《 備考指南 數(shù)學 》課件-第7章 第4講

數(shù)列第七章第4講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用課標要求考情概覽1．熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式．2．掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法．考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，公式法求和是高考的熱點內(nèi)容，是數(shù)列求和的基礎(chǔ)，小題及解答題經(jīng)常涉及，難度不大；錯位相減法一般出現(xiàn)在解答題的第(2)問，對運算能力要求較高，難度中等；裂項求和法主要在解答題中考查，主要考查裂項的基本方法．學科素養(yǎng)：主要考查邏輯推理、數(shù)學運算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎(chǔ)整合自測糾偏12．數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．(2)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解．(4)倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．【特別提醒】1．直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應(yīng)對其公比是否為1進行討論．2．在應(yīng)用錯位相減法時，注意觀察未合并項的正負號；結(jié)論中形如qn，qn＋1的式子應(yīng)進行合并．3．在應(yīng)用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性．1．(教材改編)數(shù)列{1＋2n－1}的前n項和為 (

)A．1＋2n

B．2＋2nC．n＋2n－1

D．n＋2＋2n【答案】C【答案】C【答案】A4．(2021年湖南聯(lián)考)(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋2－an＝2，n∈N*，則 (

)A．a(chǎn)1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…為等差數(shù)列B．a(chǎn)2－a1，a4－a3，a6－a5，…為常數(shù)列C．a(chǎn)2n－1＝4n－3D．若數(shù)列{bn}滿足bn＝(－1)n·an，則數(shù)列{bn}的前100項和為100【答案】ABD5．(教材改編)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________．【答案】(n－1)2n＋1＋2解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成．(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和．【答案】(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√重難突破能力提升2

(2020年新高考卷)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8．(1)求{an}的通項公式；(2)記bm為{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項的個數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項和S100．分組轉(zhuǎn)化法求和(2)由題設(shè)及(1)知b1＝0，且當2n≤m＜2n＋1時，bm＝n．所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480．2．利用分組轉(zhuǎn)化法求和的3個關(guān)鍵點會“列方程”即會利用方程思想求出等差數(shù)列與等比數(shù)列中的基本量會“用公式”會利用等差(比)數(shù)列的通項公式，求出所求數(shù)列的通項公式會“分組求和”觀察數(shù)列的通項公式的特征，若數(shù)列是由若干個簡單數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列等)組成，則求前n項和時可用分組求和法，把數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列【變式精練】1．(2021年昆明一模)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，已知a1＝b1＝1，b4＝64，q＝2d．(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)記cn＝a2n－1＋b2n，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．解：(1)因為b4＝64，所以b1q3＝64，又b1＝1，所以q＝4．又q＝2d，所以d＝2．因為a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝4n－1．示通法若數(shù)列的通項可轉(zhuǎn)化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項求和的方法．使用裂項法，要注意正負相消時，消去了哪些項，保留了哪些項．由于數(shù)列{an}中每一項an均裂成一正一負兩項，所以互為相反數(shù)的項合并為零后，所剩正數(shù)項與負數(shù)項的項數(shù)必是一樣多．裂項相消法求和【答案】C

(1)解：由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正項數(shù)列，所以Sn＞0，Sn＋1＞0，得Sn＝n2＋n．于是a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，當n＝1時，也滿足a1＝2×1．綜上，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n．【解題技巧】裂項相消法求數(shù)列{an}的前n項和裂項相消法求和的實質(zhì)是先將數(shù)列中的通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準確裂項和消項．(1)基本步驟(2)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．(3)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．錯位相減法求和【解題技巧】錯位相減法求數(shù)列{an}的前n項和(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn；(2)基本步驟(3)注意事項：①在寫出Sn與qSn的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．【變式精練】3．(2020年Ⅰ卷)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項和．解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題意得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2．所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2．故{an}的公比為－2．素養(yǎng)微專直擊高考3有關(guān)數(shù)列奇偶項的問題是高考中經(jīng)常涉及的問題，解決此類問題的難點在于搞清數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的首項、項數(shù)、公差(比)等．如何解決此類問題呢？下面從兩方面講起．運算求解能力——奇偶項求和的痛點思維卡殼點看到繁雜