2024年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2024年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學試卷一、選擇題（每小題給出的選項中只有一個符合題意，請將符合題意的選項序號，在答題卡的對應位置上按要求涂黑．每小題3分，共42分）1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）央視新聞2024年5月31日報道，世界最大清潔能源走廊今年一季度累計發(fā)電超52000000000度，為我國經(jīng)濟社會綠色發(fā)展提供了強勁動能．將數(shù)據(jù)52000000000用科學記數(shù)法表示為（）A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×10﹣9 D．5.2×10103．（3分）將一副三角尺（厚度不計）按如圖所示擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則圖中∠1的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．120°4．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a65．（3分）在數(shù)據(jù)收集、整理、描述的過程中，下列說法錯誤的是（）A．為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進行檢測，此次抽樣的樣本容量是50 B．了解某校一個班級學生的身高情況，適合全面調(diào)查 C．了解商場的平均日營業(yè)額，選在周末進行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性 D．甲、乙二人10次測試的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，則發(fā)揮穩(wěn)定的是甲6．（3分）解不等式組時，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，是正n邊形紙片的一部分，其中l(wèi)，m是正n邊形兩條邊的一部分，若l，m所在的直線相交形成的銳角為60°，則n的值是（）A．5 B．6 C．8 D．108．（3分）某市為了解初中學生的視力情況，隨機抽取200名初中學生進行調(diào)查，整理樣本數(shù)據(jù)如表．根據(jù)抽樣調(diào)查結果，估計該市16000名初中學生中，視力不低于4.8的人數(shù)是（）視力4.7以下4.74.84.94.9以上人數(shù)3941334047A．120 B．200 C．6960 D．96009．（3分）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2﹣10x+21＝0的兩個根，則這個三角形的周長為（）A．17或13 B．13或21 C．17 D．1310．（3分）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點E，∠BOC＝42°，則∠OED的度數(shù)是（）A．61° B．63° C．65° D．67°11．（3分）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（）A． B． C． D．12．（3分）如圖，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點B′與點B是對應點，點C′與點C是對應點．若點C′恰好落在BC邊上，下列結論：①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是π；②B′A∥BC；③BD＝CD；④．其中正確的結論是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④13．（3分）數(shù)軸上點A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，那么下列運算結果一定是正數(shù)的是（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)﹣b C．a(chǎn)b D．|a|﹣b14．（3分）如圖，正方形ABCD的頂點A，C在拋物線y＝﹣x2+4上，點D在y軸上．若A，C兩點的橫坐標分別為m，n（m＞n＞0），下列結論正確的是（）A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1二、填空題（請把答案填寫在答題卡對應的橫線上．每小題3分，共12分）15．（3分）寫出一個比小的整數(shù)．16．（3分）因式分解：3ax2﹣3a＝．17．（3分）綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹AB的高度．如圖，點C處與古樹底部A處在同一水平面上，且AC＝10米，無人機從C處豎直上升到達D處，測得古樹頂部B的俯角為45°，古樹底部A的俯角為65°，則古樹AB的高度約為米（結果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）．18．（3分）編號為A，B，C，D，E的五臺收割機，若同時啟動其中兩臺收割機，收割面積相同的田地所需時間如表：收割機編號A，BB，CC，DD，EA，E所需時間（小時）2319202218則收割最快的一臺收割機編號是．三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無效，解答時要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．共8題，滿分96分）19．（12分）（1）計算：（π+1）0+2sin60°+|2|；（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代數(shù)式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．20．（10分）如圖，在△ABC中，D是AB中點．（1）求作：AC的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若l交AC于點E，連接DE并延長至點F，使EF＝2DE，連接BE，CF．補全圖形，并證明四邊形BCFE是平行四邊形．21．（10分）某校田徑隊為了調(diào)動隊員體育訓練的積極性，計劃根據(jù)成績情況對隊員進行獎勵．為確定一個適當?shù)某煽兡繕?，進行了體育成績測試，統(tǒng)計了每個隊員的成績，數(shù)據(jù)如下：收集數(shù)據(jù)777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述數(shù)據(jù)成績/分72747576777879808284858791人數(shù)/人11a433b111314分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)80c78解決問題：（1）表格中的a＝；b＝；c＝；（2）分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，你認為成績目標應定為分，如果想確定一個較高的成績目標，這個成績目標應定為分；（3）學校要從91分的A，B，C，D四名隊員中，隨機抽取兩名隊員去市里參加系統(tǒng)培訓．請利用畫樹狀圖法或列表法，求A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率．22．（12分）一段高速公路需要修復，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等．（1）求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？23．（12分）在平面直角坐標系中，對于點M（x1，y1），給出如下定義：當點N（x2，y2），滿足x1+x2＝y(tǒng)1+y2時，稱點N是點M的等和點．（1）已知點M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是點M等和點的有；（2）若點M（3，﹣2）的等和點N在直線y＝x+b上，求b的值；（3）已知，雙曲線y1和直線y2＝x﹣2，滿足y1＜y2的x取值范圍是x＞4或﹣2＜x＜0．若點P在雙曲線y1上，點P的等和點Q在直線y2＝x﹣2上，求點P的坐標．24．（12分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O經(jīng)過B，C兩點，與斜邊AB交于點E，連接CO并延長交AB于點M，交⊙O于點D，過點E作EF∥CD，交AC于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BM＝4，tan∠BCD，求OM的長．25．（14分）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設計了以下三個問題，請你解決．（1）如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道ACB所在拋物線的解析式為；（2）如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離OE＝12米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離DE不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關于點B成中心對稱．①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架MN，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架BM．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與BM平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架MN上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結果保留根號）．26．（14分）數(shù)學課上，老師給出以下條件，請同學們經(jīng)過小組討論，提出探究問題．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D是AC上的一個動點，過點D作DE⊥BC于點E，延長ED交BA延長線于點F．請你解決下面各組提出的問題：（1）求證：AD＝AF；（2）探究與的關系；某小組探究發(fā)現(xiàn)，當時，；當時，．請你繼續(xù)探究：①當時，直接寫出的值；②當時，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；（3）拓展應用：在圖1中，過點F作FP⊥AC，垂足為點P，連接CF，得到圖2，當點D運動到使∠ACF＝∠ACB時，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．

2024年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題給出的選項中只有一個符合題意，請將符合題意的選項序號，在答題卡的對應位置上按要求涂黑．每小題3分，共42分）1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：A．2．（3分）央視新聞2024年5月31日報道，世界最大清潔能源走廊今年一季度累計發(fā)電超52000000000度，為我國經(jīng)濟社會綠色發(fā)展提供了強勁動能．將數(shù)據(jù)52000000000用科學記數(shù)法表示為（）A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×10﹣9 D．5.2×1010【答案】D【解答】解：52000000000＝5.2×1010．故選：D．3．（3分）將一副三角尺（厚度不計）按如圖所示擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則圖中∠1的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．120°【答案】B【解答】解：由題意得：BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°，∴∠BCD＝∠EDF＝30°，∵∠BCD+∠ACB+∠ACE＝180°，∴30°+45°+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝105°，∴∠1＝105°，故選：B．4．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6【答案】D【解答】解：A、a2與a3不能合并，故A不符合題意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合題意；C、a6÷a3＝a3，故C不符合題意；D、（a3）2＝a6，故D符合題意；故選：D．5．（3分）在數(shù)據(jù)收集、整理、描述的過程中，下列說法錯誤的是（）A．為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進行檢測，此次抽樣的樣本容量是50 B．了解某校一個班級學生的身高情況，適合全面調(diào)查 C．了解商場的平均日營業(yè)額，選在周末進行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性 D．甲、乙二人10次測試的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，則發(fā)揮穩(wěn)定的是甲【答案】D【解答】解：A、為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進行檢測，此次抽樣的樣本容量是50，故A不符合題意；B、了解某校一個班級學生的身高情況，適合全面調(diào)查，故B不符合題意；C、了解商場的平均日營業(yè)額，選在周末進行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性，故C不符合題意；D、甲、乙二人10次測試的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，因為2.3＜2.5，所以發(fā)揮穩(wěn)定的是乙，故D符合題意；故選：D．6．（3分）解不等式組時，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：，解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x≥﹣3，將兩個不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：故選：C．7．（3分）如圖，是正n邊形紙片的一部分，其中l(wèi)，m是正n邊形兩條邊的一部分，若l，m所在的直線相交形成的銳角為60°，則n的值是（）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解答】解：如圖，直線l、m相交于點A，則∠A＝60°，∵正多邊形的每個內(nèi)角相等，∴正多邊形的每個外角也相等，∠1＝∠260°，∴n6．故選：B．8．（3分）某市為了解初中學生的視力情況，隨機抽取200名初中學生進行調(diào)查，整理樣本數(shù)據(jù)如表．根據(jù)抽樣調(diào)查結果，估計該市16000名初中學生中，視力不低于4.8的人數(shù)是（）視力4.7以下4.74.84.94.9以上人數(shù)3941334047A．120 B．200 C．6960 D．9600【答案】D【解答】解：估計該市16000名初中學生視力不低于4.8的人數(shù)為160009600（名），故選：D．9．（3分）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2﹣10x+21＝0的兩個根，則這個三角形的周長為（）A．17或13 B．13或21 C．17 D．13【答案】C【解答】解：x2﹣10x+21＝0，（x﹣3）（x﹣7）＝0，解得x1＝3，x2＝7，當?shù)妊切蔚倪呴L是3、3、7時，3+3＜7，不符合三角形的三邊關系，應舍去；當?shù)妊切蔚倪呴L是7、7、3時，這個三角形的周長是7+7+3＝17．故選：C．10．（3分）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點E，∠BOC＝42°，則∠OED的度數(shù)是（）A．61° B．63° C．65° D．67°【答案】B【解答】解：∵半徑OC⊥AB，∴，∴∠AOC＝∠BOC＝42°，∴∠D∠AOC＝21°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠D＝21°，∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．故選：B．11．（3分）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板，用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板，且現(xiàn)在需要58塊C型鋼板，∴3x+5y＝58；∵用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板，用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板，且現(xiàn)在需要40塊D型鋼板，∴4x+2y＝40．∴根據(jù)題意可列方程組．故選：C．12．（3分）如圖，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點B′與點B是對應點，點C′與點C是對應點．若點C′恰好落在BC邊上，下列結論：①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是π；②B′A∥BC；③BD＝CD；④．其中正確的結論是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④【答案】A【解答】解：∵AB＝BC，∠C＝72°，∴∠BAC＝∠C＝72°，∠ABC＝180°﹣2∠C＝36°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AB′C＝∠ABC＝36°，∠B'AC'＝∠BAC＝72°，∠AC′B′＝∠C＝72°，∠AC′B′＝∠ADC＝72°，AC′＝AC，∴∠AC′C＝∠C＝72°，∴∠CAC'＝36°，∴∠CAC′＝∠BAC′＝36°，∴∠B′AB＝72°﹣36°＝36°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB′＝AB，∴，①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是，①說法正確；②∵∠B′AB＝∠ABC＝36°，∴B′A∥BC，②說法正確；③∵∠DC′B＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠DC′B＝∠ABC＝36°，∴BD＝C′D，③說法正確；④∵∠BB′D＝∠ABC＝36°，∠B′BD＝∠BAC＝72°，∴△B′BD∽△BAC，∴，④說法正確；綜上，①②③④都是正確的，故選：A．13．（3分）數(shù)軸上點A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，那么下列運算結果一定是正數(shù)的是（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)﹣b C．a(chǎn)b D．|a|﹣b【答案】A【解答】解：數(shù)軸上點A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，AM＝a+b﹣a＝b，原點在A，M之間，由它們的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，則a﹣b＜0，ab＜0，|a|﹣b＜0，故運算結果一定是正數(shù)的是a+b．故選：A．14．（3分）如圖，正方形ABCD的頂點A，C在拋物線y＝﹣x2+4上，點D在y軸上．若A，C兩點的橫坐標分別為m，n（m＞n＞0），下列結論正確的是（）A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1【答案】B【解答】解：分別過點A和點C作y軸的垂線，垂足分別為M和N，將A，C兩點的橫坐標代入函數(shù)解析式得，點A坐標為（m，﹣m2+4），點C坐標為（n，﹣n2+4），所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4．因為四邊形ABCD是正方形，所以AD＝CD，∠ADC＝90°，所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°，所以∠CDN＝∠DAM．在△CDN和△DAM中，，所以△CDN≌△DAM（AAS），所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m，所以MN＝DM+DN＝m+n，又因為MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2，所以m2﹣n2＝m+n，即（m+n）（m﹣n）＝m+n，因為m＞n＞0，所以m+n≠0，所以m﹣n＝1．故選：B．二、填空題（請把答案填寫在答題卡對應的橫線上．每小題3分，共12分）15．（3分）寫出一個比小的整數(shù)2（答案不唯一）．【答案】2（答案不唯一）．【解答】解：由于，即23，∴比小的整數(shù)可以是2，1，0，﹣1，﹣2……故答案為：2（答案不唯一）．16．（3分）因式分解：3ax2﹣3a＝3a（x+1）（x﹣1）．【答案】3a（x+1）（x﹣1）．【解答】解：3ax2﹣3a＝3a（x2﹣1）＝3a（x+1）（x﹣1），故答案為：3a（x+1）（x﹣1）．17．（3分）綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹AB的高度．如圖，點C處與古樹底部A處在同一水平面上，且AC＝10米，無人機從C處豎直上升到達D處，測得古樹頂部B的俯角為45°，古樹底部A的俯角為65°，則古樹AB的高度約為11.5米（結果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）．【答案】11.5．【解答】解：由題意，知DM∥AC，DC⊥AC，∠MDA＝65°，∠MDB＝45°．過點B作BE⊥DC，垂足為E．∵BE⊥CD，BA⊥AC，DC⊥AC，∴∠C＝∠BEA＝∠CAB＝90°．∴四邊形CABE是矩形．∴BE＝AC＝10米，CE＝AB．∵DM∥AC∥BE，∴∠MDB＝∠EBD＝45°，∠MDA＝∠DAC＝65°．在Rt△ACD中，∵tan∠DAC，∴DC＝tan∠DAC?AC＝tan65°×10≈2.145×10＝21.45（米）．在Rt△DBE中，∵tan∠DBE，∴DE＝tan∠DBE?AC＝tan45°×10＝1×10＝10（米）．∴AB＝DC﹣DE＝21.45﹣10＝11.45≈11.5（米）．故答案為：11.5．18．（3分）編號為A，B，C，D，E的五臺收割機，若同時啟動其中兩臺收割機，收割面積相同的田地所需時間如表：收割機編號A，BB，CC，DD，EA，E所需時間（小時）2319202218則收割最快的一臺收割機編號是C．【答案】C．【解答】解：∵A，B所需時間為23小時，B，C所需時間為19小時，∴C比A快4小時；∵B，C所需時間為19小時，C，D所需時間為20小時，∴B比D快1小時；∵C，D所需時間為20小時，D，E所需時間為22小時，∴C比E快2小時；∵D，E所需時間為22小時，A，E所需時間為18小時，∴A比D快4小時；如圖所示：∴C＞E＞A＞B＞D，∴收割最快的一臺收割機編號是C．故選：C．三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無效，解答時要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．共8題，滿分96分）19．（12分）（1）計算：（π+1）0+2sin60°+|2|；（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代數(shù)式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．【答案】（1）6；（2）2a2﹣2a+1，原式＝7．【解答】解：（1）（π+1）0+2sin60°+|2|＝3+1+22＝3+12＝6；（2）（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）＝a2﹣4a+4+a2+3a﹣a﹣3＝2a2﹣2a+1，∵a2﹣a﹣3＝0，∴a2﹣a＝3，當a2﹣a＝3時，原式＝2（a2﹣a）+1＝2×3+1＝6+1＝7．20．（10分）如圖，在△ABC中，D是AB中點．（1）求作：AC的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若l交AC于點E，連接DE并延長至點F，使EF＝2DE，連接BE，CF．補全圖形，并證明四邊形BCFE是平行四邊形．【答案】見解析．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：由作圖可知AE＝EC，∵AD＝DB，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝2DE，∴EF＝BC，∵EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．21．（10分）某校田徑隊為了調(diào)動隊員體育訓練的積極性，計劃根據(jù)成績情況對隊員進行獎勵．為確定一個適當?shù)某煽兡繕?，進行了體育成績測試，統(tǒng)計了每個隊員的成績，數(shù)據(jù)如下：收集數(shù)據(jù)777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述數(shù)據(jù)成績/分72747576777879808284858791人數(shù)/人11a433b111314分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)80c78解決問題：（1）表格中的a＝5；b＝2；c＝75；（2）分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，你認為成績目標應定為78分，如果想確定一個較高的成績目標，這個成績目標應定為80分；（3）學校要從91分的A，B，C，D四名隊員中，隨機抽取兩名隊員去市里參加系統(tǒng)培訓．請利用畫樹狀圖法或列表法，求A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率．【答案】（1）5；2；75．（2）78；80．（3）．【解答】解：（1）由題意得，a＝5，b＝2，c＝75．故答案為：5；2；75．（2）∵樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為78，∴如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，成績目標應定為78分．∵平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個數(shù)據(jù)中，平均數(shù)最大，為80，∴如果想確定一個較高的成績目標，這個成績目標應定為80分．故答案為：78；80．（3）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能的結果，其中A，B兩名隊員恰好同時被選中的結果有：（A，B），（B，A），共2種，∴A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率為．22．（12分）一段高速公路需要修復，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等．（1）求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？【答案】（1）甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；（2）15天的工期，兩隊最多能修復公路105千米．【解答】解：（1）由題意，設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路（x+3）千米，則，∴x＝6．經(jīng)檢驗，x＝6是原方程的解．∴x+3＝9．答：甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米．（2）設甲隊工作時間為m天，則乙隊的工作時間為（15﹣m）天，15天的工期，兩隊能修復公路w千米，由題意得，w＝6m+9（15﹣m）＝﹣3m+135．又m≥2（15﹣m），∴m≥10．又﹣3＜0，∴w隨x的增大而減小．∴當m＝10時，w有最大值，最大值為w＝﹣3×10+135＝105．答：15天的工期，兩隊最多能修復公路105千米．23．（12分）在平面直角坐標系中，對于點M（x1，y1），給出如下定義：當點N（x2，y2），滿足x1+x2＝y(tǒng)1+y2時，稱點N是點M的等和點．（1）已知點M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是點M等和點的有N1（4，2），N3（0，﹣2）；（2）若點M（3，﹣2）的等和點N在直線y＝x+b上，求b的值；（3）已知，雙曲線y1和直線y2＝x﹣2，滿足y1＜y2的x取值范圍是x＞4或﹣2＜x＜0．若點P在雙曲線y1上，點P的等和點Q在直線y2＝x﹣2上，求點P的坐標．【答案】（1）N1（4，2），N3（0，﹣2）；（2）b＝5；（3）（﹣4，﹣2）或（2，4）．【解答】解：（1）由M（1，3），N1（4，2）得，∴x1+x2＝y(tǒng)1+y2＝5．∴點N1（4，2）是點M的等和點．由M（1，3），N2（3，﹣1）得，x1+x2＝4，y1+y2＝2，∴x1+x2≠y1+y2．∴N2（3，﹣1）不是點M的等和點．由M（1，3），N3（0，﹣2）得，∴x1+x2＝y(tǒng)1+y2＝1．∴點N3（0，﹣2）是點M的等和點．故答案為：N1（4，2），N3（0，﹣2）．（2）由題意，設點N的橫坐標為a，∵點N是點M（3，﹣2）的等和點，∴點N的縱坐標為3+a﹣（﹣2）＝a+5．∴點N的坐標為（a，a+5）．又∵點N在直線y＝x+b上，∴a+5＝a+b．∴b＝5．（3）由題意得，k＞0，雙曲線分布在第一、第三象限．設直線與雙曲線的交點分別為點A、B，如圖，由y1＜y2的x取值范圍是x＞4或﹣2＜x＜0，∴A的橫坐標為4，B的橫坐標為﹣2．把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，∴A（4，2）．把A（4，2）代入y1得，2．∴k＝8．∴反比例函數(shù)的解析式為y．設P（m，），點Q的橫坐標為n，∵點Q是點P的等和點，∴點Q的縱坐標為m+n．∴Q（n，m+n）．∵點Q在直線y2＝x﹣2上，∴m+nn﹣2．∴m2＝0．∴m＝﹣4或m＝2．經(jīng)檢驗，m＝﹣4，m＝2是方程m2＝0的解．∴點P的坐標為（﹣4，﹣2）或（2，4）．24．（12分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O經(jīng)過B，C兩點，與斜邊AB交于點E，連接CO并延長交AB于點M，交⊙O于點D，過點E作EF∥CD，交AC于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BM＝4，tan∠BCD，求OM的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解答】（1）證明：連接OE，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴∠COE＝2∠ABC＝90°，∵EF∥CD，∴∠COE+∠OEF＝180°，∴∠FEO＝90°，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：過M作MH⊥BC于H，則△BMH是等腰直角三角形，∵BM＝4，∴BH＝MHBM＝4，在Rt△CHM中，∵tan∠BCD，∴CH＝2MH＝8，∴CM4，CB＝CH+BH＝12，連接BD，∵CD是⊙O的直徑，∵BD⊥BC，∴MH∥BD，∴，∴，∴DM＝2，∴OD3，∴OM＝OD﹣DM．25．（14分）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設計了以下三個問題，請你解決．（1）如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道ACB所在拋物線的解析式為y（x+3）2；（2）如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離OE＝12米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離DE不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關于點B成中心對稱．①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架MN，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架BM．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與BM平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架MN上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結果保留根號）．【答案】（1）y（x+3）2；（2）①此人騰空后的最大高度為米；拋物線BD的解析式y(tǒng)（x﹣3）2；②落點D在安全范圍內(nèi)，理由見解析；（3）這條鋼架的長度為2米．【解答】解：（1