高中數(shù)學(xué)：橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)：橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用

橢圓的參數(shù)方程知識(shí)，可以拓寬視野，簡(jiǎn)化平面解析幾

何的運(yùn)算。本文主要介紹橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用。

一般都是這樣定義的：

22

(x-x0)(y-y0),Jx=Xo+acosa

橢圓F^+一^一的參數(shù)方程是ly=yo+bsma(a是參

數(shù)，a>0,b>0)o

特別地，以點(diǎn)(x。，％)為圓心，半徑是r的橢圓的參數(shù)

Jx=x0+rcosoc

方程是iy=yo+rsina(a是參數(shù)，r>0)。

一、求橢圓的內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)及面積

X2y2

例1求橢圓立+彥二電>心。)的內(nèi)接矩形的面積及周長(zhǎng)的

最大值。

xi+Zi_i

解：如圖，設(shè)橢圓FF的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)

是A(acosbsina.)(°<3<2),矩形的面積和周長(zhǎng)分別

是S、Lo

S=41FA|x|EA|=4acosocbsinoc=2absin2OL<2ab,

當(dāng)且僅當(dāng)"7時(shí)，

S1Mx=2ab,L=4(|FA|+|EA|)=4acosa,+4bsinavja?+b，,

=4Va2+b2,此時(shí)a存在。

二、求軌跡

x2.y2_i

例2已知點(diǎn)A在橢圓函+方=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B(0,9)、

AM1

點(diǎn)M在線段AB上，且加=5,試求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方

程。

解：由題意知B(0,9),設(shè)A(12cosat16sina),并且設(shè)

M(x,y)o

xA+lxB12COSOC+1X0

x=-----——=--------j-?=8cosa>

則1+I1+I

1,.1c

YA+5yB6sina+-x9

y=-----——=--------j-=---=4sina+3

1+—1+一

22,

x=8cos(x

{y=4sina+3(a是參數(shù)),

2

x?,(y-3)_t

消去參數(shù)得荷F-。

三、求函數(shù)的最值

X’十"一1

例3設(shè)點(diǎn)P(x,y)在橢圓詔+百=1,試求點(diǎn)P到直線

x+y-5=0的距離d的最大值和最小值。

X'+爐-1

解：點(diǎn)P(x,y)在橢圓而十百”上，設(shè)點(diǎn)P

(4cosoc,3sincx)(Q是參數(shù)且以式口也兀)),

5sin(x+arcsin--5

d_13cos(x+4sina-5|_x5)

則=一不萬一=。

7T.3x2y2

當(dāng)加廠arcs丐時(shí)，距離d有最小值0,此時(shí)橢圓正+守=1

3乳.3

與直線x+y-5=0相切；當(dāng)加了一31Ts%時(shí)，距離d有最大

值2。

四、求解有關(guān)離心率等入手比較困難的問題

22

xy

例4橢圓立+廬二心＞心。)與x軸的正向相交于點(diǎn)A,O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上存在點(diǎn)P,使得OP_LAP。

求該橢圓的離心率e的取值范圍。

解：設(shè)橢圓%+±2心。)上的點(diǎn)p的坐標(biāo)是

(acosoubsina)(aW0且aWn),A(a,0)o

._bsina,._bsince-0

則k°p=

acosa"=acos…。而OPJ_AP,

bsincxbsinoc-0___

于是acoscxacosoc-a,整理得~b2)cos2oc-a2cosoc+b2=0

解得cosa=l（舍去），或儂呀久于。