《管理統(tǒng)計學(xué)》課件-6 第六章 概率及其分布

第六章

概率及其分布1案例導(dǎo)入2案例導(dǎo)入3由上表，有50.57%的人口集中在20-49歲這一年齡區(qū)間內(nèi)，而在20歲以下，49歲以上人口所占比例分別為24.11%和25.31%，顯然，年齡分布呈現(xiàn)兩頭小中間大的趨勢，這樣的分布是什么分布？它還有哪些特點？學(xué)習(xí)這樣的分布給我們實際生活帶來哪些不同?通過本章的學(xué)習(xí)，我們將走進概率分布的世界。進一步感受正態(tài)分布，二項分布，泊松分布的魅力所在。學(xué)習(xí)目標(biāo)4本章要掌握:數(shù)據(jù)與概率的關(guān)系;從概率分布上把握統(tǒng)計的特點;正態(tài)分布及其概率計算方法（學(xué)習(xí)的重點)。6.1事件與概率6.1.1什么是概率？概率的定義概率是衡量某一特定事件的機會或可能性的數(shù)量指標(biāo)。概率的大小與事件有關(guān)。在自然界和社會經(jīng)濟中發(fā)生的事件通常是隨機事件。在管理決策中經(jīng)常遇到的是隨機現(xiàn)象，要解決的通常是隨機事件問題。在管理中我們會遇到許多不確定性的決策。例如，提高產(chǎn)品價格可能會導(dǎo)致銷售量下降，但我們想知道這種可能性(“機會”)到底有多大？又例如，新投資贏利的“幾率”有多大？等等。解決這些不確定性問題的基本前提是要掌握概率知識。56.1事件與概率6.1.1什么是概率？概率的定義概率是衡量某一特定事件的機會或可能性的數(shù)量指標(biāo)。概率的大小與事件有關(guān)。在自然界和社會經(jīng)濟中發(fā)生的事件通常是隨機事件。在管理決策中經(jīng)常遇到的是隨機現(xiàn)象，要解決的通常是隨機事件問題。在管理中我們會遇到許多不確定性的決策。例如，提高產(chǎn)品價格可能會導(dǎo)致銷售量下降，但我們想知道這種可能性(“機會”)到底有多大？又例如，新投資贏利的“幾率”有多大？等等。解決這些不確定性問題的基本前提是要掌握概率知識。76.1事件與概率6.1.2概率的統(tǒng)計定義舉例:歷史上曾有數(shù)學(xué)家們記錄拋擲硬幣的情況，觀察硬幣出現(xiàn)正面朝上次數(shù)的試驗數(shù)據(jù)。當(dāng)拋擲硬幣4040次時，正面向上次數(shù)為2048，其頻率是0.5069。當(dāng)拋擲硬幣的試驗次數(shù)分別增加到12000次和24000次時，其頻率分別為0.5016和0.5005，趨近于0.5。概率的統(tǒng)計定義于是，我們對概率的統(tǒng)計定義表述如下：在相同條件下，重復(fù)做n次試驗，事件A出現(xiàn)了m次，當(dāng)n很大時，頻率m/n穩(wěn)定在某個數(shù)值p的附近，當(dāng)n趨近于∞時，頻率m/n趨近于p值，則稱p為事件A的概率，記為P（A）=p。86.2概率分布6.2.1數(shù)據(jù)波動與統(tǒng)計規(guī)律如何觀察數(shù)據(jù)波動的規(guī)律性？我們可以通過進一步了解數(shù)據(jù)的變異性特征來理解數(shù)據(jù)波動與概率的統(tǒng)計意義之間的關(guān)系。在一次試驗中，試驗數(shù)據(jù)之間的差別就是數(shù)據(jù)的變異性。同一規(guī)格的兩個零件在加工尺寸、性能上毫無偏差是不可能的。數(shù)據(jù)的變異性是普遍存在的。例如，一個生產(chǎn)電發(fā)火管產(chǎn)品的工廠，為了檢驗合格率，共收集了10個班次100個爆破壓力的試驗數(shù)據(jù):下表:表示電發(fā)火管產(chǎn)品爆破壓力值的頻數(shù)分布情況。96.2概率分布6.2.1數(shù)據(jù)波動與統(tǒng)計規(guī)律組界頻率%累積75.05-78.0522.00%78.05-81.0535.00%81.05-84.05813.00%84.05-87.051831.00%87.05-90.053061.00%90.05-93.052384.00%93.05-96.051296.00%96.05-99.05399.00%99.05-102.051100.00%合計100——6.2概率分布6.2.1數(shù)據(jù)波動與統(tǒng)計規(guī)律依據(jù)頻數(shù)分布情況進行的統(tǒng)計分析如下：（1）電發(fā)火管的爆破壓力值最大不超過102.05，最小不低于75.05；（2）有約30%集中在87—90之間；（3）有約70%大于84并小于93；（4）小于84的約占13%，大于93的約占16%。頻數(shù)分布只是概率分布的具體表現(xiàn)形式，要了解概率分布的一般規(guī)律，要從數(shù)學(xué)原理角度尋找概率分布曲線。6.2概率分布6.2.2概率分布頻率分布與概率分布是怎樣的關(guān)系呢？把產(chǎn)品質(zhì)量頻率分布的抽樣誤差和測量誤差排除后，就轉(zhuǎn)化為概率分布曲線，其分布就能完全反映產(chǎn)品質(zhì)量的波動規(guī)律。該曲線稱為分布密度曲線。概率分布是一種數(shù)學(xué)模型，它反映變量取值與其發(fā)生的概率之間的關(guān)系。其特點是：變量取值的精確度越高，相應(yīng)的概率越小；變量取值的誤差越大，相應(yīng)的概率也越大。概率分布可以分為兩種類型：離散型分布和連續(xù)型分布。正態(tài)分布是最常見的、應(yīng)用最廣泛的一種分布。當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量受到眾多因素影響，但無哪個因素起主要作用，質(zhì)量特征值的變異分布，一般都屬于正態(tài)分布。概率分布與直方圖的關(guān)系是：概率分布所描述的是總體特征值的分布；而直方圖所描述的是樣本特征值的分布。6.3正態(tài)分布6.3.1正態(tài)分布的特點（1）在均值的概率密度最大。（2）對稱性。（3）數(shù)學(xué)模式式中：X為隨機變量，理論取值范圍為-∞<X<∞。e自然對數(shù)底2.7183。π為圓周率3.1416。σ總體標(biāo)準差。μ總體均值。6.3正態(tài)分布6.3.1正態(tài)分布的特點（4）兩個重要參數(shù)μ和σ。參數(shù)不同分布也不同。如圖所示:

見分布1和分布2；見分布１和分布３。（5）曲線對橫軸是漸近的，區(qū)間與概率的關(guān)系（常用結(jié)論）(t—概率度)6.3

正態(tài)分布6.3.1正態(tài)分布的特點總體落在總體平均數(shù)1倍標(biāo)準差周圍的概率為68.26%。即當(dāng)t=1時，則有

總體落在總體平均數(shù)2倍標(biāo)準差周圍的概率為95.45%。即當(dāng)t=2時，則有

總體落在總體平均數(shù)3倍標(biāo)準差周圍的概率為99.73%。即當(dāng)t=3時，則有

6.3

正態(tài)分布6.3.1正態(tài)分布的特點總體落在總體平均數(shù)1倍標(biāo)準差周圍的概率為68.26%。即當(dāng)t=1時，則有

總體落在總體平均數(shù)2倍標(biāo)準差周圍的概率為95.45%。即當(dāng)t=2時，則有

總體落在總體平均數(shù)3倍標(biāo)準差周圍的概率為99.73%。即當(dāng)t=3時，則有

6.3

正態(tài)分布6.3.2標(biāo)準正態(tài)分布標(biāo)準正態(tài)分布是對變量X進行標(biāo)準化處理的結(jié)果，即計算如下統(tǒng)計量變量Z服從均值為0和標(biāo)準差為1的標(biāo)準正態(tài)分布，記作Z～N（0，1），其標(biāo)準正態(tài)分布的密度函數(shù)可表示為當(dāng)給定C，求時，求所對應(yīng)的統(tǒng)計量Z的概率計算公式為或6.3正態(tài)分布

6.3.2標(biāo)準正態(tài)分布當(dāng)Z取值范圍為1，2，3時，由圖６-4可知，標(biāo)準正態(tài)分布下的概率分別為：6.3正態(tài)分布

6.3.3概率的計算方法在應(yīng)用中，當(dāng)給定C，求時，所對應(yīng)的統(tǒng)計量Z的概率計算公式為查《標(biāo)準正態(tài)分布表》（本書附錄２表３），找到的概率。6.3正態(tài)分布

6.3.3概率的計算方法例題:已知均值為89，標(biāo)準差為4.6，求的概率。解：從圖６-６確定的位置。6.4二項分布和泊松分布

6.4.1二項分布二項分布主要用來描述只可能出現(xiàn)兩種結(jié)果的事件的分布。這兩種結(jié)果分別用“是”和“非”來區(qū)別。“是”與“非”出現(xiàn)的概率的情況，可通過以下例子說明。例如，產(chǎn)品總數(shù)有N個，不合格品為“是”，記為“1”，有個，合格品為“非”，記為“0”，有個。不合格率記為p，則有，合格率記為q，則有。的展開式等于1。n為重復(fù)檢驗的次數(shù)，x為產(chǎn)品是不合格品出現(xiàn)的次數(shù)。對產(chǎn)品檢驗n次，出現(xiàn)x次不合格品的概率為（x=1，2，…n）式中，表示n個產(chǎn)品取x個不合格品的組合數(shù)。6.4二項分布和泊松分布

6.4.1二項分布例題:已知產(chǎn)品合格率為0.9，對產(chǎn)品檢驗100次，出現(xiàn)2次不合格品的概率。

解:二項分布的均值為標(biāo)準差為由于概率P的取值不同，二項分布的形狀有差異。當(dāng)P=0.25時，均值偏向中心值以下的小值一方；當(dāng)P=0.5時，均值處于中心位置；當(dāng)P=0.75時，均值偏向中心值以上的大值一方。所以，二項分布圖形隨著不合格率P的變化而變化，當(dāng)P=0.5時基本對稱。6.4二項分布和泊松分布

6.4.1二項分布由于概率P的取值不同，二項分布的形狀有差異。當(dāng)P=0.25時，均值偏向中心值以下的小值一方；當(dāng)P=0.5時，均值處于中心位置；當(dāng)P=0.75時，均值偏向中心值以上的大值一方。所以，二項分布圖形隨著不合格率P的變化而變化，當(dāng)P=0.5時基本對稱。二項分布與正態(tài)分布之間存在如下關(guān)系：當(dāng)n充分大時，二項分布直線頂部的連線圖形趨于對稱，近似于正態(tài)分布。

6.4二項分布和泊松分布

6.4.1二項分布二項分布的累積概率：在一批產(chǎn)品中，當(dāng)不合格品超過c時，則拒絕接收。因此，接收的概率

（x=1、2、3、…、c）例題:在一批不合格品率P=0.05的精密鑄件中（P是長期統(tǒng)計的穩(wěn)定值），按規(guī)定每一工作班，抽取5件，被抽的5件鑄件中不允許有不合格品才可接受，否則，需分析原因。試計算，這種情況下，鑄件被接收的概率，并查表驗證。解：求在抽出的5次檢驗中，不出現(xiàn)不合格品的概率。查表結(jié)果完全一樣。6.4二項分布和泊松分布6.4.2泊松分布泊松分布是描述主要稀有事件發(fā)生的分布。例如，在單位時間內(nèi)電話交換臺收到電話呼叫的次數(shù)、來到公共汽車站的乘客人數(shù)、布上的疵點等，也稱為計點分布或疵點分布。泊松分布在取值范圍上，只取正整數(shù)和零（x=0、1，2，3，…），在疵點x處的概率為：（x=0、1，2，3，…）泊松分布的均值和標(biāo)準差為：

式中，λ常用樣本的缺陷數(shù)的平均值估計。6.4二項分布和泊松分布6.4.2泊松分布泊松分布與二項分布的關(guān)系：可以證明，當(dāng)P很小（小于0.1），n較大（大于總體0.1），可用泊松分布作為二項分布的近似。泊松分布與正態(tài)分布的關(guān)系：當(dāng)n充分大時，泊松分布在每一點上的概率線條頂點的連線圖形趨于對稱，近似于正態(tài)分布。泊松分布的累積概率：已知P和n，則有np=λ。不合格品x少于c的概率為在實際應(yīng)用中，通常用估計，即令。6.4二項分布和泊松分布6.4.2泊松分布例題:已知產(chǎn)品不合格品率，樣本數(shù)，合格判定數(shù)，由二項分布和泊松分布求出結(jié)果。解：（1）二項分布（2）泊松分布

（3）結(jié)果：泊松分布計算出的概率較小

本章小結(jié)統(tǒng)計數(shù)據(jù)都具有隨機性，并服從某種概率分布。概率論是統(tǒng)計學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)，概率的正態(tài)分布、二項分布和泊松分布及其均值和標(biāo)準差特征值是統(tǒng)計方法應(yīng)用的理論依據(jù)。本章練習(xí):1、在正態(tài)分析下，已知均值為