第八章 立體幾何初步章末小結(jié)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步章末小結(jié)01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledge研究立體幾何內(nèi)容的基本思路整體觀察空間幾何體認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)特征、直觀圖了解表面積和體積計(jì)算方法抽象基本元素點(diǎn)、直線、平面直線與直線直線與平面平面與平面直線、平面的平行和垂直重點(diǎn)研究判定和性質(zhì)直觀認(rèn)識(shí)基本元素的位置關(guān)系結(jié)合長(zhǎng)方體基本立體圖形柱體椎體臺(tái)體球多面體/旋轉(zhuǎn)體簡(jiǎn)單組合體由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成、由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成用斜二測(cè)畫法畫直觀圖：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′Oy′=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段.（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖：畫幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長(zhǎng)度都不變.柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式柱體錐體臺(tái)體多面體圍成它們的各個(gè)面的面積的和旋轉(zhuǎn)體

r′=r柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式柱體錐體臺(tái)體

S′=S球的表面積、體積公式表面積體積關(guān)于平面的基本事實(shí)與推論基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面確定平面推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面關(guān)于平面的基本事實(shí)與推論基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)判斷直線是否在平面上基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線判斷點(diǎn)是否在直線上基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行.（空間中平行線的傳遞性）空間中“垂直于同一條直線的兩條直線平行”是不一定成立的！長(zhǎng)方體在研究空間直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí)的重要作用空間中直線與直線的位置關(guān)系共面直線相交直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行直線沒(méi)有公共點(diǎn)異面直線沒(méi)有公共點(diǎn)線線垂直：相交垂直、異面垂直空間中直線與平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線在平面外直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)空間中平面與平面的位置關(guān)系兩個(gè)平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)兩個(gè)平面相交有一條公共直線空間角異面直線所成的角線面角二面角(及二面角的平面角)立體幾何中證明直線與直線平行的常用方法1.平行四邊形對(duì)邊平行2.三角形、梯形中位線平行于底邊3.基本事實(shí)4（平行線的傳遞性）4.直線與平面平行的性質(zhì)定理5.平面與平面平行的性質(zhì)定理6.直線與平面垂直的性質(zhì)定理空間垂直關(guān)系的判定方法(1)判定線線垂直的方法①計(jì)算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角)；②線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b)．(2)判定線面垂直的方法①線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性)；②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α)；④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(3)面面垂直的判定方法①根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計(jì)算其為90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．02知

識(shí)

精

講ExquisiteKnowledge【例1】(1)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見(jiàn)，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽(yáng)馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱ABC-A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，當(dāng)“陽(yáng)馬”即四棱錐B-A1ACC1體積最大時(shí)，“塹堵”即三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為

?！纠?】(2)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為__________．【變式訓(xùn)練1】(1)如圖是一個(gè)以△A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為△ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，則該幾何體的體積為

.6A2B2【變式訓(xùn)練1】(2)一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為π，那么這個(gè)正三棱柱的側(cè)面積為

.【例2】如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上．【例2】如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上．【變式訓(xùn)練2】

如圖，O是正方體ABCD-A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方體對(duì)角線AC1和截面A1BD的交點(diǎn)．求證：O，M，A1三點(diǎn)共線．【例3】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M，N分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，平面CMN與平面PAD交于PE.求證：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.O【例3】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M，N分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，平面CMN與平面PAD交于PE.求證：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.【變式訓(xùn)練3】

如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)，求證：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.O【變式訓(xùn)練3】

如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)，求證：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【例4】如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊△ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求CD.(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論．E【例4】如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊△ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求CD.(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論．【變式訓(xùn)練4】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝，DF＝2BE＝2，BE∥DF，F(xiàn)C＝AF＝2.(1)求證：平面ACE⊥平面BDFE.(2)求點(diǎn)F到平面ACE的距離．【變式訓(xùn)練4】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝，DF＝2BE＝2，BE∥DF，F(xiàn)C＝AF＝2.(2)求點(diǎn)F到平面ACE的距離．【例5】

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．(1)求PB和平面PAD所成角的大?。?2)證明：AE⊥平面PCD.(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【例5】

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．(1)求PB和平面PAD所成角的大小．(2)證明：AE⊥平面PCD.(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【例5】

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．(3)求二面角A-PD-C的正弦值．M【變式訓(xùn)練5】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值．(2)求證：PD⊥平面PBC.(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【變式訓(xùn)練5】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值．(2)求證：PD⊥平面PBC.(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【變式訓(xùn)練5】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(3)求直線AB與平面P