2024秋高中數(shù)學第二章基本初等函數(shù)Ⅰ2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算練習含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE12.2.1對數(shù)與對數(shù)運算A級基礎鞏固一、選擇題1．在b＝log(a－2)(5－a)中，實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)>5或a<2 B．2<a<3或3<a<5C．2<a<5 D．3<a<4解析：由對數(shù)的定義知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－a>0，,a－2>0，,a－2≠1，,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<5，,a>2，,a≠3，))所以2<a<3或3<a<5.答案：B2．方程2log3x＝eq\f(1,4)的解是()A．x＝eq\f(1,9) B．x＝eq\f(\r(3),3) C．x＝eq\r(3) D．x＝9解析：因為2log3x＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝eq\f(1,9).答案：A3．log3eq\f(9,100)＋2log310＝()A．0 B．1 C．2 D．3解析：原式＝log3eq\f(9,100)＋log3100＝log39＝2.答案：C4．若xlog34＝1，則4x＋4－x的值為()A.eq\f(8,3) B.eq\f(10,3) C．2 D．1解析：由xlog34＝1得x＝log43，所以4x＋4－x＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).答案：B5．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的兩個實根，則lg(ab)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝()A．2 B．4 C．6 D．8解析：由已知，得lga＋lgb＝2，即lg(ab)＝2.又lga·lgb＝eq\f(1,2)，所以lg(ab)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝2(lga－lgb)2＝2[(lga＋lgb)2－4lga·lgb]＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22－4×\f(1,2)))＝2×2＝4.答案：B二、填空題6．已知m>0，且10x＝lg(10m)＋lgeq\f(1,m)，則x＝________．解析：因為lg(10m)＋lgeq\f(1,m)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10m·\f(1,m)))＝lg10＝1，所以10x＝1，得x＝0.答案：07．若f(x)＝ax－eq\f(1,2)且f(lga)＝eq\r(10)，則a＝________．解析：f(lga)＝alga－eq\f(1,2)＝eq\f(alga,\r(a))＝eq\r(10)，所以alga＝(10a)eq\s\up6(\f(1,2))，兩邊取對數(shù)，得(lga)2＝eq\f(1,2)(1＋lga)，所以2(lga)2－lga－1＝0，解得lga＝1或lga＝－eq\f(1,2)，則a＝10或a＝eq\f(\r(10),10).答案：10或eq\f(\r(10),10)8．(教材習題改編)已知3m＝4n＝12，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝________．解析：由3m＝4n＝12可知m＝log312，n＝log412，故eq\f(1,m)＝log123，eq\f(1,n)＝log124，從而eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝log123＋log124＝log1212＝1.答案：1三、解答題9．計算下列各式的值：(1)log3(81eq\r(3))；(2)eq\f(2lg（lga100）,2＋lg（lga）)；(3)log6eq\f(1,12)－2log63＋eq\f(1,3)log627；(4)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64；(5)31＋log36－24＋log23＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq\s\up12(log34－1)－log(2＋eq\r(3))(7－4eq\r(3))．解：(1)原式＝log381＋log3eq\r(3)＝log334＋log33eq\s\up6(\f(1,2))＝4＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,2).(2)原式＝eq\f(2lg（100lga）,2＋lg（lga）)＝eq\f(2[lg100＋lg（lga）],2＋lg（lga）)＝eq\f(2[2＋lg（lga）],2＋lg（lga）)＝2.(3)方法一原式＝－log6(22×3)－2log63＋eq\f(1,3)log633＝－(log622＋log63)－2log63＋log63＝－(2log62＋log63)－2log63＋log63＝－2(log62＋log63)＝－2log6(2×3)＝－2.方法二原式＝log6eq\f(1,12)－log632＋log627eq\s\up6(\f(1,3))＝log6eq\f(3,12×9)＝log6eq\f(1,36)＝log66－2＝－2.(4)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(32×2)]÷log64＝[(log62)2＋log62·(2log63＋log62)]÷log64＝[(log62)2＋2log62·log63＋(log62)2]÷log64＝2log62·(log62＋log63)÷log64＝2log62÷log64＝log64÷log64＝1.(5)原式＝3×3log36－24×2log23＋10lg33＋(3－2)log34－1－log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))2＝3×6－16×3＋27＋3－2log34＋2－2log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝－3＋32×(3log34)－2－2log(2＋eq\r(3))eq\f(1,2＋\r(3))＝－3＋9×4－2＋2＝－1＋eq\f(9,16)＝－eq\f(7,16).10．已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\r(2)eq\f(x,y)的值．解：由lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，得lg(xy)＝lg(x－2y)2，從而有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＝（x－2y）2，①,x＞0，②,y＞0，③,x－2y＞0，④))由①得x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0.由②③④知x－y＞0，故x－4y＝0，即eq\f(x,y)＝4.所以logeq\r(2)eq\f(x,y)＝logeq\r(2)4＝logeq\r(2)(eq\r(2))4＝4.B級實力提升1．已知ab>0，給出下面四個等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝lgeq\f(a,b)；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10).其中正確的個數(shù)為()A．0 B．1 C．2 D．3解析：當a<0，b<0時，lg(ab)＝lg(－a)＋lg(－b)，lgeq\f(a,b)＝lg(－a)－lg(－b)，故①②錯；ab>0時，eq\f(a,b)>0，eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＝lgeq\f(a,b)，③正確；當ab＝1時，④錯誤．因此只有一個正確．答案：B2．設loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為________．解析：因為loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，所以a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.答案：123．已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值．解：方法一因為log189＝a，18b＝5，所以log185＝b.于是log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（9×5）,log18（18×2）)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).方法二因為log189＝a，18b＝5，所以log185＝b.于是log3645＝eq\f(log18（9×5）,log18\f(182,9))＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\