數(shù)學(xué) 第二冊（五年制高職）課件 第二章 平面向量

7.1.1平面向量的定義江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊）問題探究

如圖7-1，小明在400米運動場上的點

A

(1道)處出發(fā)，沿跑道跑完

200米到達(dá)終點B處．（1）小明所經(jīng)過的路程是多少？發(fā)生的位移是什么？（2）小明從點B出發(fā)按逆時針方向沿跑道跑了200米，經(jīng)過的路程是

多少？位移是什么？（3）位移和路程這兩個量有什么差別？圖7-1抽象概括1．平面向量的定義在數(shù)學(xué)中，把既有大小又有方向的量稱為向量(也

稱為矢量).上面提到的力、速度、位移等都是向量．抽象概括一般地，用一條有向線段來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．以A為起點、B為終點的向量（如圖7-2(1)),記為.向量也可以用小寫黑體字母表示，如

、

、

等(如圖7-2(2)),手寫時寫成帶箭頭的小寫字母，如

，

，

等.

（1）

（2）

圖7－2抽象概括向量的大小稱為向量的模(或稱為向量的長度).向量

的模記作

;的模記作,手寫時可以寫成.向量的模是一個數(shù)量，是非負(fù)實數(shù)．長度為0的向量稱為零向量，記作0．零向量的模為0，

方向為任意方向.長度為1個單位長度的向量稱為單位向量，記作

.例題講析例1：如圖7-3所示,每個小正方形的邊長均為1個單位長度.

以A、B、C中的一個點為起點，另一個點為終點，可

以構(gòu)成哪些向量？用有向線段表示這些向量，并求出

它們的模.圖7-3例題講析例2:如圖7-5，在

中，AB=2,BC=1,其所有的

邊能構(gòu)成哪些向量？這些向量的模分別是多少？圖7－5合作交流（1）你能舉出一些向量的例子嗎？（2）零向量有什么特點？（3）

與

的大小和方向有什么關(guān)系？思維拓展

在如圖7-5所示的（1）向量

與向量

有什么關(guān)系？滿足這樣關(guān)系的向量還有哪些？

（2）向量

與向量

有什么關(guān)系？滿足這樣關(guān)系的向量還有哪些？圖7－5課堂練習(xí)1.判斷下列說法是否正確，并說明理由．(1)大小和方向是確定向量的兩個要素．(2)向量的模表示了向量的大小．(3)零向量是一個向量,所以它的方向是確定的．(4)零向量的長度不確定．(5)單位向量沒有方向．(6)因為.(7)單位向量都相等.

(8)0和0相等.課堂練習(xí)2.

如圖所示，每個小正方形的邊長均為1個單位長度.以

點A、B、C、D中的一個點為起點，另一個點為終點，

可以構(gòu)成哪些向量？畫出這些向量并求出它們的模.(第2題)課堂小結(jié)1.平面向量的定義及其表示.2.平面向量的模的定義及其表示.3.零向量、單位向量的定義及其表示.

7.1.2相等向量、相反向量與平行向量江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊）問題探究圖7-6中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，觀察向量

與

，它們之間有什么關(guān)系？

與

呢？

與

呢？怎樣來刻畫它們之間的關(guān)系呢？圖7-6FE抽象概括1．相等向量

在數(shù)學(xué)中，長度相等且方向相同的向量稱為相等向量

（或同一向量).向量

與

相等時，記為=2．相反向量

在數(shù)學(xué)中，長度相等且方向相的向量稱為相等向量.

向量

與

相等時，記為=-抽象概括3．平行向量

在數(shù)學(xué)中,如果兩個非零向量方向相同或相反,就說這兩

個向量互相平行,這兩個向量稱為平行向量(或共線向量）

（圖7-7).當(dāng)向量

與

平行時,記為：

∥

圖7-7規(guī)定:零向量與任何向量平行,即對于任意向量,0∥例題講析

圖7-8例3：如圖7-8所示，在4×5方格紙中有一個向量,分別以

圖中的格點為起點和終點作向量，其中與

相等的向

量有多少個？例題講析例4：如圖7-10,設(shè)

是正六邊形

的中心，在以

中任意一點為起點,另一點為終點

的向量中,找出與

相等的向量、相反的向量、平

行的向量．

圖7-10合作交流(1)相等向量是平行向量嗎？相反向量呢？

(2)任何一組平行向量是否都可以平移到一條直線上？課堂練習(xí)1.

圖中3×4方格紙中有一個向量,分別以圖中的格點為

起點和終點作向量，其中與

相等的向量有多少個？（第1題）2.如圖,四邊形

為菱形，

相交于點

,在以

中任意一點為起點,另一點為終點的向量中找出與

、

相等的

向量、相反的向量、平行的向量.（第2題）課堂練習(xí)3.

物體從點Ａ出發(fā),先向東移動3米到達(dá)點B,然后向南移動4米到點C.（1）試用向量表示該物體的這兩次位移；（2）如果物體從點Ａ出發(fā)向南移動4米到點D，

能否說

與

相等？為什么？課堂小結(jié)1.相等向量的概念及其表示.2.相反向量的概念及其表示.3.平行（共線）向量的概念及表示.7.2.1向量加法的三角形法則江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊）問題探究如圖7-11所示,在實現(xiàn)上海與臺北直航前,由上海（點A）到臺北(點C),需先經(jīng)香港(點B),再到臺北,位移是由A到B,再由B到C;實現(xiàn)直航后由上海直接到臺北,位移是由A到C．(1)在圖中用向量表示每一次的位移．(2)飛機由上海飛往至香港，再由香港飛至臺北位移的結(jié)果與飛

機直接由上海飛至臺北的位移結(jié)果相同嗎？抽象概括一般地，對已知向量

和,如圖7-12所示,在平面內(nèi)任取一點A，作

，,則向量

稱為

與

的和(或和向量)，記作.即求兩個向量和的運算稱為向量的加法．

圖7－12抽象概括根據(jù)向量的加法定義，將兩個向量依次首尾順次相接，

則兩個向量的和向量即為以第一個向量的起點為起點，

以第二個向量的終點為終點的向量,這種和向量的方法，稱為向量加法的三角形法則．對于任一向量,有,.向量的加法滿足交換律、結(jié)合律，即

例題講析

圖7-13例1：如圖7-13所示，已知向量

，,向量的三角形法則

作和向量

.（1）

（2）例題講析圖7-15例2：如圖7-15所示，已知兩個共線向量

，,用三角形法則

作和向量

.（1）

（2）合作交流如果平面內(nèi)有

個向量依次首尾連接組成一條封閉折線，那么這

個向量的和是什么？思維拓展周未早晨,小明騎車從家(A點)出發(fā),先去拉面館(B點)吃了早飯,再到鴨血粉絲湯店(C點)給父母買了兩籠包子,接著去超市(D點)買了一袋米后,回到家中（如圖7-17）.(1)在圖中用向量表示小明活動的位移.(2)這些向量的和是什么？圖7-17課堂練習(xí)第(1)題1.如圖，已知向量

，,作出.

（1）

（2）課堂練習(xí)

第(2)題2.如圖，已知向量

，,作出.

（1）

（2）課堂練習(xí)3.如圖,已知四邊形

為平行四邊形,填空．（第3題）課堂小結(jié)1.向量加法的定義.2.向量加法的三角形法則，能用三角形法則求作兩個向量的和向量.3.向量加法滿足的運算律.

4.能用代數(shù)式表示兩個向量的加法運算.

7.2.2向量加法的平行四邊形法則江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊）問題探究

小明從家O點出發(fā)到學(xué)校B點，周邊的道路如圖7-18所示，

四點O、A、B、C

構(gòu)成?OABC．(1)如果向量

=,向量

=,與向量,

分別相等的向量有哪些？(2)根據(jù)向量加法的三角形法則，向量

與向量

的和向量

是圖中的哪個向量？（3）

，

，

之間位置關(guān)系如何？圖7-18抽象概括圖7-18表明，對于兩個不共線的非零向量

，,還可以作平行四邊形來求兩個向量的和，以任意點0為起點分別作,以

為鄰邊作平行四邊形

，則向量

就是向量

與

的和.這種求兩個向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則．圖7-18例題講析

圖7-19例3：如圖7-19所示，已知向量

，,用平行四邊形法則

求作和向量

.合作交流向量加法的平行四邊形法則與三角形法則有怎樣的關(guān)系?思維拓展圖7-21利用平行四邊形法則可以解決物理學(xué)中求合力的問題.如圖7-21,一張拉緊的弓箭,受到兩個方向的力F1，F(xiàn)2,最終形成合力F,使箭向耙心飛行,把F1+F2記

作合力F.1.用平行四邊形法則作出弓箭所受兩個方向的力F1，F(xiàn)2的合力F的示意圖.2.如果力F1，F(xiàn)2的大小分別為100N，它們的夾角為90°,那么它們的合力F

的大小是多少？

（1）

（2）課堂練習(xí)第(1)題1.如圖，已知向量

，,用平行四邊形法則求作向量.

（1）

（2）課堂練習(xí)

第(2)題2.如圖,已知四邊形

為平行四邊形，則：

課堂練習(xí)3.如圖,為正六邊形

的中心，則：（第3題）課堂小結(jié)1.向量加法的平行四邊形法則.2.會用平行四邊形法則作出兩個向量的和向量.3.能用代數(shù)式表示兩個向量的加法運算.

7.2.3向量的減法江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊）問題探究

如圖7-22所示，在長江南岸某渡口A處，江水以6km/h的

速度向東流，小船以8km/h的速度垂直駛過長江到達(dá)渡口

C處.

（1）

小船的靜水速度是多少？

（2）

小船的航向如何確定？

（3）

試用水流速度和小船實際速度來表示小船的靜水速度.圖7-22抽象概括一般地,已知向量

，，如圖7-23,在平面內(nèi)任取一點O，作

=,，由向量求和的三角形法則,得

+

=

.

向量叫做向量與的差,記作,即

=

=

.圖7-23求兩個向量差的運算，稱為向量的減法.抽象概括向量的減法是向量加法的逆運算：減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.即-=+(-)當(dāng)向量

，

的起點相同時,兩個向量的差-是減向量

的終點到被減向量

的終點的向量.例題講析

圖7-24例4：如圖7-24所示，已知向量,求作向量,.例題講析

圖7-26例5：如圖7-26所示，在?ABCD，

，

，

用

、

分別表示合作交流試畫圖說明=+(-)課堂練習(xí)

第(1)題1.如圖，已知向量

，

共線，求作向量.

（1）

（2）課堂練習(xí)

第(2)題2.如圖，已知向量

，

不共線，求作向量.

（1）

（2）課堂練習(xí)3.填空課堂練習(xí)4．如圖，在矩形ABCD中,已知=,,在圖中畫出向

量

與.（第4題）課堂小結(jié)1.向量減法的定義.2.向量減法的三角形法則，能用三角形法則求作兩個向量的差向量.3.能用代數(shù)式表示兩個向量的減法運算.

7.2.4向量的數(shù)乘運算江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊）問題探究

如圖7-27所示，某質(zhì)點從點A出發(fā)向東做勻速直線運動,其１s內(nèi)的

位移所對應(yīng)向量用

表示.

（1）如何用向量表示該點在3s時的位移？

（2）該向量的大小、方向與向量

有什么關(guān)系？

（3）如果質(zhì)點從A出發(fā)向西以相同的速率做勻速直線運動,

試回答(1)(2)中的問題.

（4）質(zhì)點從A出發(fā)向東或向西在3s時的位移還有其他表示形式嗎？抽象概括一般地，實數(shù)

與向量

的積仍是一個向量,記作

，

它的長度和方向有如下規(guī)定：(1)(2)當(dāng)

時，

與

方向相同;當(dāng)

時，

與

方向相反;

當(dāng)

時，.

實數(shù)

與向量

的乘法運算，叫做向量的數(shù)乘運算．抽象概括可以驗證,對于任意向量

、

及任意實數(shù),向量數(shù)乘運算滿足如下法則：例題講析

圖7-30例6：如圖7-30所示,已知向量

和向量,求作向量

例題講析例7：計算：合作交流1.根據(jù)數(shù)乘向量的定義,對于兩個非零向量

，如果存在一

個實數(shù),使得

，那么向量

平行嗎？反之如何？2.“向量

平行”是

的什么條件？思維拓展如圖7-32,已知平行四邊形

的兩條對角線相交于點

，

試用

表示

.

圖7-32課堂練習(xí)1.如圖,已知向量,作向量

使

（第１題）課堂練習(xí)

第(2)題2.如圖，點

將線段

四等分，則

課堂練習(xí)3.計算4.

已知

是一個非零向量,將下列各題中的向量

表示為實數(shù)與

向量

的乘積．課堂小結(jié)1.向量數(shù)乘運算的定義.2.向量數(shù)乘運算的運算律.

7.3.1平面向量的內(nèi)積江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊）問題探究.

如圖所示，一個物體在力F的作用下發(fā)生了位移S，力F與物體位移S方向的夾角為θ.（1）F在位移方向上的分量是多少？所做的功W是多少？（2）功W是一個數(shù)量還是一個向量？

抽象概括（一）平面向量所成角的概念抽象概括（一）平面向量所成角的概念

抽象概括（二）平面向量內(nèi)積的定義抽象概括（二）平面向量內(nèi)積的定義

例題講析

思維拓展

課堂練習(xí)

課堂小結(jié)1.平面向量所成角的概念2.兩個平面向量同向、反向、垂直時所成的角3.平面向量內(nèi)積的定義及夾角公式7.3.2向量內(nèi)積的性質(zhì)與運算律江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊）問題探究如圖，非零向量與單位向量的內(nèi)積是多少？兩個非零向量同向、反向或者互相垂直時，它們的內(nèi)積分別是多少？兩個相等的非零向量的內(nèi)積是多少？

抽象概括（一）向量內(nèi)積的性質(zhì)合作交流

抽象概括（二）向量內(nèi)積的運算律

例題講析

課堂練習(xí)

課堂小結(jié)1.向量內(nèi)積的性質(zhì)2.向量內(nèi)積的運算律7.4.1用坐標(biāo)表示平面向量