陜西省2024年中考數(shù)學(xué)面對面類型三二次函數(shù)與圖形面積練習(xí)

類型三二次函數(shù)與圖形面積1.已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)、B(3，0)兩點，與y軸交于C點，點D為拋物線的頂點．(1)求拋物線的表達式及C點坐標(biāo)；(2)若點P是拋物線對稱軸上一點，求PA＋PC的最小值；(3)過點D作DE⊥x軸于點E，連接CD、CE，則在拋物線上是否存在點F，使得S△ABF＝S△CDE？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)、B(3，0)兩點，∴拋物線的表達式為y＝(x－1)(x－3)，即拋物線的表達式為y＝x2－4x＋3；令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)；(2)拋物線的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－4,2)＝2，拋物線與y軸交于C(0，3)，∵點A和點B關(guān)于對稱軸對稱，∴要使得PA＋PC取得最小值，只需PB＋PC最小即可，當(dāng)點P、B、C三點共線時，PB＋PC最小，最小值為BC長，∵B(3，0)，C(0，3)，∴BC＝3eq\r(2)，∴PA＋PC的最小值為3eq\r(2)；(3)存在．∵點D為拋物線的頂點，DE⊥x軸于E點，∴D(2，－1)，E(2，0)，∴DE＝1，OE＝2，∴S△CDE＝eq\f(1,2)DE·OE＝1，∵AB＝2，S△ABF＝S△CDE＝1，∴AB邊上的高h＝1，∴點F的縱坐標(biāo)為1或－1，當(dāng)y＝1時，x2－4x＋3＝1，解得x＝2±eq\r(2)，∴F1(2＋eq\r(2)，1)，F(xiàn)2(2－eq\r(2)，1)；當(dāng)y＝－1時，x2－4x＋3＝－1，解得x＝2，∴F3(2，－1)，∴拋物線上存在點F1(2＋eq\r(2)，1)，F(xiàn)2(2－eq\r(2)，1)和F3(2，－1)，使得S△ABF＝S△CDE.2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax2－2x＋3經(jīng)過A(－3，0)、B兩點，與y軸交于點C.(1)求B、C兩點的坐標(biāo)；(2)拋物線L2與拋物線L1關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，求拋物線L2的表達式；(3)在拋物線L2上是否存在一點P，使△ABP與△ABC的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．第2題圖解：(1)點A的坐標(biāo)為(－3，0)，將其代入拋物線L1：y＝ax2－2x＋3，可解得a＝－1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)＝－1，∵點B關(guān)于直線x＝－1對稱的點為A(－3，0)，∴點B的坐標(biāo)為(1，0)，當(dāng)x＝0時，y＝3，∴點C的坐標(biāo)為(0，3)；(2)∵拋物線L2與拋物線L1關(guān)于原點對稱，拋物線L1的表達式為y＝－x2－2x＋3，∴拋物線L2的表達式為y＝x2－2x－3；(3)存在．∵A(－3，0)、B(1，0)、C(0，3)，∴S△ABC＝6，∵S△ABP＝S△ABC＝6，∴eq\f(1,2)|AB|·|yP|＝6，∴eq\f(1,2)×4×|yP|＝6，∴|yP|＝3.當(dāng)點P的縱坐標(biāo)為3時，x2－2x－3＝3，解得x＝1±eq\r(7)；當(dāng)點P的縱坐標(biāo)為－3時，x2－2x－3＝－3，解得x＝0或x＝2.∴滿意條件的點P坐標(biāo)為(1＋eq\r(7)，3)、(1－eq\r(7)，3)、(0，－3)、(2，－3)．3.已知m、n是方程x2－6x＋5＝0的兩個實數(shù)根，且m<n，拋物線y＝－x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A(m，0)，B(0，n)．(1)求該拋物線的表達式；(2)如圖，設(shè)(1)中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；(3)P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于點H，若直線BC把△PCH分成面積之比為2∶3的兩部分，懇求出P點的坐標(biāo)．第3題圖解：(1)解方程x2－6x＋5＝0，即(x－1)(x－5)＝0，解得x1＝5，x2＝1，由m＜n，有m＝1，n＝5，∴點A、B的坐標(biāo)分別為A(1，0)，B(0，5)．將A(1，0)、B(0，5)的坐標(biāo)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋b＋c＝0,c＝5))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4,c＝5))，∴拋物線的表達式為y＝－x2－4x＋5；(2)由(1)得y＝－x2－4x＋5，令y＝0，得－x2－4x＋5＝0，解得x1＝－5，x2＝1，∴C點的坐標(biāo)為(－5，0)．∵y＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，∴頂點D的坐標(biāo)為(－2，9)，第3題解圖①如解圖①，過點D作x軸的垂線交x軸于點M，連接BM.∴M(－2，0)，則S△DMC＝eq\f(1,2)×9×(5－2)＝eq\f(27,2)，S△BDM＝eq\f(1,2)×2×9＝9，S△BCM＝eq\f(1,2)×(5－2)×5＝eq\f(15,2)，∴S△BCD＝S△DMC＋S△BDM－S△BCM＝eq\f(27,2)＋9－eq\f(15,2)＝15；(3)如解圖②，設(shè)P點的坐標(biāo)為(a，0)，第3題解圖②∵B(0，5)，C(－5，0)，∴BC所在的直線為y＝x＋5.∴PH與直線BC的交點為E(a，a＋5)，PH與拋物線y＝－x2－4x＋5的交點為H(a，－a2－4a＋5)．①當(dāng)EH＝eq\f(3,2)EP時，即(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝eq\f(3,2)(a＋5)，解得a＝－eq\f(3,2)或a＝－5(舍去)；②當(dāng)E