2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第88講、隨機(jī)事件、頻率與概率（學(xué)生版）

第88講隨機(jī)事件、頻率與概率

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母E表示．

我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；

（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．

知識(shí)點(diǎn)2、樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E

的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)

可能結(jié)果，，，，則稱樣本空間為有限樣本空間．

12…n1,2,,n

知識(shí)點(diǎn)3、隨機(jī)事件、確定事件

（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，

為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本

點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生．

（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，

所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．

（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為為不可能事件．

（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．

知識(shí)點(diǎn)4、事件的關(guān)系與運(yùn)算

①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件A和事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，

這時(shí)稱事件B包含事件A（或者稱事件A包含于事件B），記作BA或者AB．與兩個(gè)

集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：

不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．

②相等關(guān)系：一般地，若BA且AB，稱事件A與事件B相等．與兩個(gè)集合的并集

類比，可用下圖表示：

③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為

事件A與事件B的并事件（或和事件），記作AB（或AB）．與兩個(gè)集合的并集類比，

可用下圖表示：

④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為

事件A與事件B的交事件（或積事件），記作AB（或AB）．與兩個(gè)集合的交集類比，可

用下圖表示：

知識(shí)點(diǎn)5、互斥事件與對(duì)立事件

（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=，則稱事

件A與事件B互斥，可用下圖表示：

如果，，，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件，．．，，

A1A2…AnA1A2…An

彼此互斥．

（2）對(duì)立事件：若事件A和事件B在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即AB

不發(fā)生，AB則稱事件A和事件B互為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為A．

（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系

①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，

還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．

②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”

的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．

知識(shí)點(diǎn)6、概率與頻率

（1）頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)k稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)k與

k

總次數(shù)n的比值，叫做事件A發(fā)生的頻率．

n

k

（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，

n

并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)．

k

（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)

n

k

次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率來估計(jì)概率P(A)．

n

必考題型全歸納

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間

例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合

A，B的四個(gè)命題：

①若任取xA，則xB是必然事件；

②若任取xA，則xB是不可能事件；

③若任取xB，則xA是隨機(jī)事件；

④若任取xB，則xA是必然事件．

其中正確的命題有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（）

A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100C，必會(huì)沸騰B．走到十字路口，遇到紅燈

C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為abD．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中黑色球2個(gè)，

、、

記為B1B2，白色球2個(gè)，記為W1W2，從袋中任意取2個(gè)球，請(qǐng)寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等

可能的樣本空間：.

變式1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試

驗(yàn)樣本空間為.

變式2．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)樣本空間Ω＝{1，2，3}，則Ω的不同事件的總數(shù)是.

變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中

次品數(shù)，其樣本空間為．

【解題方法總結(jié)】

確定樣本空間的方法

（1）必須明確事件發(fā)生的條件．

（2）根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，

按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．

題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，記事件A“甲端午節(jié)來寶雞

13

旅游”，記事件B“乙端午節(jié)來寶雞旅游”，且P(A)，P(B)，假定兩人的行動(dòng)相互

34

之間沒有影響，則P(AB)（）

5731

A．B．C．D．

61244

例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知事件A與事件B互斥，記事件B為事件B對(duì)立事

件.若P(A)0.6，P(B)0.2，則P(AB)（）

A．0.6B．0.8C．0.2D．0.48

例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，

設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都擊中飛機(jī)”，事件B表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都未擊中飛

機(jī)”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一枚炮

彈擊中飛機(jī)”，則下列關(guān)系不正確的是（）

A．ADB．BD

C．ACDD．ABBD

變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某家族有X,Y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X

427

性狀的概率為，出現(xiàn)Y性狀的概率為，X,Y兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成

151510

員X,Y兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（）

1124

A．B．C．D．

15101515

變式5．（2024·上海長寧·統(tǒng)考一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)；設(shè)事件A為：至少

一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)；事件A的概率為PA，事件B的概率為PB；

則1PAB是下列哪個(gè)事件的概率（）

A．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)B．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)

C．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)D．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)

變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)M“甲

元件故障”，N“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為（）

A．MNB．MNC．MND．MN

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知PA0.3，PB0.1，若BA，則PAB

（）

A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4

【解題方法總結(jié)】

事件的關(guān)系運(yùn)算策略

（1）互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生．

（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)

可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用

Venn圖分析事件．

題型三：頻率與概率

例7．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)口袋中放有m個(gè)白球和n

個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個(gè)球，記錄顏色后

放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計(jì)概率，若從口袋中隨

機(jī)摸1個(gè)球，則摸到紅球概率的估計(jì)值為．（小數(shù)點(diǎn)后保留一位小數(shù)）

例8．（2024·全國·高三對(duì)口高考）下列說法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從

中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正

面的概率是0.51；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，即

PA趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出

9

現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率；其中正確的有.

50

例9．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在對(duì)于一些敏感性問題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給正

確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大

小、質(zhì)地完全相同的50個(gè)黑球和50個(gè)白球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個(gè)球，若

摸到黑球則需要如實(shí)回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問題二：你

是否在考試中做過弊．若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”．則問題二“考試是

否做過弊”回答“是”的百分比為（以100人的頻率估計(jì)概率）．

變式8．（2024·全國·高三對(duì)口高考）已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采

用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間

取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，再以

每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.

變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，

其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無療效，則沒有明顯療效的頻

率是．

變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則當(dāng)試

m

驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率來估計(jì)事件A的概率，即P(A)．

n

變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%，現(xiàn)采

用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間

取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，

再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965據(jù)此估

計(jì)，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率約為.

變式12．（2024·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)

調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，

這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則

他近視的概率約為．

變式13．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）袋中有10個(gè)球，其中有

m個(gè)紅球，n個(gè)藍(lán)球，有放回地隨機(jī)抽取1000次，其中有597次取到紅球，403次取到藍(lán)

球，則其中紅球最有可能有個(gè)．

【解題方法總結(jié)】

（1）概率與頻率的關(guān)系

（2）隨機(jī)事件概率的求法

題型四：生活中的概率

例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個(gè)手機(jī)

號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下：（?。u號(hào)

的初始中簽率為0.19；（ⅱ）當(dāng)中簽率不超過1時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀

請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加0.05.為了使中簽率超過0.9，則至少需要

邀請(qǐng)位好友參與到“好友助力”活動(dòng).

例11．（2024·江西吉安·江西省泰和中學(xué)校考一模）設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱

中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球.隨機(jī)地抽取一箱，再從取出的一

箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，我們可以認(rèn)為這球是從箱中取出的.

例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）有以下說法:

1

①一年按365天計(jì)算,兩名學(xué)生的生日相同的概率是;②買彩票中獎(jiǎng)的概率為0.001,那么

365

買1000張彩票就一定能中獎(jiǎng);③乒乓球賽前,決定誰先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個(gè)數(shù)字

中各抽取1個(gè),再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天

氣預(yù)報(bào)降水概率是90%”是錯(cuò)誤的.

根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí),其中說法正確的序號(hào)是.

【解題方法總結(jié)】

概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)

生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次

數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．

題型五：互斥事件與對(duì)立事件

例13．（2024·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測(cè)）袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1

個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A．至少有一個(gè)白球；都是白球B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球

C．至少有一個(gè)白球；紅?黑球各一個(gè)D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那

么互斥而不對(duì)立的事件是（）

A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球

B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球

C．恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球

D．至少有一個(gè)黑球與都是紅球

例15．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向

上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于

3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（）

A．事件1與事件3互斥B．事件1與事件2互為對(duì)立事件

C．事件2與事件3互斥D．事件3與事件4互為對(duì)立事件

變式14．（2024·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修

一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)B．至少有一本政治與都是政治

C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)D．恰有1本政治與恰有2本政治

變式15．（2024·全國·高二）袋內(nèi)分別有紅?白?黑球3，2，1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不

對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A．至少有一個(gè)白球；都是白球B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球

C．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球D．至少有一個(gè)白球；紅?黑球各一個(gè)

變式16．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）從1，2，3，L，9中任取三個(gè)不同的數(shù)，

則在下述事件中，是互斥但不是對(duì)立事件的有（）

A．“三個(gè)都為偶數(shù)”和“三個(gè)都為奇數(shù)”B．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“至多有一個(gè)奇數(shù)”

C．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“三個(gè)都為偶數(shù)”D．“一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)”和“兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇

數(shù)”

【解題方法總結(jié)】

1、準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也

可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，

既有且僅有一個(gè)發(fā)生．

2、判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；

兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．

題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率

11

例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知事件A，B，C兩兩互斥，若PA，PC，

53

8

PAB，則PBC．

15

例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某單位派出了6名主力隊(duì)員和5名

替隊(duì)員組成代表隊(duì)參加比賽.如果隨機(jī)抽派5名隊(duì)員上場(chǎng)，則主力隊(duì)員多于替補(bǔ)隊(duì)員的概率

為.

21

例18．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是，和棋的概率是，

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則甲不輸?shù)母怕蕿椋?/p>

變式17．（2024·四川眉山·高三校考開學(xué)考試）一個(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅球、

白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么從

盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是．