高等數(shù)學(xué)教案

高等數(shù)學(xué)教案

第1次課

學(xué)科高等數(shù)學(xué)（一）

課題函數(shù)

周次5時(shí)數(shù)2授課班級(jí)1202114

主要教學(xué)內(nèi)容：

1、集合與區(qū)間

2、函數(shù)概念

3、函數(shù)的幾種特性

4、反函數(shù)

5、復(fù)合函數(shù)?初等函數(shù)

教學(xué)目的和要求：

1、理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)

系式。

2、理解函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)的四則運(yùn)算。

3、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有

界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：

1、函數(shù)的概念

2、函數(shù)的特性

3、復(fù)合函數(shù)

教學(xué)難點(diǎn)：

1、函數(shù)的概念

2、函數(shù)的特性

教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合

使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體

教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程

§1函數(shù)

一、集合與區(qū)間

]集合概念

集合(簡(jiǎn)稱集)：集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.用A,B,C.…等表示.

元素：組成集合的事物稱為集合的元素.。是集合M的元素表示為aeM.

集合的表示.

列舉法：把集合的全體元素一一列舉出來(lái).

例如A={a,byc,d,e,工g}?

描述法：若短AM是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成，則“可表示為

A={ai,。2,…，an],

M={x|x具有性質(zhì)P}.

例如M={(x,y)|x,y為實(shí)數(shù),}.

幾個(gè)數(shù)集：

N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合，稱為自然數(shù)集.

N={0,1,2,…，〃，…}.N+={1,2,.

R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，稱為實(shí)數(shù)集.

Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為整數(shù)集.

Z=l,?,—n???—2—1()12,?,na?aI

Q表示譯看有血酸構(gòu)版向翥吝,自為有理數(shù)集.

。={4k2,4€'+且2與4互質(zhì)}

q

子集：若xeA,則必有xeB,則稱A是8的子集，記為AuB(讀作A包含于3)或BnA.

如果集合A與集合B互為子集,AuB且BcA,則稱集合A與集合5相等，記作A=R

若AuB且則稱A是B的真子集，記作AqB.例如,N&Z￡Q￡R.

不含任何元素的集合稱為空集，記作0.規(guī)定空集是任何集合的子集.

2.集合的運(yùn)算

設(shè)A、B是兩個(gè)集合，由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡(jiǎn)稱并),

記作AuB,即

AuB={x|xeA或xeB}.

設(shè)A、B是兩個(gè)集合，由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為4與B的交集(簡(jiǎn)稱交),

記作AcB,即

AcB={x|xeA且xeB].

設(shè)A、8是兩個(gè)集合，由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡(jiǎn)稱差),

記作A\B,即

A\B={xke4KxiB}.

如果我們研究某個(gè)問(wèn)題限定在一個(gè)大的集合/中進(jìn)行，所研究的其他集合A都是/的子集.此

時(shí)，我們稱集合/為全集或基本集.稱I\A為A的余集或補(bǔ)集，記作Ac.

集合運(yùn)算的法則：

設(shè)4、B、C為任意三個(gè)集合，則

⑴交換律AuB=BuA,4cB=82;

(2)結(jié)合律(4uB)uC=Au(8uC),(AcB)cC=4c(8c。；

(3)分配律(AuB)nC=(AnC)u(BnC),(AnB)uC=(AuQn(BuC);

(4)對(duì)偶律(AuS)c=AcnBc,(AnB)c=AcuBc.

(AuB)c=AccB。的證明：

xe(AuB)coxgAuBoxeAKxgBoxeAC￡LxeBc<=>xeAcnBc,filfW(AuB)c=AcnBc.

直積(笛卡兒乘積)：

設(shè)4、8是任意兩個(gè)集合，在集合A中任意取一個(gè)元素x,在集合8中任意取一個(gè)元素y,組成

一個(gè)有序?qū)?x,y),把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略?，它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合8的直積,

記為4x8,即

Ax8={(x,y)kE且ye8}.

例如,RxR={(x,y)|xeR且yeR}即為xOy面上全體點(diǎn)的集合,RxR常記作R2.

3.區(qū)間和鄰域

有限區(qū)間：

設(shè)a<b,稱數(shù)集{x\a<x<b}為開(kāi)區(qū)間，記為(a,6),即

(a,b)={x\a<x<b}.

類似地有

[a,b]={x\a<x<b}稱為閉區(qū)間,

[a,。)={x|a<x<b}、(a,6]={x[a<x<b}稱為半開(kāi)區(qū)間.

其中a和b稱為區(qū)間(a,8)、[a,b]>[a,b)>(a,b]的端點(diǎn),6-a稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.

無(wú)限區(qū)間：

[a,+oo)={x|a<x},(-oo,h]={x\x<b},(-oo,+oo)={x11x|<-KO}.

區(qū)間在數(shù)軸上的表示：

鄰域：以點(diǎn)a為中心的任何開(kāi)區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域，記作U(a\

設(shè)隰一正數(shù)，則稱開(kāi)區(qū)間(a-a4+廿為點(diǎn)a的於B域，記作U(a,(5),即

(7((7,?={x|a-8<x<a+S]

={x11x-a\<3].

其中點(diǎn)a稱為鄰域的中心,5稱為鄰域的半徑.

去心鄰域03,3):

U(a,<5)={x|0<|x-a|<<5}

二、函數(shù)概念

1.函數(shù)概念

定義設(shè)數(shù)集。uR,則稱映射fO-R為定義在。上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為

y=/(x),xQD,

其中x稱為自變量,y稱為因變量稱為定義域，記作。/,即。尸D

應(yīng)注意的問(wèn)題：

記號(hào)/和1x)的含義是有區(qū)別的，前者表示自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則，而后者表示

與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.但為了敘述方便，習(xí)慣上常用記號(hào)“本),xe￡>”或"y=Ax),xeZT來(lái)表

示定義在。上的函數(shù)，這時(shí)應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)了.

函數(shù)符號(hào)：函數(shù)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的記號(hào)/也可改用其它字母，例如“尸‘，等.此

時(shí)函數(shù)就記作y=(p(x),尸尸(x).

函數(shù)的兩要素：

函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，其值域總在R內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域Of及對(duì)應(yīng)

法則/.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的，否則就是不

同的.

函數(shù)的定義域：

函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來(lái)確定：一種是對(duì)有實(shí)際背景的函數(shù)，根據(jù)實(shí)際背景中變

量的實(shí)際意義確定.

求定義域舉例：

求函數(shù)丫=1_廬工的定義域.

X

要使函數(shù)有意義，必須心。，且X2-4W0.

解不等式得|x122.

所以函數(shù)的定義域?yàn)镈={x||x|>2),或D=(V,2]"2,+ooj).

單值函數(shù)與多值函數(shù)：

在函數(shù)的定義中，對(duì)每個(gè)xeD對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的，這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).

如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，按這個(gè)法則，對(duì)每個(gè)xe。，總有確定的y值與之對(duì)應(yīng)，但這個(gè)y不總是唯

一的，我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù).例如，設(shè)變量x和y之間的對(duì)應(yīng)法則由方程/+產(chǎn)=戶

給出.顯然，對(duì)每個(gè)八，由方程/+產(chǎn)二凡可確定出對(duì)應(yīng)的y值，當(dāng)六^或后-??時(shí)，對(duì)應(yīng))=0

一個(gè)值；當(dāng)x取(-r,r)內(nèi)任一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的y有兩個(gè)值.所以這方程確定了一個(gè)多值函數(shù).

對(duì)于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱

為多值函數(shù)的單值分支.例如，在由方程酎+戶戶給出的對(duì)應(yīng)法則中附加“淪0”的條件，即以

“3+戶戶且龍0”作為對(duì)應(yīng)法則，就可得到一個(gè)單值分支(幻=/戶—F；附加，，近0”的條件,

即以“叫"=戶且)00”作為對(duì)應(yīng)法則，就可得到另一個(gè)單值分支尸丫2(萬(wàn))=-獷二了.

表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法(公式法)，這在中學(xué)里大家已經(jīng)熟悉.其

中，用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念，即坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集

稱為函數(shù)月向圖形.圖中的R/表示函數(shù)月⑴的值域.

函數(shù)的例子：

例.函數(shù)』{二.

稱為絕對(duì)值函數(shù).其定義域?yàn)椤?(-8,+8),值域?yàn)镽/=[0,+oo).

■1x>0

例.函數(shù)y=sgnx=<0x=0.

-1%<0

稱為符號(hào)函數(shù).其定義域?yàn)椤?gt;=(-00,+00),值域?yàn)镽/={-l,0,1}.

例設(shè)x為任上實(shí)數(shù).不超過(guò)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[X].

函數(shù)

y=[x]

稱為取整函數(shù).其定義域?yàn)椤?(-8,+00),值域?yàn)?=Z.

[-]=0,[V2]=l,[^]=3,[-1]=-1,[-3,5]=-4.

7

分段函數(shù)：

在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).

例。函數(shù)尸口

這是一個(gè)分段函數(shù)，其定義域?yàn)椤?gt;=[0,1]。。+°°)=0+8).

當(dāng)l時(shí)，y=2y[x;當(dāng)x>l時(shí)，產(chǎn)1+x.

例如f§)=2。=應(yīng)；/(1)=2VT=2;/3)=1+3=4.

三、函數(shù)的幾種特性

(1)函數(shù)的有界性

設(shè)函數(shù).危0的定義域?yàn)椤?gt;,數(shù)集XuD如果存在數(shù)K,使對(duì)任一xeX,有./(x)4Ki,則稱函數(shù)_/(x)

在X上有上界，而稱K為函數(shù)次x)在X上的一個(gè)上界.圖形特點(diǎn)是月U)的圖形在直線尸K的下

方.

如果存在數(shù)任，使對(duì)任一xeX,有人r)2K2,則稱函數(shù)_/(x)在X上有下界，而稱《為函數(shù)次x)

在X上的一個(gè)下界.圖形特點(diǎn)是，函數(shù)月(x)的圖形在直線產(chǎn)后的上方.

如果存在正數(shù)M,使對(duì)任一xwX,有ITU)14M則稱函數(shù)/(X)在X上有界；如果這樣的M不存

在，則稱函數(shù)段)在*上無(wú)界.圖形特點(diǎn)是，函數(shù)產(chǎn)”)的圖形在直線產(chǎn)-M和y=M的之間.

函數(shù)應(yīng)r)無(wú)界，就是說(shuō)對(duì)任何區(qū)總存在xieX,使|兀0|>M.

例如

(l)/(x)=sinx在(-co,內(nèi))上是有界的：卜inx|WL

(2)函數(shù)/")=；在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)是無(wú)上界的.或者說(shuō)它在(0,1)內(nèi)有下界，無(wú)上界.

這是因?yàn)?，?duì)于任一用>1,總有xi：0<%<與<1,使

M

所以函數(shù)無(wú)上界.

函數(shù)/(x)=：在(1,2)內(nèi)是有界的.

(2)函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=段)的定義域?yàn)镈,區(qū)間/uD.如果對(duì)于區(qū)間/上任意兩點(diǎn)%,及及，當(dāng)加〃2時(shí).，恒

有

其為)〈―2),

則稱函數(shù)人》)在區(qū)間/上是單調(diào)增加的.

如果對(duì)于區(qū)間/上任意兩點(diǎn)XI及X2,當(dāng)用42時(shí)，恒有

他)>危2),

則稱函數(shù)7U)在區(qū)間/上是單調(diào)減少的.

單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

函數(shù)單調(diào)性舉例：

函數(shù)丫=如在區(qū)間(-00,0］上是單調(diào)增加的，在區(qū)間［0,+00)上是單調(diào)減少的，在(-00,+00)上不

是單調(diào)的.

(3)函數(shù)的奇偶性

設(shè)函數(shù)7W的定義域。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即若XC。，則TE0.如果對(duì)于任一XG。，有

X-X)=/%),

則稱兀0為偶函數(shù).

加果對(duì)于任一有

A-X)=-fix),

則稱犬X)為奇函數(shù).

偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

奇偶函數(shù)舉例：

12,產(chǎn)cosx都是偶函數(shù).)=爐,)=sinX都是奇函數(shù),)=sinx+cosx是非奇非偶函數(shù).

(4)函數(shù)的周期性

設(shè)函數(shù)代r)的定義域?yàn)镈如果存在一個(gè)正數(shù)/,使得對(duì)于任一xe。有a±/)e￡>,且

於+/)=於)

則稱7U)為周期函數(shù)，/稱為_(kāi)/(x)的周期.

周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)：在函數(shù)的定義域內(nèi)，每個(gè)長(zhǎng)度為/的區(qū)間上，函數(shù)的圖形有相同的形

狀.

四、反函數(shù)

定義：

設(shè)函數(shù)7:Of*。)是單射，則它存在逆映射尸:.”>)一。，稱此映射廣為函數(shù)/的反函數(shù).

按此定義，對(duì)每個(gè))彩八。)，有唯一的xe。，椀得J(x)=y,于是有

f-'(y)=x.

這就是說(shuō)，反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則是完全由函數(shù)/的對(duì)應(yīng)法則所確定的.

一般地,v=4x),x&D的反函數(shù)記成y=f~'(.x),xeJ(D).

若一是定義在。上的單調(diào)函數(shù)，則廣。用。)是單射，于是/的反函數(shù)廣|必定存在，而且容易

證明廣?也是40上的單調(diào)函數(shù).

相對(duì)于反函數(shù)V=/T(X)來(lái)說(shuō)，原來(lái)的函數(shù)月U)稱為直接函數(shù).把函數(shù)月㈤和它的反函數(shù)

產(chǎn)廣心)的圖形畫/同一坐標(biāo)平面上，這兩個(gè)圖形關(guān)于直線尸x是對(duì)稱的.這是因?yàn)槿绻鸓(a,b)是

尸次x)圖形上的點(diǎn)，則有6=以).按反函數(shù)的定義，有“三廣⑸，故QS,a)是｝寸T(X)圖形上的點(diǎn)；反

之，若Q(b,a)是圖形上的點(diǎn)，則P(a,勿是)5>)圖形上的點(diǎn).而P(a,力與Q(b,a)是關(guān)于直

線"X對(duì)稱的.

五、復(fù)合函數(shù)?初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)：

復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例，按照通常函數(shù)的記號(hào)，復(fù)合函數(shù)的概念可如下表述.

設(shè)函數(shù)片A”)的定義域?yàn)?。I,函數(shù)〃=g(x)在。上有定義且g(0u￡>i,則由下式確定的函數(shù)

y=AsM],xeD

稱為由函數(shù)〃=g(x)和函數(shù)"A”)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)椤?，變量“稱為中間變量.

函數(shù)g與函數(shù)/構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為fog,即

(f°gEg(x)L

與復(fù)合映射一樣,g與/構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)fog的條件是：是函數(shù)g在。上的值域g(Q)必須含在

了的定義域巧內(nèi)，即g(0u￡>/：否則，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).

例如，月(")=arcsinu,的定義域?yàn)閇-1,1],〃=g(x)=27I=在-曰]3f，1]上有定

義，且g(O)u[-l,1],則g與/可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

y=arcsin2vl-x2,xeD;

但函數(shù)產(chǎn)arcsin"和函數(shù)"=2+'不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，這是因?yàn)閷?duì)任xeR,〃=2+了2均不在)=arcsinu

的定義域l-l,1J內(nèi).

多個(gè)函數(shù)的復(fù)合：

2.基本初等函數(shù)：

基函數(shù):y=x"(〃cR是常數(shù))；

指數(shù)函數(shù):產(chǎn)且好1);

對(duì)數(shù)函數(shù):尸log“x(”>0且4*1,特別當(dāng)”=e時(shí)，記為)=lnx);

三角函數(shù)：尸sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,產(chǎn)secx,y=cscx;

反三角函數(shù)：_y-arcsinx,)=arccosx,)=arctanx,y=arccotx.

課后作業(yè)

(是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。)

第18頁(yè)第15題

課后小結(jié)

(課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良

好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)

補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫。)

注：從第二頁(yè)開(kāi)始以課時(shí)或單元為單位編制，每節(jié)課或每個(gè)單元都要有教案。

第2次課

學(xué)科高等數(shù)學(xué)(一)

課題函數(shù)的極限

周次5時(shí)數(shù)2授課班級(jí)1202114

主要教學(xué)內(nèi)容：

1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限

2、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的函數(shù)的極限

教學(xué)目的和要求：

1、會(huì)計(jì)算自變量趨于有限值時(shí)和自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限。

教學(xué)重點(diǎn)：

1、極限的概念、極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

教學(xué)難點(diǎn)：

1、極限的概念

教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合

使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體

教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程

§3函數(shù)的極限

一、函數(shù)的極限

1.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限

定義:如果當(dāng)x無(wú)限接近于X0,函數(shù)f(x)的值無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x趨于xO時(shí)

lim

,f(x)以A為極限.記作fflx)A或f(x)-?A(當(dāng)

定義的簡(jiǎn)單表述：

limf(x)=A

?f。0V￡>0,38>0,當(dāng)0<x-xO<3時(shí)，f(x)-A<￡.

2.單側(cè)極限：

若當(dāng)XTXO—時(shí)，f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A,則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)XTXO時(shí)的

limf(x)=A

左極限，記為Xf。-或f(X。-)=A;

若當(dāng)x->xO+時(shí)，f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A,則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x->xO時(shí)的

右極限，記為lim/(x)=A或f(%+)=A.

3.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限

設(shè)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義.如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)￡,

總存在著正數(shù)X,使得當(dāng)x滿足不等式|x|>X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式

|f(x)-A|<￡,

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)Xf8時(shí)的極限，記為

lim/(x)=A

28或f(x)->A(x->oo).

limf(x)=A

xe?VE>0,3X>0,當(dāng)|x|>X時(shí)，有|f(x)—A|<￡.

類似地可定義

limf(x)=Alimf(x)=A

X-^-<X>和

..、,limf(x)=Alimf(x)=Alimf(x)=A

結(jié)論：x*O'"且.

課后作業(yè)

(是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。)

第36頁(yè)第2、5題

課后小結(jié)

（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良

好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)

補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫。）

第3次課

學(xué)科高等數(shù)學(xué)（一）

課題無(wú)窮大與無(wú)窮小

周次7時(shí)數(shù)2授課班級(jí)1202114

主要教學(xué)內(nèi)容：

無(wú)窮大

無(wú)窮小

教學(xué)目的和要求：

理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念

教學(xué)重點(diǎn)：

無(wú)窮小及無(wú)窮小的比較。

教學(xué)難點(diǎn)：

無(wú)窮大與無(wú)窮小

教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合

使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體

教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程

§4無(wú)窮大與無(wú)窮小

.無(wú)窮大與無(wú)窮小

1.無(wú)窮小

定義：如果函數(shù)f(x)當(dāng)XfxO(或Xf8)時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)

x->xO(或X-?OO)時(shí)的無(wú)窮小.

特別地，以零為極限的數(shù)列｛xn｝稱為nf00時(shí)的無(wú)窮小.

例如，

lim-=O-

因?yàn)?所以函數(shù)X為當(dāng)X-00時(shí)的無(wú)窮小.

因?yàn)榘?x-l)=O,所以函數(shù)為x—1當(dāng)Xf1時(shí)的無(wú)窮小.

lim—L=0—^―

因?yàn)椤恪?1,所以數(shù)列｛〃+"為當(dāng)n->8時(shí)的無(wú)窮小.

討論：很小很小的數(shù)是否是無(wú)窮?。?是否為無(wú)窮??？

提示：無(wú)窮小是這樣的函數(shù)，在x?0(或X-8)的過(guò)程中，極限為零.很小很小

的數(shù)只要它不是零，作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過(guò)程中，其極限就是這個(gè)常數(shù)

本身，不會(huì)為零.

無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：

定理1在自變量的同一變化過(guò)程XfxO(或X-8)中，函數(shù)f(x)具有極限A的

充分必要條件是f(x)=A+a,其中a是無(wú)窮小.

limf(x)=A

證明：設(shè),Vs>0,33>0,使當(dāng)0<|x-x0|<3時(shí)，有

If(x)-A|<.

令a=f(x)-A,則a是xfxO時(shí)的無(wú)窮小，且

f(x)=A+a.

這就證明了f(x)等于它的極限A與一個(gè)無(wú)窮小a之和.

反之，設(shè)f(x)=A+a,其中A是常數(shù)，a是xfxO時(shí)的無(wú)窮小，于是

|f(x)-A|=|a|.

因a是xfxO時(shí)的無(wú)窮小，Vs>0,H8>0,使當(dāng)0<|x-xO|<3,有

|a|<或|f(x)-A|

這就證明了A是f(x)當(dāng)xfxO時(shí)的極限.

簡(jiǎn)要證明：令a=f(x)-A,則|f(x)-A|=|a|.

如果Ve>0,三3>0,使當(dāng)0<|x—x0|<3，有f(x)—A|,就有|a|<;

反之如果>0,3S>0,使當(dāng)0<|x-x0|<3,有

|a|<,就有f(x)—A].

這就證明了如果A是f(x)當(dāng)xfxO時(shí)的極限，則a是xfxO時(shí)的無(wú)窮??；如

果a是x->xO時(shí)的無(wú)窮小，則A是f(x)當(dāng)xfxO時(shí)的極限.

類似地可證明Xf8時(shí)的情形.

1+X31111+X31

~~~lim~—~=0Alim—-—~=~

例如，因?yàn)?爐22x3,而22x3，所以12x32

定理2有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小

定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小

2.無(wú)窮大

定義：如果當(dāng)xfxO(或X-8)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值|f(x)|無(wú)限增大，就稱函

數(shù)f(X)為當(dāng)x->xO(或X-8)時(shí)的無(wú)窮大.記為

lim/(x)=oo

XT%)

—lim/(x)=oo

(或x*).

應(yīng)注意的問(wèn)題：當(dāng)x->xO(或x->oo)時(shí)為無(wú)窮大的函數(shù)f(x),按函數(shù)極限定義來(lái)說(shuō)

,極限是不存在的.但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)，我們也說(shuō)“函數(shù)的極限是無(wú)窮

大”，并記作

lim/(x)=oolim/(x)=oo

人(或XB)x.

定理2(無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的關(guān)系)：在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)

11

窮大，則何為無(wú)窮??；反之，如果f(x)為無(wú)窮小，且f(x)wO,則何為無(wú)窮大.

簡(jiǎn)要證明：

lim/(x)=O

如果,且f(x)M,那么對(duì)于M,38>0,當(dāng)0<鼠一"。|<3時(shí)，

|/(x)|<￡,=-5-?

有M,由于當(dāng)0<相一/|<6時(shí)，f(x)M,從而

所以/㈤為xfxO時(shí)的無(wú)窮大.

lim/(x)=ooM=—

如果一，那么對(duì)于3S>0,當(dāng)O<|x—x。|<3時(shí),

\f(x)\>M=—I、l<￡

有￡,即〃x),所以為xrx時(shí)的無(wú)窮小.

簡(jiǎn)要證明：

如果f(x)->O(xfxO)且f(x)M,則一>0,35>0,

當(dāng)0<|x-x0|<8時(shí),有|f(x)|<￡,即,所以f(x)->8(x-?xO).

如果f(x)-8(x—>x0),貝UVM〉O,38>0,當(dāng)0<|x-xO<5時(shí),

有|f(x)|>M,即，所以f(x)->0(x->xO).

課后作業(yè)

(是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。)

第43頁(yè)第2題

課后小結(jié)

（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良

好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)

補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫。）

第4次課

學(xué)科高等數(shù)學(xué)（一）

課題函數(shù)運(yùn)算法則

周次7時(shí)數(shù)2授課班級(jí)1202114

主要教學(xué)內(nèi)容：

極限運(yùn)算法則

教學(xué)目的和要求：

掌握極限運(yùn)算法則。

教學(xué)重點(diǎn)：

極限運(yùn)算法則

教學(xué)難點(diǎn)：

兩個(gè)重要極限

教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合

使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體

教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程

§5極限運(yùn)算法則

一、極限運(yùn)算法則

定理1如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;

(2)limf(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=AB;

lim?匣?d

(3)g*)hmg(x)8(BM).

證明(1):因?yàn)閘imf(x)=A,limg(x)=B,根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，有

f(x)=A+a,g(x)=B+p,

其中a及p為無(wú)窮小.于是

f(x)±g(x)=(A+a)±(B+p)=(A±B)+(a±p),

即”*)±80可表示為常數(shù)仆±8)與無(wú)窮小9±|3)之和.因此

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B.

定理2如果(x)>(x),而lim(x)=a,lim\|/(x)=b,那么a>b.

推論1如果limf(x)存在，而c為常數(shù)，則

lim[cf(x)]=climf(x).

推論2如果limf(x)存在，而n是正整數(shù)，則

lim[f(x)]n=[limf(x)]n.

]?x-3

例3,求z3X2-9.

lim1.

丫一av_oi__x->3=」

lim-~~=lirn-----—-——=lim——lim（x+3）6

2

解.XT3X~9X->3（工一3）（太+3）x—3x+3理1）

lim24；3

例4.求—x2-5x+4

解：岬告警=冒=。

根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得1N_5X+4=8.

3x3+4N+2

例5.求…7x3+5x2-3

解：先用x3去除分子及分母，然后取極限:

limlim-444

KT87x3+5/_3x->87?537

xx3

、批察聿

例6..v—>oo2.x^—x-+5

解:先用x3去除分子及分母，然后取極限:

321

lim蘭=|而x4f=?=0

x->oo2,x^—x2+52—?2

XX3

2爐一/+5

lim

例7.求XT83x--2x-1

lim——~-=0

解：因?yàn)閤e2n2+5,所以

2爐一/+5

lim=00

XTOO3x2-2x-l

1iTTISinx

例8.求，工丁

解：當(dāng)X-8時(shí)，分子及分母的極限都不存在，故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能

應(yīng)用.

血Jsinx

因?yàn)閤無(wú)，是無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積,

lim皿=0

所以IX.

課后作業(yè)

（是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。）

第50頁(yè)第2題

課后小結(jié)

（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良

好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)

補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫。）

第5次課

學(xué)科高等數(shù)學(xué)（一）

課題極限存在準(zhǔn)則?兩個(gè)重要極限

周次8時(shí)數(shù)2授課班級(jí)1202114

主要教學(xué)內(nèi)容：

夾逼準(zhǔn)則

單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則

教學(xué)目的和要求：

了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方

法。

教學(xué)重點(diǎn)：

兩個(gè)重要極限

教學(xué)難點(diǎn)：

兩個(gè)重要極限

教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合

使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體

教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程

§6極限存在準(zhǔn)則-兩個(gè)重要極限

極限存在準(zhǔn)則-兩個(gè)重要極限

1.夾逼準(zhǔn)則

準(zhǔn)則I如果數(shù)列｛xn｝、｛yn｝及｛zn｝滿足下列條件:

(l)yn<xn<zn(n1,2,3,…)，

⑵吧%二:,吧…，

那么數(shù)列｛xn｝的極限存在，且，吧為

證明:因?yàn)閘im%=%limzn=a,以根據(jù)數(shù)列極限的定義,\/￡>0,3^1>0,當(dāng)n>N\時(shí),

“TOOn—x?

有

\yn-a\<￡；又mN2〉O,當(dāng)〃〉N2時(shí)，有|z〃-水￡.現(xiàn)取N=max｛Ni,N2｝,則當(dāng)〃〉N吐有

|y〃一水￡,\zn-a\<s

同時(shí)成立,即

a-￡<yn<a+￡,a-c<z,

同時(shí)成立.又因ynWxnWzn,所以當(dāng)n>N時(shí)，有

a-￡<yn<xn<z,

即\x,i-a\<S.

limx?-a

區(qū)就證明了"f8

簡(jiǎn)要證明：由條件(2),V￡〉O「N〉O,當(dāng)〃>N時(shí)，有

\yn-a\<￡及|2"一水￡,

即有a-E<yn<ci+￡,a-￡<zn<a+￡,

由條件(1),有

a-￡<yn<xn<Z,

即\Xn~a\<￡.

這就證明了lim/=a,

〃一>00

準(zhǔn)則V

如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件:

(1)g(x)<f(x)<h(x);

(2)limg(x)=A,limh(x)=A;

那么limf(x)存在，且limf(x)=A.

第一重要極限：

lim網(wǎng)些=1

xf0X

證明首先注意到，函數(shù)X對(duì)于一切x*0都有定義.參看附圖：圖中的圓為單位圓,

BC10A,DA10A.圓心角NAOBx(0<x<2).顯然sinxCB,xAB,tanxAD.

因?yàn)?/p>

SAAOB<S扇形AOB<SAAOD,

2sinx<2x<2tanx,

即sinx<x<tanx.

不等號(hào)各邊都除以sinx,就有

sinxcosx

limcosx=l

注意此不等式當(dāng)2<x<0時(shí)也成立.而7,根據(jù)準(zhǔn)則匕1。*

0<x<—

簡(jiǎn)要證明：參看附圖，設(shè)圓心角NAOBx(2).

顯然BC<AB<AD,因止匕sinx<x<tanx,

cosxMvi

從而x(此不等式當(dāng)x<0時(shí)也成立).

limcosx=llims'n--1

因?yàn)閕。，根據(jù)準(zhǔn)則r,-ox.

應(yīng)注意的問(wèn)題：/

sina(x)

在極限a(x)中，只要(x)是無(wú)窮小，就有

sincr(x).

hm......-=1

a(x)

Hm*=lim皿=1

這是因?yàn)椋顄(x),則uf0,于是a(x)"f。u.

lim包必%

x->0Xe(x)((x)-0)

2.單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則

準(zhǔn)則II單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

如果數(shù)列｛xn｝滿足條件

xl<x2<x3<???<xn<xnl<…,

就稱數(shù)列｛xn｝是單調(diào)增加的；如果數(shù)列｛xn｝滿足條件

xl>x2>x3>??>xn>xnl>???,

就稱數(shù)列｛Xn｝是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.

如果數(shù)列｛xn｝滿足條件xn<xnl,neN+,

在第三節(jié)中曾證明：收斂的數(shù)列一定有界.但那時(shí)也曾指出：有界的數(shù)列不一定

收斂.現(xiàn)在準(zhǔn)則H表明：如果數(shù)列不僅有界，并且是單調(diào)的，那么這數(shù)列的極限必定

存在，也就是這數(shù)列一定收斂.

準(zhǔn)則II的幾何解釋：

單調(diào)增加數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng)，或者無(wú)限向右移動(dòng)，或者無(wú)限趨近

于某一定點(diǎn)A,而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生.

lim(l+—)".

根據(jù)準(zhǔn)則n,可以證明極限38〃存在.

x=(1+—)w

設(shè)"?現(xiàn)證明數(shù)列｛xn｝是單調(diào)有界的.

按牛頓二項(xiàng)公式，有

“，1、”1,〃1,1,〃(〃T)("-2)1，雙"-1)…1

XH=(1+-?=1+_.-+_-._+茄+?..+-------------防

=1+［+、（］__!_）+《（］__-）（1-—）+…+」（i???（1--^-^-）

2!n3!nntv.nnn

9

x”+i=i+i+】（i—^）+\i——?~）+-..+-L（i—!—）（i—~J-）

2!n+13!n+1n+1n\n+1n+1n+\

+而”…。一而)

比較xn,xn+1的展開(kāi)式，可以看出除前兩項(xiàng)外,xn的每一項(xiàng)都小于xn+1的對(duì)應(yīng)項(xiàng)

,并且xn+1還多了最后一項(xiàng)，其值大于0,因此

xn<xn+1,

這就是說(shuō)數(shù)列｛xn｝是單調(diào)有界的.

這個(gè)數(shù)列同時(shí)還是有界的.因?yàn)閤n的展開(kāi)式中各項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1代替

,得

11

,,111,,111,一萬(wàn)7°1.

X?<l+1+2!+3!+"^<1+l+2+2?+-+2^=1+7T=3-2^<3

1-2

第二重要極限：根據(jù)準(zhǔn)則II,數(shù)列｛xn｝必有極限.這個(gè)極限我們用e來(lái)表示即

lim（1+-）?=e

/i—>oofT

lim(l+—)x=e

我們還可以證明—*.e是個(gè)無(wú)理數(shù)，它的值是

e2.718281828459045--?.

指數(shù)函數(shù)yex以及對(duì)數(shù)函數(shù)yInx中的底e就是這個(gè)常數(shù).

1

在極限1加[1+砥刈而中，只要(X)是無(wú)窮小，就有

I

lim[l+a(x)We

這是因?yàn)?，令”詞，則U—8,于是加11+*)?=吧。+[)'

1里Q+p"=e,iim[l+c(x)]同=e((x)f0).

lim(1--)x

例3.求f%.

解：令tX,則X-8時(shí),t->00.于是

ii=lim——=—

lim(1--X=lim(l+與一100(l+卬e

x—>ooX/—>octt

lim(1-)r=lim(Id■—J—)-M—D=[lim(Id?――)-x]-1=e~l

或x—>xXx—>oc-X.v—>oo-X

課后作業(yè)

（是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。）

第60頁(yè)第1題

課后小結(jié)

（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良

好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)

補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫。）

第6次課

學(xué)科高等數(shù)學(xué)(一)

課題無(wú)窮小的比較

周次8時(shí)數(shù)2授課班級(jí)1202114

主要教學(xué)內(nèi)容：

無(wú)窮小的比較

教學(xué)目的和要求：

掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。

教學(xué)重點(diǎn)：

用等價(jià)無(wú)窮小求極限

教學(xué)難占.

用等價(jià)哭窮小求極限

教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合

使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體

教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程

§7無(wú)窮小的比較

無(wú)窮小的比較

1.定義：

lim2=0

(1)如果1m征一，就說(shuō)夕是比a高階的無(wú)窮小，記作尸=。(。)；

l.im.-P=co

(2)如果a,就說(shuō)夕是比a低階的無(wú)窮小，

lim2=c工00

(3)如果a，就說(shuō)￡是比。同階的無(wú)窮小，

lim烏=。70次＞0°

(4)如果茁，就說(shuō)夕是關(guān)于a的左階的無(wú)窮小，

lim%

(5)如果,就說(shuō)夕與&是等價(jià)的無(wú)窮小，記作

N1+x%

例1.證明：當(dāng)X-0時(shí)，〃

定理14與戊是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為尸=二+。3)

1—COSX—

例2.因?yàn)楫?dāng)％—。時(shí)，sinx?x,tanx?x,arcsinx?1,2,

所以當(dāng)xf0時(shí)有sinx=x+o(x),tanx=x+o(x),arcsinx=x+o(x)

1-cosx=+o(x2)

rP'

Qa，lim—

定理2設(shè)B,且優(yōu)存在，則

lim—=lim——

aa'

jl

「tan2x「sinx(i+x2r-i

lim-----lim-----lrim----------

例3求tan3%例4求“f。廠+3x例5求°cosx—1

課后作業(yè)

（是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。）

第72頁(yè)第2題

課后小結(jié)

（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良

好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)

補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫。）

第7次課

學(xué)科高等數(shù)學(xué)（一）

課題函數(shù)的連續(xù)性

周次9時(shí)數(shù)2授課班級(jí)1202114

主要教學(xué)內(nèi)容：

函數(shù)連續(xù)性的概念

函數(shù)的間斷點(diǎn)

初等函數(shù)的連續(xù)性

教學(xué)目的和要求：

理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性。

教學(xué)重點(diǎn)：

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性

教學(xué)難點(diǎn)：

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性

教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合

使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體

教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程

F￥a

§8函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性

1.變量的增量：

設(shè)變量U從它的一個(gè)初值ul變到終值u2,終值與初值的差u2ul就叫做變量u的

增量，記作u,即uu2ul.

設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xO的某一個(gè)鄰域內(nèi)是有定義的.當(dāng)自變量x在這鄰域內(nèi)從xO

變到xOx時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從f(xO)變到f(xOx),因此函數(shù)y的對(duì)應(yīng)增量為

yf(xOx)f(xO).

2.函數(shù)連續(xù)的定義

設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xO的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量xxxO

趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量yf(xOx)f(xO)也趨于零，即

limAy=O―lim/(x)=/(^))

ArfO或*->與

那么就稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xO處連續(xù)

注①媽△尸㈣—+.二詞

②設(shè)xx0+x,則當(dāng)x->0時(shí),x->xO,因此

limAy=Olim[/(x)-/(^)J=0lim/(x)=/(^)

Ar—>0sxfS