高二數(shù)學人教A版2019選擇性講義第9講圓的方程

第9講圓的方程

考點分析

考點一：圓的定義：在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓

考點二：圓的標準方程

設圓心的坐標C(a,6),半徑為r,則圓的標準方程為：(x-a)2+(y-fe)2=r2

考點三：圓的一般方程

圓的一般方程為x2+y2+0x+或+尸=(),圓心坐標：(—2,一與,半徑：r=-ylD2+E2-4F

222

注意：①的系數(shù)相同，方程中無犯項

②對于力、E、F的取值要求：D2+E2-4F>0

當加+￡一4尸=0時，方程只有實數(shù)解x=—=D，yE=—它表示一個點(一D三，一：E)

2222

當。?+片-4/<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形.

'4=C*0

③二元二次方程Ar'+firy+Cy+反+4+尸=(),表示圓的充要條件是，8=0

D2+E2-4A尸>0

考點四：以A(3,y),B?,必)為直徑端點的圓的方程為(x-x)(x-w)+(y-y)(y-y2)=0

考點五：阿波羅尼斯圓

IpaI

設4,8為平面上相異兩定點，且|AB|=2a(a>0),尸為平面上異于4,8—動點且扁=/1(彳>0且；1*1)

則P點軌跡為圓；特別的當2=1,P軌跡為4?中垂線；

題型目錄

題型一：圓的標準方程

題型二：圓的一般方程

題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)

題型四：阿波羅尼斯圓(阿氏圓)

題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問題

典型例題

題型一：圓的標準方程

【例1】(浙江高二期末)圓1)2+丁=3的圓心坐標和半徑分別是()

A.(-1,0),3B.(1,0),3

C.(-1,0),73D.(1,0),73

【答案】D

【解析】根據(jù)圓的標準方程可得，(x-l『+y2=3的圓心坐標為(1,0),半徑為行，故選：D.

【例2】(2022?貴州?高二學業(yè)考試)圓心在坐標原點，半徑為2的圓的標準方程是()

A.x2+y2=lB.x2+y2=4

C.(x+l)2+(y+l)2=3D.(x+l)2+(y+l)2=6

【答案】B

【分析】直接寫出標準方程，即可得到答案.

【詳解】圓心在坐標原點，半徑為2的圓的標準方程為d+y2=4.

故選：B

【例3】(2020?北京十五中高二期中)經(jīng)過三個點A(0,0),B(2Q,0),C(0,-2)的圓的方程為()

A.1-可+(y+lp=2B.(x->/3)2+(y-l)2=2

C.(x-G)+(y+l)~=4D.(x-6)+(y-l)2=4

【答案】C

【分析】根據(jù)三點在坐標系的位置，確定出aABC是直角三角形，其中是斜邊，則有過三點的圓的半徑

為8c的一半，圓心坐標為BC的中點，進而根據(jù)圓的標準方程求解.

【詳解】由已知得，A(0,0),B(26,0),C(0,-2)分別在原點、x軸、一軸上,

ABLAC,

???經(jīng)過三點圓的半徑為r==gj(2石-0丫+(0+2)2=2,

圓心坐標為8c的中點(2年2,9)，Bp(^-l),

；?圓的標準方程為1-百)2+(y+l『=4.

故選：C.

【例4】(2023?全國?高三專題練習)已知圓(x+l)?+(y+2)2=4關于直線or+外+1=0(a>0,b>0)對

12

稱，則上+3的最小值為()

ab

A.-B.9C.4D.8

2

【答案】B

【分析】由題可得。+?=1(。>(),%>()),然后利用基本不等式即得.

【詳解】圓(x+lY+(y+2)2=4的圓心為(―1,一2),依題意，點(—1,—2)在直線6+切+1=0上，

因止匕一。一2Z?+1=0,即?=,

,12f12\7、=2b2d-.12b2a八

ab\ab)abyab

當且僅當絲=孕，即0=6=1時取“=”，

ab3

所以11?的最小值為9.

ab

故選：B.

【例5】(2022.北京.高考真題)若直線2x+y-1=0是圓(x-〃)2+y2=i的一條對稱軸，則〃=()

A.；B.—C.1D.—1

22

【答案】A

【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解.

【詳解】由題可知圓心為(。,0),因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即2a+()-l=0,解得a=g.

故選：A.

【例6X2022?全國?高二專題練習)過點A(l,l),B(-3,5),且圓心在直線2x+y+2=0上的圓的方程為

【答案】(x+2)2+(y-2)2=10

【分析】設圓的標準方程為(x-a)2+(y-0)2=/,根據(jù)題意列出方程組，求得。力/的值，即可求解.

【詳解】設圓的標準方程為(x-"+(y-B)三產(chǎn),

因為圓過點41』),8(-3,5),且圓心在直線2x+y+2=0上，

(l-tz)2+(1-/>)2=/

則有，(-3-a)-+(5-。)一=/,解得a=—2,b=2,/■=V10,

2a+b+2=0

所以所求圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=10.

故答案為：(x+2)2+(y-2)2=10.

【例7】(2021.福建寧德?高二期中)蘇州有很多圓拱的懸索拱橋(如寒山橋)，經(jīng)測得某圓拱索橋(如圖)

的跨度|AB|=100米，拱高10pl=10米，在建造圓拱橋時每隔5米需用一根支柱支撐，則與OP相距30米的支

柱MN的高度是()米.(注意：710-3.162)

A.B.C.D.

【答案】A

［解析】以0為原點，以AB所在直線為*軸，以OP所在直線為y軸建立平面直角坐標系.

2(10-a)'=r2

可設圓拱所在圓的方程為—。)2=產(chǎn),由題意可得：/

(-50)~+/=/

解得：6Z=-120,r2=16900.

所以所求圓的方程為/+()，+120)2=16900.

將x=-30代入圓方程，得：900+(y+120『=16900,

因為y>0,所以。=40函-120a40x3.162-120=6.48.

故選：A.

【題型專練】

1.(2022?廣西?高二學業(yè)考試)已知圓的方程為/+產(chǎn)=4,那么這個圓的面積等于()

A.2B.3C.兀D.4兀

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的半徑求得圓的面積.

【詳解】圓/+尸=4的半徑為2,所以面積為仆22=4兀.

故選:D

2.（2022?全國?高三專題練習（文））已知圓（x+iy+（y+2）2=4關于直線or+勿+2=0（“＞0,。＞0）對稱，則

工1+■2的最小值為（）

ab

A.-B.-C.4D.8

22

【答案】B

【分析】求出圓心坐標，進而求出。，〃的關系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.

【詳解】圓（x+l）2+（y+2）2=4的圓心為（一1,—2）,依題意，點（—L—2）在直線ar+by+2=O上，

因止匕一。一4+2=0,即“+?=2（。＞0,6＞0）,

12112、/12h2a、、ly.12b2”、9,...2b2a,2…，，

一+—=—（一+—）（〃+2b）=—（5+—+—）＞—（5+2./---------）=—,當lz且僅n當一=—,即rllI〃=/?=一時=,

ab2ab2ab2\ab2ab3

所以±1+?［的最小值為9

ab2

故選：B

3.（2022?江蘇?高二）圓（x-2y+y2=5,則（）

A.關于點（2,0）對稱B.關于直線y=0對稱

C.關于直線x+3y—2=0對稱D.關于直線x-y+2=0對稱

【答案】ABC

【分析】由圓的方程可確定圓心，由圓心位置和直線是否過圓心可確定各個選項的正誤.

【詳解】對于A,由圓的方程知其圓心為（2,0）,則圓關于點（2,0）對稱，A正確；

對于B,由A知其圓心在“軸上，則圓關于了軸對稱，即關于y=。對稱，B正確；

對于C,x+3y—2=0過圓心（2,0）,.,?圓關于直線x+3y-2=0對稱，C正確；

對于D,x-y+2=0不過圓心（2,0）,.?.圓不關于直線x-y+2=0對稱，D錯誤.

故選：ABC.

4.（2022?上海市第三女子中學高二期末）圓（》+2），（丫-1）2=5關于直線了-,=0對稱的圓的方程為.

【答案】(x-l)?+(y+2)2=5

【分析】先求圓心關于直線x-y=O的對稱點，半徑不變，可得圓的方程.

【詳解】圓(x+2)2+(y—l)2=5的圓心為(一2,1),半徑為石；

圓心(-2,1)關于直線x—y=0對稱的點為(1,一2),

所以所求圓的方程為(x—l)?+(y+2)2=5.

故答案為:(x-l)2+(y+2)2=5.

5.(2022?全國?高考真題(文))設點M在直線2x+y-l=0上，點(3,0)和(0,1)均在M上,則M的方程

為.

【答案】(x-l)2+(y+l)2=5

【分析】設出點M的坐標，利用(3,0)和(0,1)均在0M上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.

【詳解】解：???點M在直線2x+y-l=0上，

，設點M為31-2a),乂因為點(3,0)和(0,1)均在二M上，

.?.點M到兩點的距離相等且為半徑R,

J(a-3.+(1-2.)2=y］a2+(-2a)2=R,

“2-6。+9+4。2-4。+1=5。2,解得a=l,

R=5

M的方程為(x-lf+(y+l)2=5.

故答案為:(x-l)2+(y+l)2=5

6.(新疆烏蘇市第一中學)過點A(l,-1),8(—1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程

［答案］(x_l)2+(y_l『二4

【解析】因為過點所以線段4B的中點坐標為(0,0),須8=［上"=一1，

-1—1

所以線段A8的中垂線的斜率為攵=1,所以線段A8的中垂線的方程為丁=龍，

x+y-2=0fx=l

又因為圓心在直線x+y-2=0上，所以〈,解得〈，

y=x［y=i

所以圓心為(1,1),r=J(l_l)2+(l+l)2=2所以圓的方程為(x—l)2+(y_l)2=4.故選:C

7.(內(nèi)蒙古包頭市.高二月考(理))二AO3頂點坐標分別為A(2,0),3(0,4),0(0,0).則AAOB外接

圓的標準方程為.

［答案］(x—l)2+(y_2)2=5

【解析】設圓的標準方程為(工一4+(>一匕)2=/，因為過點4(2,0),8(0,4),0(0,0)

(2-?！?(。-6)2=/卜=i

所以.(0—a)2+(4—6)2=產(chǎn)解得"=2

(0-<z)2+(0-/?)2=r21/=5

則圓的標準方程為(x-l)2+(y-2)2=5

故答案為：(x-iy+(y-2)2=5

題型二：圓的一般方程

［例1］(北京高二期末)圓C:/+2x+y2—i=o的圓心c的坐標為()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(2,0)D.(-2,0)

【答案】B

【解析】由圓。：/+2彳+：/-1=0可得(x+iy+y2=2,故圓心坐標為(-1,0),故選：B

【例2】(廣東肇慶市)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,1),(0,2),(1,3)的圓的方程為.

【答案】x2+y2-3x-3y+2=0

【解析】設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

\+E+F=Q,D=-3,

因為圓過(0,1),(0,2),(1,3)三點，所以44+2E+F=0,

得＜E=-3,

l+9+O+3E+F=0,[F=2,

2

所以圓的方程為V+y2一3x—3丁+2=0.故答案為：%+/-3x-3y+2=0

【例3】(2022.全國.模擬預測)已知圓。:/+尸+8x-4.丫=0與以原點為圓心的圓C'關于直線丘—丫+。=0

對稱，則。=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】分別求得圓C和原點為圓心的圓的圓心坐標，求得直線CC'的斜率為七c=-g，即CC'的中點坐

標為結合題意，求得直線2x-y+h=o的方程，代入中點坐標，即可求解.

【詳解】由題意，圓C:x2+V+8x-4y=0,可得圓心坐標為C(T2),

以原點為圓心的圓的圓心坐標為C'(0,0),

可得直線CC的斜率為kcc=葺義=,且C,C'的中點坐標為(-2,1),

因為圓C與以原點為圓心的圓C'關于直線區(qū)-y+b=0對稱，

所以k=2,BP2x-y+h=O,

將點(-2,1)代入直線2x-y+0=0,可得6=5.

故選：A.

【例4】(2022?全國?高二課時練習)與圓工2+丫2-2犬+4.丫+3=0同圓心，且過點(1,-1)的圓的方程是()

A.x2+y2-2x+4y-4=0B.x2+y2-2x+4y+4=0

C.x2+y2+2x-4y-4=0D.x?+y?+2x-4y+4=0

【答案】B

【分析】根據(jù)同圓心，可設圓的一般式方程為丁+;/-2犬+43?+機=0,代入點即可求解.

【詳解】設所求圓的方程為/+丁-2天+”+優(yōu)=0,由該圓過點得,”=4,

所以所求圓的方程為/+V-2x+4y+4=0.

故選：B

[例5](2022全國卷乙卷)過四點(0,0),(4,0),(4,2)中的三點的一個圓的方程為.

【答案】x2+y2-4x-2y=0W4x2+y2-4x-6y=0B￡X2+y2y=0SKx2+y2=0(答

案不唯一，填其中一個即可)

【解析】設圓的方程為爐+/+以+￡>+尸=0

F=0[D=-4

若圓過(0,0),(4,0),(4,2)三點，則16+4O+F=0,解得,E=-2,故圓的方程為

20+4D+2E+尸=0[f=0

x2+y2—4x—2y=0；

尸=0D=-4

若圓過(0,0),(4,0),(-1,1)三點，則.16+4。+尸=0，解得<E=-6,故圓的方程為J+y2-4x-6y=0；

2-￡>+E+F=0F=0

2

F=03

廠14

若圓過(0,0)，(-U)，(4,2)三點，則■2-D+E+F=0,解得」E=----,故圓的方程為

3

20+4D+2E+尸=0

F=0

%=0;

x2+y2--x-

33

16+40+尸=05

若圓過(4,0)，(-M).(4,2)三點，則.2-D+E+F=0,解得，E=-2,故圓的方程為

20+4O+2E+/=0「16

r=----

5

【題型專練】

1.(2023?全國?高三專題練習)已知圓方程x2+y2-2x+4)，-l=0的圓心為()

A.(-2,4)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(2,T)

【答案】C

【分析】將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標；

【詳解】解：因為f+>2_2犬+”—1=0,即(x-iy+(y+2)2=6,

所以圓心坐標為。，-2)；

故選：C

2.(2022?江蘇?高二)圓/+丁+2*-4丫-6=0的圓心和半徑分別是()

A.(-1,-2),11B.(—1,2),11C.(-1,-2),5/nD.(—1,2),

【答案】D

【分析】先化為標準方程，再求圓心半徑即可.

【詳解】先化為標準方程可得(x+iy+()，-2)2=11,故圓心為(T,2),半徑為而.

故選：D.

3.(2021?河北唐山?高二期中)點M,N是圓/+>2+依+2),-4=0上的不同兩點，且點N關于直線x

—y+l=O對稱，則該圓的半徑等于()

A.242B.72C.3D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得：直線/：x—y+l=O經(jīng)過圓心(一!，-1),代入運算解得k=4,再代入r=15+￡

2V4

求圓的半徑.

【詳解】圓/+/+丘+2/-4=0的標準方程為(x+1)2+(y+1)2=5+',

則圓心坐標為(—2，-1),半徑為r=、5+￡

2V4

因為點例，N在圓/+>2+履+2〉-4=0上，且點M,N關于直線/：x-y+l=O對稱,

所以直線/：x-y+l=O經(jīng)過圓心,

所以一七+1+1=0,k=4.

2

所以圓的方程為：x2+/+4x+2y-4=0,圓的半徑「=卜§=3.

故選：C.

4.(2022?陜西咸陽?高一期末)過四點(—1,0),(-4,4),(0,1),(1,0)中的三點的一個圓的方程為.

qiQI94ai

222

［答案］x+y+—x-—y-i--=0^(lx-i-y~--y-l=0

或/+J一1=。或12+>2+35+31丁-32=0

【分析】設圓的一般方程為/+丫2+以+切+/=0,將3個點的坐標代入方程，利用待定系數(shù)法即可求出結

果.

【詳解】設圓的一般方程為爐+八6+4+尸=0,

若圓過(TO)，(T,4),(0,1)三點,

1一。+尸=0

則《32—4O+4E+尸=0,解得。=乙31，E=-3—1,F=2—4,

777

l+￡+F=O

此時圓的一般方程為f+y2+》Q1］_Q,1y+］74=0；

若圓過(T0)，(-4,4),(l,0)三點，

1-D+F=O

31

則《32—4O+4E+尸=0,解得。=0,E=--fF=-\.

4

1+。+尸=0

此時圓的一般方程為f+y2—y_l=O；

4

若圓過(-LO)，(0,1)，(1,0)三點,

1-D+F=O

則T+E+尸=0,解得+=0,E=0,F=—1,

1+D+F=O

此時圓的?般方程為/+丁-1=0；

若圓過(-4,4),(0,1),(1,0)三點,

’32—4。+4七+尸=0

則,1+七+/=0,解得。=31,石=31,/=—32,

1+D+F=O

此時圓的一般方程為Y+y2+31x+31y-32=0；

京依汨口22313124231

故答案為：r+y+-x-—y+—=O^x-+y--y-\=0

nJcx2+y-l=0s￡x24-y2+31x4-31y-32=0

5.(青銅峽市高級中學)經(jīng)過圓/一2%+丁=0的圓心且與直線%+2y=0平行的直線方程

是-

【答案】x+2y-l=0

【解析】圓的方程化簡為(x—iy+y2=i,圓心(1,0),半徑r=1，

由條件可知設直線方程：x+2y+c=0,直線過點(1,0),

代入直線方程l+c=O=c=—1，所以直線方程是x+2y-1=0.故選：B

題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)

【例1】(2022?全國?高三專題練習)設甲：實數(shù)a<3：乙：方程f+V-x+3y+〃=0是圓，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由方程表示圓可構造不等式求得。的范圍，根據(jù)推出關系可得結論.

【詳解】若方程J+y2-x+3y+o=0表示圓，貝ij(一1)?+32—44=10—4。>0,解得：a<-|；

Va<3ia<|,a<|na<3,,???甲是乙的必要不充分條件.

故選：B.

【例2】（全國高二單元測試）當方程/+y2+依+2^+〃=0所表示的圓的面積最大時;直線

y=（a—l）x+2的傾斜角為（）.

71-3兀八3九?5TI

A.-B.—C.—D.—

4424

【答案】B

/\2

【解析】方程無2+丁+辦+2丁+/=0可化為x+0+（丁+1）2=_±。2+],

\2y4

2

設圓的半徑為r（r>0）,則/=1一一a9

4

???當。=0時，產(chǎn)取得最大值，從而圓的面積最大.

3兀

此時，直線方程為y=-x+2,斜率左=一1,傾斜角為一，故選：B

4

【例3】（全國高二課時練習）當。取不同的實數(shù)時，由方程f+y2+2ax+2ay—1=0可以得到不同的圓,

則（）

A.這些圓的圓心都在直線丁=%上

B.這些圓的圓心都在直線）'=一％上

C.這些圓的圓心都在直線y=*或丁=一》上

D.這些圓的圓心不在同一條直線上

【答案】A

【解析】由題意知,圓的標準方程：（x+a）2+（y+a『=2a2+i,圓心（—a,-a）,圓心都在直線y=x上.

故選:A

【例4】（2022?全國?高二課時練習）已知方程x?+丁+2"?x+4y+2/?^-3"?=0表示一個圓.

（1）求實數(shù)，"的取值范圍；

（2）求圓的周長的最大值.

【答案】⑴（T,4）,（2）5兀

【分析】（1）根據(jù)圓的一般式與標準式的轉化，根據(jù)標準式即可求解.

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質可求解半徑的最大值，進而可求圓周長的最大值.

（1）原方程可化為（*+/+（>+2）2=-nr+3瓶+4,

若方程表示一個圓，則一根2+3加+4>0,解得T<mv4,

即實數(shù)，〃的取值范圍是（-1,4）.

（2）圓的半徑"=,一加2+3〃?+4=一（=一3丫+竺4』,當且僅當m=?時，半徑r取得最大值:，所以閱

VI2）4222

的周長的最大值為57r.

【題型專練】

1.（2022?全國?高二）已知'是"x?+y?+Gx-詬y+,"=0”表示圓的必要不充分條件，則實數(shù)，的取值

范圍是（）

A.（-1,4-00）B.[l,+oo）C.（-00,1）D.

【答案】B

【分析】求出Y+y2+6x-J/y+m=0表示圓的充要條件，然后可判斷出答案.

【詳解】若表示圓，則（若>+（-詬）2-4m>0,

解得小<1.

Wf"是"x?+y2++機=0”表示圓的必要不充分條件，

所以實數(shù)r的取值范圍是.

故選：B

2.（2022?吉林?吉化第一高級中學校高二期末）若曲線f+y2+2x+,町，+2=0表示圓，則機的取值范圍是（）

A.（2,+00）B.[2,+oo）

C.（-oo,-2）u（2,+oo）D.（Y,-2]U[2,+OO）

【答案】C

（分析】按照圓的一般方程滿足的條件獷+E2-4F>0求解即可.

【詳解】22+--8>0,機<-2或帆>2.

故選：C.

3.（2021?江蘇?高二專題練習）已知方程Y+y2-2（r+3）x+2（l-4/）y+16尸+9=0表示一個圓.求：

（1）圓半徑最大時/的值；

（2）圓心的軌跡方程.

【答案】(嗚3；(2)y=4(x-3)2-l,(20y<x<4).

【分析】(1)利用方程表示圓的條件。2+￡-4尸>0,建立不等式，求出實數(shù)，的取值范圍，利用圓的半徑

r=gj4(_7/+6f+l),結合二次函數(shù)的性質，即可求出該圓半徑/"的取值范圍；

(2)根據(jù)V+y2—2(f+3)x+2(l-4產(chǎn))y+16/+9=0,確定圓的圓心坐標，再消去參數(shù)，根據(jù)(1)中實數(shù)

f的取值范圍，可求得圓心的軌跡方程.

⑴在圓的方程/+產(chǎn)+m+份+尸=0中，有￡>2+后2_4/>0，

所以4(/+3)2+4(1—4產(chǎn))2—4(16/+9)=4(-7/+6/+1)>0,

所以一7r+6r+l>0,即一:<t<L

而r=以4(_7/+6/+1)=^-7(f-1)2+y,

二當f==時，/?取得最大值勺豆.

77

(2)設圓心坐標為(x,y),則｛工:

由①得：f=X-3,代入②消去f得：y=4(x-3>-l.

由1-則m20<x<4，即軌跡為拋物線的一段，

???圓心的軌跡方程為y=4(x-3)2-l,(寧<x<4).

4.(全國高二專題練習)已知圓C:(x—2)2+(y+m—4)2=1,當m變化時，圓C上的點與原點的最短距

離是.

【答案】1

【解析】圓C：(%-2)2+(y+〃?-4)2=1表示圓心為C(-2,-〃?+4),半徑R=1的圓，

求得IOC]=^4+(-m+4)2-

，加=4時,QC1的最小值為2

故當冽變化時，圓C上的點與原點的最短距離是(|OC|的最小值)-R=2-1=1,

故答案為1.

題型四：阿波羅尼斯圓(阿氏圓)

【例1】(2022.四川成都.高二開學考試(理))若兩定點A(l,0),3(4,0),動點M滿足21M4|=|朋8|,則動

點”的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）.

A.2乃B.5萬C.3萬D.4兀

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件求出動點M的軌跡方程，再確定軌跡即可計算作答.

【詳解】設M（x,y）,依題意，2j（x-l），+y2=J（x-4）2+y2,化筒整理得：x2+/=4,

因此，動點M的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓，

所以動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為4萬.

故選：D

【例2】（2022?陜西?模擬預測）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內(nèi)到兩定

點距離之比為常數(shù)底&>0Mxl）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點A,B間的距

離為2,動點P滿足需=應，則△PA8面積的最大值是（）

A.72B.2C.2夜D.4

【答案】C

【解析】設經(jīng)過點A,3的直線為x軸，48的方向為x軸正方向，線段48的垂直平分線為），軸，線段

的中點。為原點，建立平面直角坐標系廁A（-1,0）,3（1,0）.

兩邊平方并整理得x2+y2-6x+l=0,BP（x-3）2+y2=8.

要使的面積最大，只需點P到AB（x軸）的距離最大時,

此時面積為葭2x20=2上.

2

故選：C.

【例3】(2022?全國?高二單元測試)古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點4,8的距離之比

為定值/的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系xOy中，A(-2,0),B

\PA\i

(4,0),點P滿足謁=3?設點尸的軌跡為C,則下列結論正確的是()

A.軌跡C的方程為(x+4)2+/=9

B.在x軸上存在異于A,8的兩點。，E使得言=：

C.當A,B,P三點不共線時，射線PO是24P8的平分線

D.在C上存在點M,使得21MAi

【答案】BC

【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，結合兩點間距離公式逐一判斷即可.

【詳解】在平面直角坐標系地丫中，4(-2,0),8(4,0),點尸滿足￡=3，設尸(羽丫)，則^^^^=；,

化簡得(x+4)2+y2=]6,所以A錯誤；

假設在x軸上存在異于4B的兩點使得前=],設ZXm,0),E5,0),則而不式=2口二^

化簡得3/+3y一(8〃?一2〃)/+4,%2一/=0,由軌跡C的方程為12+尸+81=0,可得86—2〃=—24,4〃於

―/=0,

\PD1

解得加=—6,〃=—12或團=—2,〃=4(舍去)，即在x軸上存在異于A,8的兩點￡),后使匕三=7，所

\PE2

以B正確；

OA\1PA

當4,B,P三點不共線時，焉=;二;3，

可得射線P。是NAP8的平分線，所以C正確；

若在C上存在點M,使得|MO|=2|M4|,可設M(x,y),

則有7^7=2J(x+2)2+)，2,化簡得*2+/+爭+與=0,與/+y+8x=0聯(lián)立，方程組無解，故不

存在點M,所以D錯誤.

故選：BC

【點睛】關鍵點睛：運用兩點間距離公式是解題的關鍵.

【題型專練】

1.（2022.河北保定.高二期末）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A,8的距離之比為

定值2（2>0,且?guī)?1）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯

3（2,0）,點P滿足局=2,

圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中,則點P的軌跡的

圓心坐標為（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（T,0）D.（2,0）

【答案】A

【解析】令P（x,y）,則J（x+4『+y2=2而-2）2+），,兩邊平方并整理得：（X-4）2+V=16,

二圓心為（4,0）.故選:A.

2.（2022.河南.新蔡縣第一高級中學高二階段練習（文））若兩定點A（l,0）,8（4,0）,動點時滿足|加4|=2附用，

則動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）.

A.冗B.5萬C.34D.4萬

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件求出動點M的軌跡方程，再確定軌跡即可計算作答.

【詳解】設M（x，y）,依題意，y/（x-l）2+y2=2y/（x-4）2+y2,化簡整理得：（x-5）?+丁=4,

因此，動點M的軌跡是以（5,0）為圓心，2為半徑的圓，

所以動點M的軌跡圍成區(qū)域的面枳為4萬.

故選：D

3.（2022.寧夏.銀川二中高一期中）已知動點M與兩個定點。（0,0）,3（3,0）的距離滿足|八例=4"。|,

則在O,A,M三點所能構成的三角形中面積的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】設M（x,y）,求出航點軌跡方程得其軌跡，由面積公式轉化為￡MOA=35,“。"，由三角形面積公式易

得最大值.

【詳解】設M(x,y),則|M4|=2|MO|得。-3)2+>2=4(/+>2),

化簡整理得(x+l>+y2=4,所以M點軌跡是以3(-1,0)為圓心，2為半徑的圓，如圖,

\OB\=l,|O^=3|OB|

S,MOA=3S,MOH=3xgx忸M|x|B(?|sinZ.MBO=3sinZMBO,

易知AMBO=90°時，取得最大值3.

故選：C.

4.(2022?四川南充?三模(理))正方形ABC。邊長為3,尸為正方形ABC。邊界及內(nèi)部的動點，且|咫=2|尸4|,

則動點P的軌跡長度為.

【答案】y

[分析詵求出尸點的軌跡，又因為P為正方形A8CD邊界及內(nèi)部的動點，所以動點P的軌跡長度為圓弧MN,

求出圓弧MN對應的圓心角，由弧長公式即可求出答案.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，則4(0,0)建(3,0),設尸(x,y),又因為|「網(wǎng)=2|啊,所以

7(X-3)2+J2=2y]x2+y2,化簡為：x2+r+2x-3=0BP(x+l)2+y2=4,所以P點的軌跡是以。(-1,0)為

圓心，半徑為2的圓.

又因為P為正方形ABCO邊界及內(nèi)部的動點，所以動點P與>軸正半軸的交點為加(0,石)，動點PHx軸

正半軸的交點為N(l,0),則動點P的軌跡長度為圓弧MN,

在二角形QMA中，AM=6,QA=2,所以sinNMQ4=3=^,ZMQA=^,所以圓弧腦7=[*2==.

MQ2333

故答案為：y.

y

5.(2022.全國?高三專題練習(文))阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將

圓錐曲線的性質網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為

常數(shù)左(&>0且&R1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有aABC,3C=6,sin8=JsinC,

當一A3C的面積最大時，則AC的長為.

【答案】2^5

【分析】利用正弦定理將角化邊，即可求得點A的軌跡方程，然后確定三角形面積的最大值和點A的坐標，

最后求解AC的長度即可.

【詳解】解：因為sinB=[sinC,由正弦定理可得b=[c,即c=?,因為BC=6,不妨令B(-3,0),C(3,0),

22

設點A的坐標為A(x,y)(yxO),點A的軌跡方程滿足：J(x+3)2+f=2j(x—3產(chǎn)+/,

整理可得：(X-5)2+/=16,(>/0),

即點A的軌跡是以(5,0)為圓心，4為半徑的圓(除與x軸兩交點外)，

當點A的坐標45,4)或4(5,T)時三角形的面積最大，其最大值為5=1x6x4=12,

ill勾股定理可得AC=722+42=2亞.

故答案為：2亞.

6.(2022?全國?高三專題練習(文))古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(.ApolloniusofPerga,約公元前262?190年)

發(fā)現(xiàn)：平面上兩定點A,B,則滿足絲=〃兀=1)的動點M的軌跡是一個圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯

MB

圓，簡稱阿氏圓.在直角坐標系X。)，中，已知A(4,0),8(1,0),C(l,-4),動點例滿足絲=2,則4c面積的

MB

最大值為.

【答案】13

【分析】根據(jù)題意求點M的方程與邊AC,利用圓上的點到直線的最遠距離為圓心到直線的距離加上半徑，

即可求出邊AC的高，進而求出AVtAC面積的最大值.

【詳解】設點M(x,y),MA=7(X-4)2+/,MB=^(x-\)2+y2

MA?

-----=2

MB

:.MA=2MB

J(x-4)2+y2=2j(x-l)2+y2

x2+y2=4,故點A7的方程為V+y2=4.

直線4c的方程為4x-3y-16=0

1616

圓心(0,0)到直線AC的距離d=l-l

#+(-3)2T'

設點M到邊AC的高為力，hnm=—+2=—

\AC\="(4-1)2+(0+4)2=5

SMAC的最大值為:X5X1=13.

故答案為：13.

題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問題

【例1】（2021?江蘇?蘇州中學高二）己知二次函數(shù)y=Y-交X軸于A,8兩點（4,8不重合）,

交）'軸于點C.圓M過A,8,C三點.下列說法正確的是（）

A.圓心M在直線x=l上B.加的取值范圍是（0,1）

C.圓M半徑的最小值為1D.存在定點N,使得圓/恒過點N

【答案】AD

【分析】由圓心在48中垂線上可知A正確；根據(jù)A>0可求得，〃范圍，知B錯誤；

求得AC坐標后，代入圓的方程可表示出產(chǎn)，結合m范圍可求得廠>1,知C錯誤；

將圓的方程整理為（1-丫）加+任-2》+9一耳=0,由此可求得定點，知D正確.

【詳解】對于A,7=工2-2%+加（加片0）對稱軸為x=l,.?.過AB兩點的圓的圓心必在A8中垂線，即x=l

上，A正確；

對于B,丁二%2-21+〃2（加工0）與不軸交于43兩點，/.△=4一4帆>0,解得：