高中數(shù)學(xué)高考知識點總結(jié)附有經(jīng)典例題

教學(xué)

高一數(shù)學(xué)必修1知識網(wǎng)絡(luò)

集合

函數(shù)

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對數(shù)的真數(shù)大于零：4、指

數(shù)函數(shù)和對■數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中+

余切函數(shù)丁二＜：01五中；6、如果函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取

值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換兀法；2、配方法；3、判別式法；4、兒何法；5、小等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法：2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法

王、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、假設(shè)/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù),則/(x)+g(x)在這個區(qū)間上也為增(減)

函數(shù)

2、假設(shè)/(幻為增(減)函數(shù)，則-/(幻為減［增)函數(shù)

3、假設(shè)/(%)與g(x)的單調(diào)性相同,則y=〃g(x)］是增函數(shù);假設(shè)/(x)與g(x)的單調(diào)性不

同，則y=/［g(x)］是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比擬大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果-■個奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個函數(shù)y=/(x)既是奇函數(shù)又是偶

函數(shù)，則/(幻二0］反之穴成立)

2、兩個奇I：偶)函數(shù)之和(差)為奇〔偶)函數(shù)：之積〔商)為偶函數(shù)。

3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個函數(shù))，=/(〃)和〃=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函

數(shù)就是偶函數(shù)；當兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、假設(shè)函數(shù)j\x)的定義域關(guān)于原點對稱，則j\x)可以表示為

/(x)=-[fM+/(-x)]+-[/(x)-/(-x)],該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函

22

//

/(1.0

〃為奇數(shù)/aj)

一y

f11奇函數(shù)

q為奇數(shù).1.-1)/.

二//

1

p為奇數(shù)\aj)

g為偶數(shù)■---------------

十一I-----卜卜tJ1

P為偶數(shù)

偶函數(shù)

g為奇數(shù)-i-----------------------—t------1—1A(-1.1)\J

第一象限

減函數(shù)增函數(shù)過定點（0,1）

性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)必修2知識點

一、直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角c特別地，當直線與入軸平行或重合時，我

們規(guī)定它的傾斜角為。度。因此，傾斜角的取值范圍是0°^0＜180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即

Katana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當?！辏?°,90）時，/:＞（）；當a￡（90,180）時，2＜（）；當a=90°時，我不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：攵="二&（凡,々）

“2一%

注意下面四點：（1）當芭=々時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

（2乂與P、P2的順序無關(guān)：（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得：

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。

⑶直線方程

①點斜式：＞一切=攵（工一玉）直線斜率幺且過點（x，x）

注意：當直線的斜率為0°時，k=0,直線的方程是）二月。

當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因/上每一點的橫

坐標都等丁?汨，所以它的方程是XT”

②斜截式：），二女工+人，直線斜率為h直線在y軸上的截距為。

③兩點式：上二2L=—L㈠產(chǎn)人,y尸％）直線兩點（％，X）,（如必）

必一y%"

④截矩式：-+^=1

ab

其中直線/與x軸交于點3,0）,與y軸交于點（0,力）,即/與x軸、），軸的截距分別為九

⑤一般式：Ax+By+C=0（A,8不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于x軸的直線：y=bM為常數(shù)”平行于y軸的直線：x=a⑦為常數(shù)）；

(5)直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

(一)平行直線系

平行于直線4工+綜)，+孰=0(兒,4。是不全為0的常數(shù))的直線系：A)x+8°y+C=0(C

為常數(shù))

(二)過定點的直線系

(i)斜率為4的直線系：丁一%=左(工一%)，直線過定點(”,比)；

(ii)過兩條直線丸：Ax+與y+G=0，/2：&工+32》+。2=0的交點的直線系方程為

(A,x+B,y+C.)+2(Ax+H2y+C2)=0(4為參數(shù))，其中直線4不在直線系中。

(6)兩直線平行與垂直

當4:y=3+4,12:y=冗+%時，

/］〃/2<=>左］=&2，〃1。；/］~L，2=工［42=—1

注意：一利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

(7)兩條直線的交點

/.r^x+B.y+C,=0l2:A2x-^B2y+C2=0相交

交點坐標即方程組［Ax+用y+G=°的一組解。

&x+B2y+C2=0

方程組無解=/J〃2；方程組有無數(shù)解=/1與。重合

(8)兩點間距離公式：設(shè)4x，y),戈)是平面直角坐標系中的兩個點，

貝UIAB|=，(.一%)2+(必一%)2

(9)點到直線距離公式：一點Mx。,,、。)到直線丸：Ai+8)，+c=o的距離4=空±也q

JA?+B2

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。

二、圓的方程

k圓的定義：平面內(nèi)到?定點的距離等于定長的點的集合叫圜，定點為圓心，定長為圓的半徑。

2、圓的方程

(1)標準方程(工一〃>+()，一斤二/,圓心(〃4)，半徑大門

(2)一般方程/+52+9(+或+7r=o

當。2十￡2-4方>0時，方程表示圓，此時圓心為卜2,_g)，半徑為r=；、心+E—F

當。2+￡2-4/=0時.，表示一個點；當。2+石2-4尸〈0時，方程不表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，假設(shè)利用圓的標準方程，

需求出a,b,r；假設(shè)利用一股方程，需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，柱切，相交三種情況，根本上由以下兩種方法判斷：

(1)設(shè)直線/:Ar+ey+C=0,圓C:(x-a)2+()，—〃)2=/,圓心C(。/)到/的距離為

」羽+劭+<,則有與c相離；"=〃0/與1目切；dv〃o/與交

(2)設(shè)直線/:Ar+8)，+C=(),圓C:(x-a)2+(y-b)2=，，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二

次方程之后，令其中的判別式為△,則有

△vOo/與。相離；△=0。/與(^目切；△>0=/與。相交

注：如果圓心的位置在原點，可使用公式XX。+)少0二都去解直線與圓相切的問題，其中(項)，凡)表

示切點坐標，?■表示半徑。

⑶過圓上一點的切線方程：

①圓心+”=凡圓上一點為（xo,yo）,則過此點的切線方程為xq+yyo=戶（課本命題）.

②圓（x-4尸+仆功產(chǎn)=/,圓上一點為的，泗）,則過此點的切線方程為的-a）CW+（yo-勿。助二r2（課本命題的

推廣）.

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距3）之間的大小比擬來確定。

設(shè)圓G：（x~ai）2+（y-仇F=f'21G:（X—a2）?+（'一名尸=R2

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（4）之間的大小比擬來確定。

當d>R+尸時兩圓外離，此時有公切線四條：

當△=??+〃時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當R-rvdvR+廠時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線;

當d=|R—“時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線;

當時，兩圓內(nèi)含；當”=0時，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱:咚有加￡面互相平行,其余各典都里制邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平

隊型城慚圍成的幾何體?！?/p>

校柱、四棱柱、五棱柱給J、、

分類:以底面軍力影的g等為分類的標準紛、住、c

次鯽對角線的甥癌明7

表示：用各頂I【胭，M^^ABCDE"BDDb棱柱人萬

幾何特征:MHI0XJ城上平行的全等彩叨法.?側(cè)而1％麗都您科御醞麗梭午行且相等；平行

底面

側(cè)限峨嗎釀E與底面全勺多邊形。

A

（2）棱錐A

\頂網(wǎng)點B下底面

定義：有一個面是翹形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐P-A2coz'

幾何特征：側(cè)面、對■角面都是三角形；平行「底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與

高的比的平方。

（3）棱臺：定義：川一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的局部

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺P-ABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三力旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的兒何體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。

（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的局部

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形。

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖〔光線從幾何體的前面向后面正投影）：側(cè)視圖1從左向右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺體的外表積與體積

（1）幾何體的外表積為幾何體各個面的面積的和。

（2）特殊幾何體外表積公式（c為底面周長，h為高，〃為斜高，I為母線）

(3)柱體、錐體、臺體的體積公式

(4)球體的外表積和體積公式：V球乃內(nèi)；S球面=4知A?

4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系’

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、8、丫表示，如平面a(通常寫在一個銳角內(nèi))；

也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③點與平面的關(guān)系：點A在平面。內(nèi)，記作Awa；點A不在平面。內(nèi)，記作Ae。

點與直線的關(guān)系：點A的直線/上，記作：A^l；點A在直線/外，記作4任/；

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)，記作/<=a；直線/不在平面a內(nèi)，記作/Za。

(2)公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。

(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線)

應(yīng)用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號語言表示公理1：

(3)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面：兩相交直線確定一平面：兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線

符號：平面a和B相交，交線是a,記作aAB=a。

符號語言：PeArB=>ACB=l,Pel

公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。

③它可以判斷點在直線上，即證假設(shè)干個點共線的重要依據(jù)。

(5)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線。、。是異面直線，經(jīng)過空間任意一點0,分別引直線a'〃a，by/b,則把直

線"和從所成的銳角(或直角)叫做異面直線。和〃所成的角。兩條異面直線所成角的范隹是(0°,

90°I，假設(shè)兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。

說明：(I)判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理

(2)在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關(guān)。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的

位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

(7)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。

(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點.

三種位置關(guān)系的符號表示：auaana=Aa〃a

(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒有公共點；

相交一一有一條公共直線。aP8=匕

5、空間中的平行問題

(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。

線線平行=線面平行

線面平行的性質(zhì)定理，如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行二線線平行

(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個平面平行的判定定理

(I)如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

(線面平行一面面平行)，

(2)如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。

(線線平行一面面平行)，

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行，

兩個平面平行的性質(zhì)定理

(1)如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個包面平行。(面面平行一線面平行)

(2)如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。(面面平行一線線平行)

7、空間中的垂直問題

(1)線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直，

②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形)

是直二面角(平面角是直角)，就說這兩個平面垂直。

(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面，

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

9、空間角問題

(1)直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0，

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線。，〃平行的直線b',形成

兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

(2)直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0:②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90°。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的?條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個

平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算"。

在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，

在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：(1)斜線上一點到面的垂線；(2)過斜線上的一點或過斜線

的平面與面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，

這兩個半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條

射線所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面用是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那

么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角

7、空間直角坐標系

定義：如圖，是單位正方體.以為原點，

(1)08co-DA6CAB,7~

分別以0D,0A,0B的方向為正方向,建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。

這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.

---------

1)0叫做坐標原點2)x軸，y軸，7.軸叫做坐標軸.3)過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面八

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方

向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。

(3)任意點坐標表示：空間一點M的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組(.%)，,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x,)，,z)叫做

點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x,)，,z)(x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z

叫做點M的豎坐標)

2—2—2

14)空間兩點距離坐標公式：d=^(x2—xt)+(J2Ji)+(z；zt)

高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算依初步

?秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計算逐步得出高次多項式的值，對于一個n次多項式,

只要作n次乘法和n次加法即可。表達式如下：

例題：秦九韶算法計算多項式3/+4/+5/+6/+7,+8x+l,當x=0.4時，

需要做幾次加法和乘1去云算？答案：6，6

?理解算法的含義：?般而言，對于一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有

廣泛的含義，如：播送操圖解是播送操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的算法…

(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計語言(本書指偽代碼).

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個或

多個。沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每?步都必須是可執(zhí)行的，即每?步都可以通過手工或者機器在?定時間內(nèi)

可以完成，在時間上有一個合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運算，邏輯運算，函數(shù)運算，關(guān)系運算等②控制結(jié)構(gòu):順

序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

?流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的

一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：L畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2,拿不準的時候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點而出大致的流程，反過來再檢查，比方.：遇到判斷框時，

往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個條件是

否正確，再考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方法了。

3.在輸出結(jié)果時，如果有多個輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到

I

II.選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure)：或者稱為分支結(jié)構(gòu)，其中的判斷框，書寫時主要是注意臨界

條件確實定。它有一個入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行，其中的A,B

兩語句可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是說明在某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不

成立時，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。

III.循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure)：它用來解決現(xiàn)實生活中的重復(fù)操作問題，分直到型(until)和當型

(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時［即不知道循環(huán)次數(shù)時)

用當型循環(huán)。

?根本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseudocode),且是使用BASIC語言編寫的,

是介于自然語言和機器語言之間的文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法。

偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)

一，防止引起混淆。如：賦值語句中可以用，也可以用尤―y;表示兩變量

相乘時可以用“*〃，也可以用“x〃

I.賦值語句(assignmentstatement)：用<-表示，如：x<—y,表示將y的值賦給x,其中

x是一個變量，y是一個與x同類型的變量或者表達式.

一般格式：”變量-表達式〃，有時在偽代碼的書寫時也可以用=,但此時的

“=”不是數(shù)學(xué)運算中的等號，而應(yīng)理解為一個賦值號.

注：1.賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達式，右邊可以是常數(shù)或者表達式。“二〃具

有計算功能。如：3=a,b+6=a，都是錯誤的，而a=3*5-1,a=2a+3

都是正確的。2.一個賦值語句一次只能給一個變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,

c=2都是錯誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

p<—x

px

X<—V

x<-y,同樣的如果交換三個變量X,y,Z的值：

)，-z

z〃

II.輸入語句(inputstatement):Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,b

輸出語句(outstatement)：Printx,y表示一次輸出運算結(jié)果x,y

注：L支持多個輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！2.Read語句輸入的只能是變量而不是表

達式3.Print語句不能超賦值語句，意旨不能在Print語句中用"=4.Print語句可以輸

出常量和表達式的值.5.有多個語句在一行書寫時用“；"隔開.

例題：當x等于5時，Print"x=";x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5

III.條件語句(conditionalstatement)：

1.行If語句：IfAThenB注：沒有EndIf

2,塊If語句：注：①不要忘記結(jié)束語句EndIf,當有If語句嵌套使用時，有幾個

If,就必須要有幾個EndIf②.ElseIf是對上一個條件的否認，即已經(jīng)不屬于上面的條件，

另外ElseIf后面也要有Endif③注意每個條件的臨界性，即某個值是屬于上一個條件

里，還是屬于下一個條件。④為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進書寫。格式如下：

Reada,b,u

或者Ifa2banda2cThen

注：1.同

Printa

2.也ElseIfb2cThon數(shù)

IV.循環(huán)語句(cyclestatement)：?當事Printb吏是N次也

與循環(huán)結(jié)構(gòu)

是次數(shù)的循環(huán)?當循環(huán)次數(shù)不確定時用While1Else

的兩種循環(huán)相對應(yīng).

II

ki-xzx_AJJIAL_,—J/fz_qj--juk?JZj?While一工_________________________

DoWhilepDo

*…H股在解次有

Loop當型Do循環(huán)bLoopUntilp直到型Do循環(huán)While循環(huán)

le

可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時條件要相應(yīng)變化5.注意臨界條件的判定.

例題：設(shè)計計算Ix3x5x...x99的一個算法(見課本心I)

???

??

??

顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題U讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代

碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。

2.在具體做題時，可能好多的同學(xué)感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比擬好寫，

你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法，后畫

流程圖，最后寫偽代碼。

3.書寫程序時一定要標準化，使用統(tǒng)一的符號，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版

本，可能同學(xué)會看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時還會碰到我們沒有見過的語言，希望大

家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！

高中數(shù)學(xué)必修4知識點

2、角。的頂點與原點重合，角的始邊與工軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱。

為第幾象限角.

第一象限角的集合為{。卜360<a<k-360+90,twZ}

第二象限角的集合為{0卜360+90<h360+180JeZ}

第三象限角的集合為{。k360+180<a<k-360+270JeZ}

第四象限角的集合為,卜360+270<avh360+360,kwZ}

終邊在x軸上的角的集合為口卜二h180MwZ}

終邊在y軸上的角的集合為{a|a=h180+90,AeZ}

終邊在坐標軸上的角的集合為卜卜=h90，心Z}

3、與角a終邊相同的角的集合為{尸忸=H36()+a,Awz}

4、a是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分〃等份，再從x軸

的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則a原來是第兒象限對應(yīng)的標號

即為巴終邊所落在的區(qū)域.

n

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

6、半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,則角。的弧度數(shù)的絕對值是|閡=1.

7、弧度制與角度制的換算公式；27r=360?1=*-,1=（史^?57.3.

18014J

8、假設(shè)扇形的圓心角為a（a為弧度制），半徑為，弧長為/,周長為C,面積為S,則/=”a|,

C=2r+l,S=—lr=—\a\r2.

2211

9、設(shè)。是一個任意大小的角，。的終邊上任意一點P的坐標是（x,y）,它與原點的距離是

7?('=+),2>o),貝ijsina=2,coscr=—,tana=—(x^O).

10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正,

第四象限余弦為正.

11、三角函數(shù)線：sina=MP,cosa=OM,tantz=AT.

12、同角三珀函數(shù)的根本關(guān)系：(Dsin?a+cos?1/

(sin2a=1-cos24z,cos2a=1-sin2a\；(2)S^na=tana/

\,cosa-o[MJA-5

(.sina)1J/

sincz=tanacosa,cosa=------.^-4-^

\tanczJ

13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

(l)sin(2Z〃+a)=sina,cos(2^+a)=cos(z,tan(24〃+a)=tana(Z6Z).

(2)sin("+a)=-sina,cos(4+cr)=-cosa,tan(^4-cr)=tana.

(3)sin(-a)=-sincr>cos(-cr)=cos<7,tan(一。)=-tana.

(4)sin(4一a)=sina,cos(^-cr)=-coscr,tan(zr-a)=-tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

71'乃

(6)sin—+a\=cosa,cos|—+a=-sina.

12

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.

14、閑數(shù)），=smx的圖象上所有點向左[右）平移倒個單位長度，得到函數(shù)尸sin（x+c）的

圖象；再將函數(shù)），=sin（x+?）的圖象上所有點的橫坐標伸長〔縮短）到原來的十倍（縱坐

標不變），得到函數(shù)尸sin（s+e）的圖象；再將函數(shù)尸則（的+"的圖象上所有點的縱

坐標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數(shù)），=Asin（5+協(xié)的圖象.

函數(shù)），=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標不變），得到函

co

數(shù)

），=sinox的圖象；再將函數(shù)丁=。]5：的圖象上所有點向左（右）平移回個單位長度，得

CD

到函數(shù)尸sin（3+e）的圖象；再將函數(shù)尸sin?x+8）的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮

短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數(shù)），=Asin?x+0）的圖象.

函數(shù)y=Asin（69x+0）（A>（）,0>O）的性質(zhì)：

①振幅：A；②周期：T=—；③頻率：f=-=-^~；④相位：（ox+（p\⑤初相：（p.

（0T2兀

函數(shù)y=Asin（〃z￥+°）+B,當x=為時，取得最小值為）；當工=天時，取得最大值為）%ax，

[]T

則人=5（）裝一）?。珺.Qmax+ymin），不二%-X（再<9）?

y=tanx

定義域RR

值域[T1][-U]R

當x=2k7r+—(Z:eZ)當x=2A;r(Z￡Z)時，

2

最值既無最大值也無最小值

時；％ux=l；當Xnax=l；當X=2版?+/

x=2KTT-----(kwZ)時,y加二T?

2

（&eZ）時，ymin=-l.

周期性272兀71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2k兀一片,2k兀+%

在［221-。,2）句（左wZ）上

在k兀一%,k7i+專）

（ZeZ）上是增函數(shù)；在是增函數(shù)；在

虺調(diào)性

［2攵乃,2&4十句

2k,九H—,2kjrH------伏cZ）上是增函數(shù).

_22_

（AsZ）上是減函數(shù).

（火eZ）上是減函數(shù).

對稱中心

對稱中心（6r,0）（“Z）對稱中心

卜乃琮,0卜七Z）

對稱性對稱軸x=攵4+?攵wZ）（當，0，eZ）

對稱軸x=k7T（kGZ）無對稱軸

16、向量：既有大小，又有方向的量.

數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點、方向、長度.

零向量：長度為。的向量.

單位向量：長度等于1個單位的向量.

平行向量1共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向量.

17、向量加法運算:

⑴三角形法則的特點：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點：共起點.

⑶三角形不等式：

|17|-|/?||<a+b|?|+W.

?+K=AB+AD=AC

⑷運算性質(zhì)：①交換律：J+K=AB+BC=AC

〃+〃=〃+?；②結(jié)合律：（4+o）+e=ci+（z?+i）；③a+o=o+g=a.

⑸坐標運算：設(shè)5=（不，,），b=［x2,y2）,則=（陽+￡,y+必）?

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.

⑵坐標運算：設(shè)4=（芭,）［）,人=（毛,%），則4一人?

設(shè)A、B兩點的坐標分別為（歷,）［）,（七,%），則AB=（%——必）?a-b=AC-AB=BC

19、向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)4與向量。的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作及，.

①|(zhì)同=回向;

②當%>0時，而的方向與。的方向相同；當/IvO時，2〃的方向與。的方向相反；當2=0時，,

Aa=0.

⑵運算律：①=；②（％+〃）〃=%+〃〃：@X（a+=AdXb.

（3）坐標運算:設(shè)<5=（x,y）,則然="%,y）=（Ar,、y）.

20、向量共線定理：向量。（。工0）與人共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)2,使〃=/U.

設(shè)d=a，y）,Z?=（x2,y2）,其中6H0,則當且僅當％必一WX=。時，向量。、〃,工0）共線.

21、平面向量根本定理：如果e、e；是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向

量。，有且只有一對實數(shù)4、％,使。=4q+/l2G.（不共線的向量e；、e；作為這一平面內(nèi)所有向量

的一組基底）

22、分點坐標公式:設(shè)點P是線段PR上的一點，P1、P2的坐標分別是（X，X），（七,％），當PF=2PP2

‘內(nèi)+在y+4y2

時,點P的坐標是

、1+41+4

23、平面向量的數(shù)量積：

（Da/=|磯司cose（〃工0⑦工0,0<6><180）.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì)：設(shè)。和人都是非零向量，則①〃。。/=（）.②當。與人同向時，〃/=同Z?：當。馬b

反向時，a-b=-\a\b；=標=|〃『或同=?"了.③《同〃

⑶運算律：①a,b=b?a；②=%(〃?/?)=4?(2Z?)；③(4+/?)?[=a?[+〃.

⑷坐標運算：設(shè)兩個非零向量4=（%,yj,〃=（七,%），則以.〃=%/+乂）’2?

假設(shè)a=(x,y),則同2=/+/2,或同=Jf+y2.

設(shè)a=(%],y),Z?=(x2,y2),則d=玉/+)'i)'2=0?

設(shè)a、〃都是非零向量，%=（4X），人=（赴，%），。是〃與匕的夾角，則

2=￡±叩2

同仰=&；）,/；￡,

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

⑴cos(a一夕)=cosacos/+sinasin夕;

(2)cos(<z+^)=cos(zcos/?-sinasin0；

⑶sin(a-/7)=sinacos￡-cosasin/?；

(4)sin(a+/?)=sinorcosfl+cosasinp；

tana-tan夕

⑸tan(a-/?)=tana-tan0-tan(a—/?)(1+tanabin°、):

1+tanatanp

tana+tanp

(6)tan(a+/7)=(tana+tan〃=tan(a+尸)(1-tanatan￡)).

1-tan?tanp

25、二倍角的正弦、余弦和正步公式:

⑴sin2o=2sinacosa.

2-2n2ii^-2(2COS2a+1.、\-cos2a、

⑵cos2a=cosa-sina=2cos=l-2sina(cosa---------sm-a---------J.

22

2tana

(3)tan2a=

1-tan2a

26、Asinof+Bcosof=VA2+B2sin(or+^9),其中tan°二旦.

高中數(shù)學(xué)必修5萬識點

1、正弦定理：在AABC中，a、b、。分別為角A、B、C的對邊，R為AABC的外接圓的半徑,

則有一一=/-=——=2R.

sinAsinBsinC

2、正弦定理的變形公式：①a=2HsinA,b=2RsinB,c=2As