),tana

是三角函數(shù),因此tana

是周期函數(shù);大前提:

因?yàn)槿切味际侵芷诤瘮?shù).小前提:tana

是三角函數(shù).結(jié)論:

所以tana

是周期函數(shù).練習(xí):(課本81頁)

1.

將本小節(jié)開始的演繹推理(2)~(5)寫成三段論的形式.

(5)

兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).如果∠A

與∠B

是兩條平行線的同旁內(nèi)角,那么∠A+∠B=180.大前提:

兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).小前提:∠A

與∠B

是兩條平行線的同旁內(nèi)角,結(jié)論:

所以∠A+∠B=180.

2.

證明:通項(xiàng)公式為an=cqn(cq0)的數(shù)列{an}是等比數(shù)列.并分析證明過程中的三斷論.證明:=q(q是常數(shù),q0),∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.“在數(shù)列{an}中,如果(q是常數(shù),q0),則{an}是等比數(shù)列.”已省略.=q(q是常數(shù),q0),小前提:∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.結(jié)論:大前提:

3.

如圖,在△ABC中,AC>BC,CD

是AB

邊上的高,求證∠ACD>∠BCD.

證明:在△ABC中,因?yàn)镃D⊥AB,AC>BC,

所以AD>BD,

于是∠ACD>∠BCD.

指出上面證明過程中的錯(cuò)誤.ABCD解:此證明是省略了大前提:“在同一個(gè)三角形中,如果兩邊不等,這兩邊所對的角也不等,大邊所對的角較大.”證明中的錯(cuò)誤在于小前提“在△ABC中,因?yàn)镃D⊥AB,AC>BC,所以AD>BD,”不是在大前提的范圍內(nèi),即AD,BD

不是同一個(gè)三角的兩邊,所以證明錯(cuò)誤.【課時(shí)小結(jié)】1.

演繹推理

從一般性原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,這樣的推理叫演繹推理.三段論是演繹推理的一般模式,包括:(1)大前提

—已知的一般原理;(2)小前提

—所研究的特殊情況;(3)結(jié)論

—根據(jù)一般原理,對特殊情況做出判斷.【課時(shí)小結(jié)】2.

三段論的表示大前提:M

是P.小前提:S

是M.結(jié)論:S