高中數(shù)學(xué)選修2-2 第二章 推理與證明(A卷)

高中數(shù)學(xué)選修2-2第二章推理與證明（A卷）試卷

一、選擇題（共22題；共100分）

1.下面幾種推理過程是演繹推理的是（）

A.在數(shù)列｛0”｝中，a1=1,an=-（an_iH——）（nEN"），山其歸納出｛a“｝的通項(xiàng)

公式

B.由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體性質(zhì)

C.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果匕4和乙B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則

+乙8=180°

D.某校高二共10個(gè)班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推測(cè)各班都超過50人

【答案】C

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

【解析】A選項(xiàng)，在數(shù)列｛an｝中，Q]=I,an=+」一）（nWN"），由其歸納

2Gft-i

出｛a,i｝的通項(xiàng)公式，是歸納推理.

B選項(xiàng)"由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體性質(zhì)”是類比推理；

C選項(xiàng)選項(xiàng)是演繹推理，大前提是"兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)"，小前提是"匕力與乙B是兩條平行直

線的同旁內(nèi)角"，結(jié)論是=180°”

D選項(xiàng)中：某校高二共有10個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班都超過50人,

是歸納推理；

綜上得，C選項(xiàng)正確.

2.下面幾種推理中是演繹推理的是（）

A.由金，銀，銅，鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可以導(dǎo)電

B.猜想數(shù)列5,7,9,11,...的通項(xiàng)公式為0n=2九+3

C.由正三角形的性質(zhì)得出正四面體的性質(zhì)

D.半徑為r的圓的面積S=JI",則單位圓的面積S=7T

【答案】D

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【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

【解析】選項(xiàng)A是由特殊到一般的推理過程，為歸納推理；

選項(xiàng)B是由特殊到一般的推理過程，為歸納推理；

選項(xiàng)C是由特殊到與它類似的另一個(gè)特殊的推理過程，是類比推理；

選項(xiàng)D中半徑為r圓的面積S=TTP2＞是大前提，單位圓的半徑為1，是小前提,單位圓的面積S=兀為

結(jié)論.故選D.

3.三角形的面積S'=；（〃+b+e）7?：o,b，C為其邊長，r為內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四

面體的體積為（）

1

AV=—abc（a,b,c為底面邊長）

1

B.l/=一sh（s為底面面積，h為四面體的高）

1

C.V=-（Si+S2+S3+S4）r（Si,52,S3,54分別為四個(gè)面的面積，r為內(nèi)切球的半徑）

1

D.V=-（ab+bc+ac）h（a,b,c為底面邊長，力為四面體的高）

3

【答案】C

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

【解析】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為。，則球心0到四個(gè)面的距離都是r,根據(jù)三角形面積的求解方法（分

割法），將。與四面體的四個(gè)頂點(diǎn)連起來，可得四面體的體積等于以。為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4

個(gè)三棱錐體積的和，

1

…V=—（Si+Sz+Ss+S^r.

c

4.順次列出的規(guī)律相同的20個(gè)數(shù)中的前四個(gè)數(shù)依次是2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,第15個(gè)數(shù)是（）

A.15B.29C.16D.31

【答案】B

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

【解析】前四個(gè)數(shù)依次是2x1—1,

2x2-1,

2x3-1,

2x4-1,

所以第15個(gè)數(shù)是2x15-1=29.

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5.古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,15,21,28,,這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)（除1外）對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形，如圖所示，則第n個(gè)三角形數(shù)為（）

A.n

Bm+D

2

C.n2-1

D論T）

2

【答案】B

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

【解析】觀察圖形可知，這些三角形數(shù)的特點(diǎn)是第。個(gè)三角形數(shù)是在前一個(gè)三角形數(shù)的基礎(chǔ)上加上"，于

是第"個(gè)三角形數(shù)為1+2++邦=駕工.

6.有一段演繹推理："直線平行于平面，則這條直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b（Z平面a,直線

aU平面a,直線b〃平面a,則直線b//直線a"的結(jié)論是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋ǎ?/p>

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤

【答案】A

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理，直接證明與間接證明

【解析】該演繹推理的大前提是：若直線平行于平面，則該直線平行于平面內(nèi)所有直線；

小前提是：已知直線b//平面0，直線。U平面a；

結(jié)論是：直線/?//直線a；

該結(jié)論是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇笄疤崾清e(cuò)誤的，

正確敘述是“若直線平行于平面，過該直線作平面與已知平面相交，則交線與該直線平行

故選：A.

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，/+）產(chǎn)能被x+y整除，后?第二步是（）

A.設(shè)n=2k+l時(shí)正確，再推n=2k+3正確

B.設(shè)n=2k-l時(shí)正確，再推n=2k+l時(shí)正確

C.設(shè)n=k時(shí)正確，再推n=k+2時(shí)正確

D.設(shè)〃二二二式人?1）正確，再推n=k+2時(shí)正確

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【答案】B

【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法

【解析】【解析】根據(jù)證明的結(jié)論，”為正奇數(shù)，故第二步的假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)77=21一1伏

時(shí)命題正確，

即當(dāng)k=2左一1（左eN*）時(shí)，工2k-1+y2k~l能被x+y整除，再推n=2k+1正確；故選B-

8.仔細(xì)觀察下面。和?的排列規(guī)律：

o?oo?ooo?oooo?ooooo?oooooo????

若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的。和?，那么在前120個(gè)。和?中，?的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

【解析】進(jìn)行分組。?|。。?|。。。?|。。。。?|。。。。。?|。。。。。。?「：則前n組兩種圈的總數(shù)是

加)=2+3+4—...—(n+l)=易知/14)=119：415)=135,故n=14.

1—

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明〃1+々+蘇++々2#1=--------（加1）〃.在驗(yàn)證”=1時(shí)，左端計(jì)算

a

所得項(xiàng)為（）

A.l+o

B.l+a+a2

C.l+a+a2+a3

D.l+o+a2+a3+o4

【答案】C

【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法

【解析】將n=1代入。2O+1得〃，故選c.

10.分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證明："設(shè)a>b>c,S.a+b+c—0,求證:yjb2-ac^^a

最終的索因應(yīng)是（）

A.a-b>0

B.a-c>0

C.（a—h）（a—c）>0

D.（a—b）（a—c）<0

【答案】D

【考點(diǎn)】直接證明與間接證明

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【解析】要證，p—只需證〃一acV3aa+b+c=O,/.b=—a—c,只需證(一a—c)?

-ac<3a2,

只需證(c—o)(c+2a)V0,只需證(c—a)(c+o—b—c)VO,只需證(c—0(。一b)>0,故選C.

ii?若azbeR，則下面四個(gè)式子中恒成立的是()

A.IgQ+a：)>0

Ba2+b2^2^-b-l)

cJ+MbNZb?

aa+l

D.—<-----

bb+1

【答案】B

【考點(diǎn)】直接證明與間接證明

【解析】在A中，a=0時(shí)，IgQ+a：)=0,因此不成立；

在B中，因?yàn)?/p>

/+/-2(〃-6-1)=(，-2々+1)+(/+26+1)=(“-1)2+(6+1)220恒

成立；

在c中，〃=6=0時(shí)不成立；

在D中，取〃>6>0，可知不成立.

12.用反證法證明命題："a,b￡N,ab可被5整除，那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除"時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容

應(yīng)為()

A.a,b都能被5整除

B.a,b都不能被5整除

Co,b不都能被5整除

D.a不能被5整除

【答案】B

【考點(diǎn)】直接證明與間接證明

【解析】“至少有一個(gè)"的否定是"一個(gè)也沒有"，即"a,b都不能被5整除

63

13.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+-—+〃3=Lilli-,則當(dāng)〃=2+1時(shí)，左端應(yīng)在0=k的基礎(chǔ)上加()

47b?

A./+l

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B.(A-+1)3

r(A+l)s+(左+以

一7

D.(A73+l)+(A-3+2)+---+(Ar+l)3

【答案】D

【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法

【解析】當(dāng)n=k時(shí)，左邊=1+2+3++ks，

當(dāng)n=k時(shí)，左邊=1+2+3+…+d+(臚+1)+(爐+2)+…+(k+1)2，

所以觀察可知，增加的項(xiàng)為(上3+1)+(斤三+2)+—?+(k+iy.

14.對(duì)于不等式亞+冏W%+1(%WN*)，某學(xué)生的證明過程如下：

(1)當(dāng)n=l時(shí)，J]2+iV1+]，不等式成立.

(2)假設(shè)%=上(力eN)時(shí)，不等式成立，即“2+?(>+],則"1<+1時(shí)，

J伏+1)2+伏+1)=護(hù)+3上+2<//+37+2)+(1+2)=依+2>=(^+1)+1

當(dāng)n=k+l時(shí)，不等式成立，上述證法()

A.過程全都正確B.n=l驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確

D.從n=k到n=k+l的推理不正確

【答案】D

【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

【解析】#=1的險(xiǎn)證及歸納假設(shè)都正確，但從月=左到打=左+1的推理中沒有使用歸納1

式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故選D.

15.己知a,b,ce(o,1).則在(l-a)b,(l-b)c,(l-c)a中()

1

A.不能同時(shí)大于一

4

B.都大于-

4

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1

C.至少有一個(gè)大于一

4

1

D.至多有一個(gè)大于一

4

【答案】A

【考點(diǎn)】直接證明與間接證明

1

【解析】方法一假設(shè)(1—a)b,(1—b)c,(1—c)a都大于一

4

■.-a,b,c都是小于：L的正數(shù)，

1-a,1-b,1—c都是正數(shù).

(l-b)+C1

同理------:——>-,

(l-a)+b(l-b)+c(l-c)+a3

三式相加，得------——+-——-——+-——-——>-,

7777

Jv///

nQ

即一》一,矛盾.

,1

所以(1一a)b,(1—b)c,(1—c)a不能都大于一.

4

1

方法二假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于一，

4

即

三式相乘得(1—a)b(l—b)c(l—c)a>(-)3.0

4

因?yàn)樗砸病?lt;_。)jl-a+a)vj-a+a]=-

k2JI2J4

第7頁共11頁

同理0<b(l-b)4—,0<c(l-c)<—.

44

所以(1—a)a(l—b)b(l—c)cs(1尸.②

4

因?yàn)棰倥c②矛盾，所以假設(shè)不成立.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，方程工+3=1表示x,y軸上的截距分別為a,b的直線，類比到空間直角坐

標(biāo)系中，在x,y,z軸上截距分別為a,b,c(ab"O)的平面方程為()

X.V.Z

a~bT+Tb~e~I—ca

xv.vz.zx.

c.-1t--F*—|-----=1

abbeca

D.ax+b+cz=1

【答案】A

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，方程工+3=1表示的圖形是一條直線，具有特定性質(zhì)："在x軸，y軸

上的截距分別為a,b".類比到空間坐標(biāo)系中，在x,y,z軸上截距分別為a,b,c(ab?O)的平面方程為

工+,+==1.故選A.

abc

17.將所有正偶數(shù)按如圖方式進(jìn)行排列，則2016位于()

第

1x?

f丁:24

第2X.

T

rr81012

第-:6

3z丁

f

第

一:14161820

4z2224

[fT:2628303234363840

A第30行B.第31行C.第32行D.第33行

【答案】C

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

第8頁共11頁

【解析】由于題意可得：第n行的最后一個(gè)數(shù)為2[n(n+1)].

令n=31，最后一個(gè)數(shù)為1984令n=32>最后一個(gè)數(shù)為2112.

2016位于第32行.

18.用數(shù)學(xué)歸納法證明3、+1+520+1(但刖能被8整除時(shí)，當(dāng)n=k+l時(shí)，3%+1)+1+5陽+1)+1可變形

()

A.56X34A-+1+25(3U+1+52/C+1)

B.34/C+1+52/C+1

C.34x34k+l+52x52^+l

D.25(34k+l+52^+l)

【答案】A

【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法

【解析】當(dāng)n=k+l時(shí),34<k+l)+1+52<k+l)+l=34x34k+H-25x52k+l=56x34k+l+25(34k+H-52k+l),

兩個(gè)表達(dá)式都能被8整除.

19.在平面幾何里，有勾股定理："設(shè)八一工5。的兩邊AB,AC互相垂直，則IABr+IAC『=IBC『".拓展到

空間，類比平面幾何的勾股定理，"設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面匕，兩兩相互垂直,

則可得"()

^.\AB\2+\AC\2+\AD\2=\BC\2+\CD\2+\BD\2

B-'S^-ACD'母=S<BCD

C-S，_ABC++$二皿=5二BCD

D.\AB\2X\AC\2X\AD\2^\BC\2X\CD\2X\BD\2

【答案】c

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

【解析】由邊對(duì)應(yīng)著面，邊長對(duì)應(yīng)著面積，

如圖所示.由類比可得

S,一+S'_，CD+S'_=S._BCD-

20.我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的"調(diào)日法〃是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)

bd,、.、一.、b+d

實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為一和一(《b：cdw、)，則------是x的更為精確的不

aca+e

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足近似值或過剩近似值我們知道,T=3.14159---,若令—<R<---,則第一次用"調(diào)日法"后

:1015

163116

得一是不的更為精確的過剩近似值，即一<萬<一，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第四次用"調(diào)日

5105

法”后可得兀的近似分?jǐn)?shù)為（）

70

A.——

■

63

B.——

20

78

C.——

2A

109

D.------

35

【答案】A

【考點(diǎn)】合情推理與演繹推理

，?

［解析］—?-------一

4，UM-----------；---------------—?-----------?

??，

163116

第一次用"調(diào)日法"后得丁是H的更為精確的過剩近似值，即—<7T<—:

105

474716

第二次用“調(diào)日法"后得——是n的更為精確的過剩近似值，E不---<<—；

15155

6347