高中數(shù)學第四講 雙曲線

第四講雙曲線

0夯基礎考點練透

1.［2020浙江,4分］已知點0(0,0),A(-2,0),B(2,0).設點P滿足|PAHPB|=2,且P為函數(shù)丫=3反正圖象上的點,則

|0P|=()

A考B.FC.V7D.VW

2.［2021大同市調研測試］已知雙曲線C與拋物線x'8y有共同的焦點F,且點F到雙曲線C的漸近線的距離等于1,

則雙曲線C的方程為()

A.^-X2=1B.jl

33

C.^-x2=lD.y$l

55

22

3.［2021鄭州名校聯(lián)考第一次調研］已知雙曲線2-9=l(a>0,b>0)的漸近線與圓(x-l)2+y2=sin2130°相切，則該雙曲

線的離心率e等于()

A.—i―B.—i—C.2sin50°D.2cos50°

sinSOcos50

4.［2021四省八校聯(lián)考］若P是雙曲線x2-/=l上一點，以線段P0(0為坐標原點)為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近

線分別交于不同于原點的A,B兩點，則四邊形PAOB的面積為()

A.i1B.1iC.1D.2

32

22

5.［2020天津,5分］設雙曲線C的方程為"-9=1(a>0,b〉0),過拋物線y2=4x的焦點和點(0,b)的直線為1.若C的一

azb2

條漸近線與1平行，另一條漸近線與1垂直，則雙曲線C的方程為()

A.匕匕1BY-匕1

444

C.--y2=lD.x2-y2=l

4」」

6.［2020南昌市測試］圓C:x2+y2-10y+16=0上有且僅有兩點到雙曲線三-*1(a>0,b>0)的一條漸近線的距離為1,則

a4y

該雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(V2,V5)B.(|,|)C.(|,|)D.(V5,V2+1)

7.［多選題］已知雙曲線1-〈=sin2。(0rkjkGZ),則不因。變化而變化的是()

42

A.焦距B.離心率

C.頂點坐標D.漸近線方程

2

8.[2020江西紅色七校第一次聯(lián)考]雙曲線C:xs-十1的左、右焦點分別為宿,Fz,點P在C上且tanZF,PF2=4V3,0

為坐標原點,則10P|=.

提能力考法實戰(zhàn)

9.[2021安徽省示范高中聯(lián)考]已知點F為雙曲線C:^-g=l(a>0,b>0)的右焦點,直線y=kx,ke喙四與雙曲線C

交于A,B兩點，若AFLBF,則該雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.[V2,V3+1]B.[V2,V2+V6]

C.[2,V3+1]D.[2,V2+V6]

22

10.[2021江西九江三校聯(lián)考]已知雙曲線京春=l(a>0,b>0)的離心率為2,H,Fz分別是雙曲線的左、右焦點，

M(-a,0),N(0,b),點P為線段MN上的動點，當耐?時取得最小值和最大值時，△PFR的面積分別為SbS2,則會=

()

A.4B.8C.2V3D.4舊

丫222

11.[2021河南省名校第一次聯(lián)考]已知F.,F?分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點,過F.(-c,0)作x軸的垂

線交雙曲線于A,B兩點，若/RAF2的平分線過點M(qc,0),則雙曲線的離心率為()

A.2B.V2C.3D.V3

12.[2020洛陽市第一次聯(lián)考]已知雙曲線C:4-g=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為K(-c,0),F2(c,0),A,B是圓

a2b2

6+<:)2+/=4/與雙曲線C位于x軸上方的兩個交點，且RA〃FzB,則雙曲線C的離心率為()

A2B*CNDN

3344

22

13.[2021河北省六校第一次聯(lián)考][多選題]己知雙曲線q-￡=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,雙曲線的左

焦點在直線x+y+V5=0上,A,B分別是雙曲線的左、右頂點，點P為雙曲線右支上位于第一象限的動點,直線PA,PB

的斜率分別為kl(k2)則L+底的取值可能為()

A.-B.1C.-D.2

43

團創(chuàng)新預測

14.[2020惠州市二調][新定義題]我們把焦點相同、離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”.已知

F“W是一對相關曲線的焦點,P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當NRPFz=60°時,這一對相關曲線中雙曲線的

離心率是()

A.V3B.V2C.—D.2

3

15.[遞進型]在平面直角坐標系中，若雙曲線的漸近線方程為2x±y=0,且該雙曲線經過點G，1),則該雙曲線的標準

42

方程為，焦點坐標為

答案

第四講雙曲線

目I夯基礎?考點練透

1.D由|PA1-|PB|=2<|AB]=4,知點P的軌跡是雙曲線的右支，點P的軌跡方程為x?-學1(x》l),又y=3V^^,所以

X?書,y言,所以IOPI=〃2+y2=+魯國,故選D.

2.A拋物線xMy的焦點為F(0,2),因為雙曲線C與拋物線x?=8y有共同的焦點,所以雙曲線的半焦距c=2,設雙曲

線方程為學名=1(a>0,b>0),則其漸近線方程為y=±^x,即ax±by=O,點F(0,2)到漸近線的距離為7駕衛(wèi)=1,所以

b=l,所以a2=c2-b2=3,故雙曲線的方程為9-x2=l,故選A.

3.B根據(jù)對稱性，取雙曲線的一條漸近線bx-ay=O.

El(x-l)2+y2=sin2130°的圓心為(1,0),半徑r=sin130°=sin50°.因為漸近線與圓(xT)'+yJsirT130°相切，所以

2

而bks】?n5「0co，所仁「以【、1匕后2二sin有S0°

所以e=-=+容[二—^―.故選B.

211+。：2；：

ayjayc?os50cos50

4.B解法一由題意,知該雙曲線的漸近線方程為y=±x,所以該雙曲線的兩條漸近線互相垂直.因為0P為圓的直

徑,點A,B在圓上,所以NOAP=/OBP=90°,所以四邊形PA0B為矩形.設點P(x[,外)，則點P到兩條漸近線的距離分別

為，出言,所以四邊形PA0B的面積為當匚.又點P(x?y)在雙曲線x^yJl上,所以好-尤=1,

所以SmaiK1',?=-^^—=1,故選B.

解法二如圖D9-4-1,由題意，點P為雙曲線上任意一點，不妨設點P為雙曲線的右頂點，即P(l,0).易知雙曲線的

漸近線方程為y=±x,所以該雙曲線的兩條漸近線互相垂直.因為0P為圓的直徑，點A,B在圓上,所以

Z0AP=Z0BP=90o.又點P(l,0)到兩條漸近線的距離均為當所以四邊形PA0B為正方形,所以S喊.=(紗號故

選B.

圖D9-4-1

5.D解法一由題知y』x的焦點坐標為(1,0),則過焦點和點(0,b)的直線方程為x+9,而今\=1的漸近線方程

為馬白。和上白0,由1與一條漸近線平行,與一條漸近線垂直,得a=l,b=l,故選D.

abab

解法二由題知雙曲線C的兩條漸近線互相垂直,則a=b,即漸近線方程為x±y=O,排除B,C.又知y2=4x的焦點坐標

為(1,0),1過點(1,0),(0,b),所以等=-l,b=l,故選D.

6.C不妨設該漸近線經過第二、四象限,則該漸近線的方程為bx+ay=0.因為圓C:x2+(y-5)2=9,所以圓C的圓心為

(0,5),半徑為3,所以2＜7畀＜4,結合a2+b2=c2,得;《號所以該雙曲線的離心率的取值范圍是。認故選C.

22222

7.BD由題可得,雙曲線方程可化為三三二1,.■2=4sin20,b=2sin0,c=6sin0,則e=^,漸近線方程為

4sin202sin20a22

y=±2x=±1x,.?.不因0變化而變化的是離心率和漸近線方程.故選BD.

a2

8.V5因為tanZF,PF2MV3,所以sin/FFF產竽,cos/FFF再.

ooo

由余弦定理得IF1F2I=］PF1I+|PF2|-2IPFJ?|PF2|?COSZF1PF2)

所以|招「2『=|「居|2+護「2|2-舁呼||?|PF/=16,

又I|PFi|-|PF川=2,所以|PF卜|PFj=7,

貝|J△FFF2的面積為六|PFJ-PF/?sinZF,PF2=2V3.

2

設P(x。,y0),因為的面積為：?2c?|y。|=2次,所以|y。仁百,代入x~^l得詔=2,所以

10P|=y/x^+yJ=V2+3=V5.

目〕提能力?考法實戰(zhàn)

9.A解法一設直線y=kx的傾斜角為a,則k=tanae俘同，所以a€.設點A在第一象限,雙曲線的左

焦點為F',0為坐標原點,則/A0F=a,連接F'A,F'B,由AF±BF,根據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形F'BFA為矩形,所

以IFF'|=|AB|=2c,所以10A|=c,則A(ccosa.csina),代入雙曲線方程可得，2等-駕獸=1,即江等學用1,

a2b2a2c2-a2

所以eWa_予=1,所以e'cola-21+1=0,可得62=^^=^^=^,貝ij5=-^_或,=_2_(舍去)，即

ez-l2cosza2coszacosza1-sina1+sina

e^—,5La晝號,勺，所以2?5?2=4+2b=(百+1)2,所以應?6忘舊+1.故選人.

1-sma632V3

解法二設直線y=kx的傾斜角為a,則k=tanae［爭同，所以ae阜具設點A在第一象限,雙曲線的左焦點

為F',0為坐標原點，則/A0F=a,連接F'A,F'B,由AF1BF,根據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形F'BFA為矩形,所以

IFF'HAB|=2c,則NABF(,在直角三角形ABF中，|AF|=2csin*|BF|=2CCOS要由對稱性可得|AF'|=|BF|=2ccos1由

雙曲線的定義可得,2a=|AF'HAF|=2c(cos.sin》所以e=—~^=方心,因為a右白舁所以尹衿耳等，

則夜cos(＞？e［第,學，所以eG［夜，仔1］,故選A.

解法三設直線y=kx的傾斜角為a,則k=tanaG［手,百］,所以aGJ；］.設點A在第一象限,雙曲線的左焦點

363

為F',0為坐標原點，則NA0F=a,連接F'A,F'B,由AF1BF,根據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形F'BFA為矩形,所以

|FF，|=|AB|=2C,所以IOAI=c.當a=-

6

時，IAF|=Jc2+c2-2c2cosg力2-百「5%,NAOF'=詈，］AF'l=Jc2+c2-2c2cos,=\/2+根據(jù)雙曲線

的定義可得,2a=|AF'HAF產方c,所以e=&.當a三時,^OF為正三角形，所以

|AF|=c,/AOF'哼|AF'|=卜+c2-2c2cos*gc,根據(jù)雙曲線的定義可得,2a=|AF'HAF|=(百-l)c,所以

e=V3+l.所以或We〈V5+l,故選A.

10.A由雙曲線的離心率為2,可知c=2a,b=V3a,則N(0,岳),為(-2a,0),J(2a,0),線段MN的方程為

y=(一aWx<0).設P(xo,V3xo+V3a),-a^xo^O,則PF；=(-2a-xo,~V3xo~V3a),PF；=(2a-xo,-V3xo-V3a),所以

JJ

PF；?PF2=(-2a-x0)(2a-xo)+(-V3x0-\/3a)=4XQ+6ax0-a(-a^xo^O).當x0=-^a時,PF；?PF；取得最小值,此時P(-

^a,ya),貝(JS】=2aX乎a《a1當xo=O時,PF；?PF；取得最大值,此時P(0,V3a),貝I」S2=2aXV3a=2-73a".所以

諾翁4.故選A.

ll.D由題知，|MF」=|c,|限|小，|AF』0,又|AF?HAF"=2a,則|AFz|=2a+Q,由角平分線性質得給=若，即

33aaIMF21IAF21

b2

化簡得b2=2a2,月亍以eq=Jl+g=V3,故選D.

2a+?2,

12.C如圖D9-4-2,連接BB,AF2,由雙曲線的定義知，|AFzHAFj=2a,|BF，HBFz|=2a,由|BFi|=|AF/=2c,可得

|AF?|=2a+2c,|BFj=2c-2a,在△AFE中，由余弦定理可得在△BFR中,由余弦

2?2c?2c2cz

定理可得cosNBFZR/C*(2c-ja)J4cZ由RA〃F?B,可得NBFZFI+NAFR=n,則有cosNBFF+cosNAFFzR,即

=o,整理得2c2-3ac-a2=0,可化為Ze^Te-FO,解得e=字或e=f(舍去)，所以雙曲線C的離心率為

巴2c等z穹2c44

史包.故選c.

4

圖D9-4-2

13.CD由雙曲線捺-，=l(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,可得a=2b,由雙曲線的左焦點在直線x+y+遍=0

上,可得c=V5,則a2+b2=5,得a=2,b=l,雙曲線的方程為。-/=1,由題意可得A(-2,0),B(2,0),設P(m,n)(m>2,n>0),

貝即一^7=；,k,k2=-^?"jJ,易知kDO,k2>0,貝ijL+kz22庖Q=l,當且僅當ki=kz時"=”成立.由A,B

4m