高中數(shù)學(xué)人教版高三理科綜合復(fù)習(xí)試卷及解析

1、已知集合4={(羽田及2=耳，B={(x,y)\y=x}t則4地=()

A.{(0,0)}B,{(1,1)}c>{(0,0),(1,1)}D.{0J

2

2、設(shè)"smq,/2=晦3,6[j),則()

A.a<c<bB.c<a<bQb<a<cj)c<b<a

3、已知三棱錐A-BCD中，8_1_平面480,口43。中兩直角邊43=5,BC=3,

該三棱錐的外接球的表面積為50",則三棱錐的體積為（）

A.10B.20C.30D.40

4、

與圓V+V-4y=（）外切，又與x軸相切的圓的圓心軌跡方程是（）

A.y2=8xB.y~=8x（x>°）和y=0

c%2=8y（y>0）D.f=8y（y>0）和x=0（><0）

5、某班級共有50人，把某次數(shù)學(xué)測試成績制作成直方圖如圖，若分數(shù)在180100]

內(nèi)為優(yōu)秀，則任取兩人成績均為優(yōu)秀的概率為（）

2416

A.175B.H5c.35D.175

6、一個三位數(shù)：個位、十位、百位上的數(shù)字依次為“,z,當(dāng)且僅當(dāng)y>“，

丁>2時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”（如243）,現(xiàn)從集合｛5,6,7,8｝中取出三個不同

的數(shù)組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為（）

2]_]_J_

A.§B.3c.6D.12

sin2。

7、已知角e的終邊在直線>=-3x上，則"cos??（）

__6_3_3_6_

A.11B.11C.11D.11

8、已知'巡為單位向量，則1'+"用"一可的最大值為()

6+1B.3C.2&D.26

9、中國古代數(shù)學(xué)專家(九章算術(shù))中有這樣一題：今有男子善走，日增等里，九

日走1260里，又第一日，第四日，第七日所走之和為390里，則該男子的第三日

走的里數(shù)為()

A.240B.120C.100D.90

10、若函數(shù)f(x)的定義域為R,則“f(x)是偶函數(shù)”是“f(|x|)=f(x)對

切xGR恒成立”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22

rx-%V=1(〃>02>0),v_、后

11、已知雙曲線〃什的右焦點為尸，直線)—分別交雙曲線

左、右兩支于RQ兩點，若上QF,則雙曲線的離心率為()

A.近+1B.6+1C.2D.小

12、已知直線>=2x+l與曲線/(x)=ae'+x相切，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)，

則函數(shù)丁=/(幻的零點所在區(qū)間為()

A.(-1,0)B(0,1)c(1,2)D>(0,+co)

A.-6°B.60C.720D.120

14、若復(fù)數(shù)z=i(3-2i)(i是虛數(shù)單位)，貝！)z的模為

,則Ml)

15、若

16、曲線y=x?與y=x所圍成的封閉圖形的面積為.

17、已知A、B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，2\曲乂為等腰三角形，且頂

角為120。，則E的兩條漸近線的夾角為.

18、已知各項均為正數(shù)的數(shù)列S/的前〃項和為S",若4=1,S.=a,小

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

⑵若"，="4+1,求數(shù)列也，｝的前〃項和9.

19、如圖，四棱錐P—MCO中，PA_L平面A88,底面A3CD是邊長為2的正

方形，%=2,E為PD中點.

(1)求證：AE^-PC.

(2)求二面角3-AE-C的正弦值.

20、在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀

眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾

甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾

乙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手.

(1)求觀眾甲選中3號歌手的概率；

(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙的票數(shù)之和，求P(X=1).

C\-7-+=e=

21、已知橢圓礦匕的兩個焦點分別是“卜%,離心率2,

P為橢圓上任意一點，且△耳尸K的面積最大值為百.

(1)求橢圓C的方程.

（2）過焦點6的直線/與圓°：/+>2=1相切于點°,交橢圓G于A8兩點，證

明：闡=|班

22、已知函數(shù)/（司="-叱+（2-e）x-1,且曲線》=?。┰趚=l處的切線方

程為y=°.

（1）求a的值；

⑵證明：當(dāng)%>°時，"力川.

x=-2+cosa

<

23、在平面直角坐標系x0）‘中曲線G的參數(shù)方程為1y=2+sina（a為參數(shù)）.

以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線q的極坐標方程為

p（sin。一Gcos夕）=1

（1）分別求出曲線G的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若分別是曲線a和G上的動點，求iPQ的最小值.

24、已知函數(shù)??.

（1）當(dāng)時,解不等式/*）<5；

（2）若關(guān)于x的不等式§有實數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案

1、【答案】C

2、【答案】B

3、【答案】A

4、【答案】D

5、【答案】B

6、【答案】B

7、【答案】A

8、【答案】C

9、【答案】B

10、【答案】C

11、【答案】B

12、【答案】A

13、【答案】B

14、【答案】713

15、【答案】|

16、【答案】

O

17、【答案】90°.

1?/?=1

18、【答案】（1）c⑵著=（〃T）2"+1

2n..2

試題分析：（1）根據(jù)S”?！暗年P(guān)系，可得％,并驗證，最后可得結(jié)果.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可得"的通項公式，然后利用錯位相減法進行求和，可得結(jié)果.

【詳解】

（1）S”=all+i,

當(dāng)“N2時，S“M=a“，

Cl[.

兩式作差得；a“=an_t-an,即才=2,

又由。1一1一百，"2=S],求得%=1.

.?.當(dāng)“N2時，??=2'-1,

驗證〃=1時不成立，

1?77=1

??_n2-

(2)bn=nalt+i

：.7；=1.2。+2.2+…-l)2"-2+〃-2"T.

2n-1,!

2Tn=l-2'+2-2+---+(/i-l)2+n-2.

???兩式相減可得

02n

-Tn=2+2+2+---+2"-'-n-2,

\-2"

-Tn=--n-2?=T“=(n-l)2?+l.

【點睛】

本題主要考查S.,。“的關(guān)系，以及利用錯位相減法求和，屬中檔題.

19、【答案】(1)見詳解；(2)B

3

試題分析：(1)先證明面尸AQ，得到CD_LAE,然后得到9利用線面

垂直，進一步得到線線垂直，可得結(jié)果.

(2)利用建立空間坐標系，利用向量的方法，得到平面/WE的一個法向量以及平面W

的一個法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)證明：

?.?底面ABC。是邊長為2的正方形，

Q4=2,E為PO中點，

VAEVPD,CD±AD.

?.?必_L平面ABC。，CD平面ABC。，

CD1PA.

"：PAr>AD=A

.?.CD，平面尸AD，

?.*AE平面PAD，ACDYAE,

:CDCPD=D.

，AE_L平面PCD,

?；PC平面PCD,

/.AE.LPC.

(2)

以A為原點，

A3為8軸，A。為了軸，AP為z軸,

建立如圖空間直角坐標系.

則40,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),

.UUli

E(0,l,D,通=(0,1,1),AB=(2,0,0).

UUIU

AC=(2,2,0),

設(shè)平面4組的一個法向量加=(x,y,z),

m-AB-2-x=0

則〈一，

th-AE=y+z=0

取y=l,得訴=(0,l,-l).

設(shè)平面AEC的一個法向量為〃=(%,x,z).

n?AC=2x+2y=0

則<—,

n?AE=y+z=0

取為=1.得3=(1,—1,1),

一一m-n—2、/6

cos<m-n>————=—7=——7=-=-------,

\m\-\n\V3x>/23

???二面角B-AE-C的正弦值

為用常

【點睛】

本題考查了線線垂直的證明以及利用通過建系來求二面角的正弦值，通過建系的方法,

將幾何問題代數(shù)化，是立體幾何中常用的方法，屬中檔題.

27

20、【答案】（1）-；（2）—

315

2

試題分析：（1）由于觀眾甲必選1,不選2,則觀眾甲選中3號歌手的概率為P￡

3

（2）X=1表示觀眾甲、乙只有一人投票給3號歌手，分別求出觀眾甲投票給3號歌手,

而乙沒有投票給3號歌手和觀眾乙投票給3號歌手,而甲沒有投票給3號歌手的投票方

法總數(shù)，從而得出答案.

詳解：（1）設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”

觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，則觀眾甲選3名歌手有穹種選法.

觀眾甲選中3號歌手有G種選法.

所以觀眾甲選中3號歌手的概率P=G二

（2）X表示3號歌手得到觀眾甲、乙的票數(shù)之和,

X=1表示觀眾甲、乙只有一人投票給3號歌手.

觀眾甲投票給3號歌手,而乙沒有投票給3號歌手有種

觀眾乙投票給3號歌手，而甲沒有投票給3號歌手有C\C｝種

7

P（x=l）

15

【點睛】

本題考查古典型概率的求解問題，關(guān)鍵是弄清楚基本事件的總數(shù)和某事件所包含的基本

事件數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

r2

21、【答案】（1）—+y2=l；（2）證明見詳解.

4'

試題分析：（1）根據(jù)離心率以及面積最大值的狀態(tài)，求得即可;

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，將問題轉(zhuǎn)化為證明線段A8,耳。中

點重合的問題進行處理.

【詳解】

（1）由橢圓性質(zhì)知，,

a2

—2c-Z?=6,

2

解得a=2/=l

所以橢圓。的方程為三+V=1

4

（2）證明：容易知/的斜率存在，

故/的方程可設(shè)為丁=從尤+6）.

因為直線/與圓。：/+>2=1相切，

所以圓心（0,0）到/:y=A（x+G）的距離

明NJ2

d=^^=l，解得％=土注.

2

當(dāng)％=等時，直線/的方程為y=^（x+G）

由/聯(lián)立，

X2y

可得3/+4百》+2=0,顯然/>0,

設(shè)46,%）,5卜2，%），

則玉+々=一述.所以土也=一友

323

宕+巾=1

設(shè)。（天,%），由，%..變=_]

x02

不妨取Q-與，又￡（一6,0）,

所以=_2V|=X+W

232

由此可得線段AB,耳。中點重合，故|4。=忸用.

同理當(dāng)心一變時，線段AB,EQ中點也重合，故|4。=忸用

綜上|=忸周.

【點睛】

本題考查橢圓方程的求解，以及利用韋達定理證明線段相等的問題；本題的難點在于如

何轉(zhuǎn)化線段相等的條件.

22、【答案】(1)?=1(2)證明見解析

試題分析：(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)

的幾何意義即可求解.

(2)由(1)知/(x)=e*-f+(2-e)x-l,/'(x)=e*-2x+2-e,令函數(shù)

9(x)=7'(x),則9'(％)="-2,從而求出/”(x)的單調(diào)性，進而求出/(x)的單調(diào)區(qū)

間，然后即可求出〃0)=/(1)=0,根據(jù)單調(diào)性即可得出“x)20.

【詳解】

解：(1)/(x)=e'-tiv?+(2—e)x—1的導(dǎo)數(shù)為/'(x)=e'-2czx+2-e,

曲線y=/(x)在尤=1處的切線方程為y=()，

可得/⑴=e_a+2_e_l,且/[l)=e-2a+2—e=(),

解得。=1;

(2)證明：由(1)知/(%)=，-%2+(2-6卜一1,

f\x)^ex-lx+2-e,令函數(shù)夕(6=7(%),則。(x)=e*-2,

當(dāng)0<x<ln2時，d(x)<0,/'(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>ln2時，”(x)>0,尸(力單調(diào)遞增，

又/(0)=3-6>0,/(1)=0,0<ln2<l,/'(ln2)<0,

所以，存在飛?0,1),使得ra)=o,

當(dāng)時，r(x)>o；

當(dāng)xe(事」)，r(x)<o,

故/(X)在(0,天)上單調(diào)遞增，在(天』)上單調(diào)遞減，在(1，田)上單調(diào)遞增，

又/(0)=/(1)=0，

f^x)-ex-x2-(e-2)x-l>0,

當(dāng)且僅當(dāng)X=1時取等號.故當(dāng)x>0時，/(x)NO.

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用，綜合性比較強，難度較大.

23、【答案】(1)G的普通方程為2>+(>-2>=1,G的直角坐標方程為

右,,zx2\/3-1

73x-y+1=0n(92)------

2

試題分析：(1)根據(jù)平方關(guān)系，可得曲線G的普通方程，由％=夕以55。,〉=25畝。，可

得曲線的直角坐標方程，即可得結(jié)果.

(2)p的坐標用參數(shù)表示，然后利用點到直線的距離，可得IPQI,結(jié)合輔助角公式,

可得結(jié)果.

【詳解】

(1)因為曲線G的

x=—2+coscc

參數(shù)方程為c.(e為參數(shù)).

y=2+sina

所以曲G的

普通方程為(X+2)2+(y-2)*2=l.

又因為曲線G的

極坐標方程為p(sin。-百cos。)=1.

所以曲線G的直角坐標方程為8X-)'+1=0.

(2)設(shè)尸(一2+85仇2+5山夕).

因為點尸到直線G的距離為4,所以

6(-2+cos8)-(2+sin。)+1

d-

2

mii,V3COS-sin-2^3-1

則a=------------------------------

2

即

2cos［。+.卜26一1

d

2

所以當(dāng)cos(e+^)=i時，

TT