2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第41講、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（教師版）

第41講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一．等差數(shù)列的有關(guān)概念

（1）等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這

個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達(dá)式為

（常數(shù)）*．

anan－1d(nN，n2)

（2）等差中項(xiàng)

ab

若三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有A=．

2

知識(shí)點(diǎn)二．等差數(shù)列的有關(guān)公式

（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．

{an}a1dana1(n1)d

（2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

n(n1)n(a1an)

設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，其前n項(xiàng)和Snad．

nn122

知識(shí)點(diǎn)三．等差數(shù)列的常用性質(zhì)

已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．

{an}dSnn

（）通項(xiàng)公式的推廣：*．

1anam(nm)d(n，mN)

（）在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，，，*．

2{an}mnpqamanapaq(mnpqN)

特別地，若，則*．

mn2taman2at(m，n，tN)

（），，，仍是等差數(shù)列，公差為*．

3akak＋mak＋2m…md(k，mN)

（），－，－，也成等差數(shù)列，公差為2．

4SnS2nSnS3nS2n…nd

（）若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．

5{an}{bn}{panqbn}

S

（6）若{a}是等差數(shù)列，則{n}也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{a}首項(xiàng)相同，公差是{a}

nnnn

1

公差的．

2

S

（）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則；；奇an．

72nS2nn(a1a2n)n(anan1)S偶－S奇＝nd

S偶an1

S

（）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則；－=；奇n．

82n1S2n－1(2n1)anS奇S偶an

S偶n1

am

（）在等差數(shù)列中，若，，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大

9{an}a10d0mSn

am1

am

值；若，，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．

Sma10d0mSnSm

am1

知識(shí)點(diǎn)四．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系

d2d

Sn(a)n．?dāng)?shù)列{a}是等差數(shù)列SAn2Bn（A、B為常數(shù)）．

n212nn

?

知識(shí)點(diǎn)五．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值

公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；

d0{an}Sn

公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；

d0{an}Sn

公差為常數(shù)列．

d0{an}

特別地

a10

若，則S有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；

d0n

a10

若，則S有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．

d0n

知識(shí)點(diǎn)六．其他衍生等差數(shù)列．

若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則：

{an}dnSn

①等間距抽取ap,apt,ap2t,ap(n1)t,為等差數(shù)列，公差為td．

②等長(zhǎng)度截取為等差數(shù)列，公差為2．

Sm,S2mSm,S3mS2m,md

SSSd

③算術(shù)平均值1,2,3,為等差數(shù)列，公差為．

1232

【解題方法總結(jié)】

（）等差數(shù)列中，若，則．

1{an}anm,amn(mn,m,nN)amn0

（）等差數(shù)列中，若，則．

2{an}Snm,Smn(mn,m,nN)Smn(mn)

（）等差數(shù)列中，若，則．

3{an}SnSm(mn,m,nN)Smn0

（）若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和為與，則amS2m1．

4{an}{bn}nSnTn

bmT2m1

必考題型全歸納

題型一：等差數(shù)列的基本量運(yùn)算

例1．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a11，且滿足

*

anan1n(nN)，則a2023（）

A．1012B．1013C．2022D．2024

【答案】A

【解析】因?yàn)閍nan1n，所以an1an2n1，兩式相減，得：an2an1，

所以數(shù)列an中的奇數(shù)項(xiàng)是以a11為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以a20231110111012.

故選：A.

n

例2．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和是Sn,a31,S73a6，則S3

（）

A．1B．1

C．3D．3

【答案】D

76

【解析】由已知設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3a12d1，7ad3(a5d)，

121

解得a13，d2，所以S33a13d3．

故選：D.

例3．（2024·四川涼山·三模）在等差數(shù)列an中，a2a42，a53，則a9（）．

A．3B．5C．7D．9

【答案】C

【解析】由題設(shè)a2a42a32，則a31，而a53，

aa

若等差數(shù)列公差為d，則d531，

2

所以，an通項(xiàng)公式為ana3(n3)dn2，故a97.

故選：C

n

變式1．（2024·江西新余·統(tǒng)考二模）記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，若a2S3，

a1a3S4，則數(shù)列an的公差為（）

A．2B．1C．2D．4

【答案】A

【解析】由a2S3可得：a1d3a13d①，

43

由a1a3S4可得：aa2d4ad②，

1112

由①②可得：d2或d0(舍去).

故選：A.

變式2．（2024·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)an為等差數(shù)列，若a32a11,a45，則公差d（）

A．－2B．－1C．1D．2

【答案】D

3a12d1a1

【解析】由題意得解得1，

d2

a13d5

故選：D.

n

變式3．（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記Sn為等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，若

S3a5,a3a18，則a7（）

A．30B．28C．26D．13

【答案】C

【解析】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，

32

3a1da14d

則2，a12，d4，

a12da18

所以a7a16d26.

故選：C

【解題方法總結(jié)】

等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略：

（1）求公差d或項(xiàng)數(shù)n．在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想．

（）求通項(xiàng)．和是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素．

2a1d

（3）求特定項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．

（4）求前n項(xiàng)和．利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解．

【注意】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時(shí)的準(zhǔn)確性

與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意運(yùn)用整體代換思

想，使運(yùn)算更加便捷．

題型二：等差數(shù)列的判定與證明

例4．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為

1

S,Sn2a，且a11.

nn3n

a

(1)求證：數(shù)列n是等差數(shù)列；

n

1

n

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和Tn.

an

【解析】（1）數(shù)列an中，3Sn(n2)an，當(dāng)n2時(shí)，3Sn1(n1)an1，

anan1

兩式相減得3an(n2)an(n1)an1，即(n1)an(n1)an1，則，

n1n1

aaaaa1

于是nn1，因此數(shù)列{n}是常數(shù)列，則n1，

(n1)nn(n1)(n1)n(n1)n212

n(n1)an1aa1

從而a，即n,n1n，

n2n2n1n2

a1

所以數(shù)列n是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

n2

1211

（2）由（1）知，2，

annn1nn1

111111112n

所以Tn2[(1)()()].

a1a2an223nn1n1

例5．（2024·江蘇南京·高二南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校考期末）記Sn為數(shù)列{an}的

前n項(xiàng)和．

(1)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

Sna1

①數(shù)列n是等差數(shù)列；②n*

SnnN

n2

n

n

(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a11，a35，求數(shù)列的前項(xiàng)和Tn．

(n2)Sn

na1

【解析】（）選擇條件①：n*，

1SnnN

2

2Snnann,2Sn1n1an1n1，

兩式相減可得2an1n1an1nan1，

即nan1n1an1，

n1an11nan2，

兩式相減可得n1an1nannan2n1an1，

化簡(jiǎn)可得2nan1nan2an，

2an1an2an，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

S

選擇條件②：設(shè)數(shù)列n的首項(xiàng)為b，公差為p，

n1

Sn2

則b(n1)pnpbp，故Snpnb1pn，

n11

當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1

22

pnb1pnpn1b1pn1

b12n1p，

當(dāng)n1時(shí)，a1S1b1，anb12n1p，

又an1anb12npb12(n1)p2p．

數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

a3a1

（2）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且公差d2，

2

n(n1)n(n1)

Snadn2n2．

n122

n1111

，

n2Snnn22nn2

11111111111

故Tn1

232242352nn2

11111111

1

232435nn2

1111

(1)

22n1n2

311132n3

()．

42n1n242(n1)(n2)

2a2*

annN

例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1，n1．

32an3

1

(1)證明：是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)an．

an1

1

(2)證明：a1a2a3an．

n1

an21an

【解析】（1）由an1，可得an11，

2an32an3

132a2a11111

∴nn2，即2，

an11an1an1an1an11an1

21

3

∵a1，即，

3a11

1

∴是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

an1

12n

2n1

∴，即an．

an12n1

242n

（2）令Taaaa①，

n123n352n1

2n2n1352n1

∵，∴T②，

2n12n2n462n2

21

①×②得T2，

n2n2n1

11

∴T，即a1a2a3an．

nn1n1

變式4．（2024·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中校考期末）已知數(shù)列an滿足，

an1,n2k1

an1,kN，a1=1.

an2,n2k

(1)若數(shù)列bn為數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列an的前50項(xiàng)和.

【解析】（1）由題，bn1a2n1a2n2a2n112a2n11bn1，

1

且b1a11，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列；

（2）設(shè)cn為數(shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，注意到c1a2a112，

cn1a2n2a2n11a2n21a2n1cn1，

所以數(shù)列cn是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，

結(jié)合(1)可知，an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以1為公差的等差數(shù)列，

所以S50a1a2a3....a50a1a3....a49+a2a4....a50

25242524

12512251525.

22

aSS0

變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列n的前n項(xiàng)和為nn，數(shù)列Sn的前

*

n項(xiàng)積為Tn，且滿足SnTnSnTnnN．

1

(1)求證：為等差數(shù)列；

Sn1

1

(2)記bn2，求數(shù)列bn的前2024項(xiàng)的和M．

nSn

*

【解析】（1）因?yàn)镾nTnSnTnnN，

2

當(dāng)n1時(shí)，S1T1S1T12a1a1，解得a12或a10，

又Sn0，所以a10，故a12，

Sn

由SnTnSnTn，可得Sn1，所以Tn，

Sn1

S

n1

當(dāng)n2時(shí)，Tn1．

Sn11

TnSnSn11SnSn11

所以，即Sn，

Tn1Sn1Sn1Sn1Sn1

1S111

所以n11，所以1

Sn1Sn11Sn11Sn1Sn11

11

所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

S1

Sn11

1n1

1n11n

（2）所以，則Sn，

Sn1n

1111

因?yàn)閎n2，

nSnnn1nn1

111112023

故M1．

223202320242024

變式6．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，

n2

其前項(xiàng)和Sn滿足：SnanSn1，且Sn0，數(shù)列bn滿足：對(duì)任意nN*有

bbbn1

12nn122.

S1S2Sn

1

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

Sn

(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；

2n13

n

(3)設(shè)Tn是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：Tn.

b2nbn2

2

【解析】（1）SnanSn1，anSnSn1(n2)，

2

SnSnSn1Sn1，即Sn1SnSn1Sn①

由題意Sn1Sn0，

11

將①式兩邊同除以Sn1Sn，得1，

SnSn1

111

數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.

Sa

Sn11

11

（2）由（1）可知1(n1)n,Sn.

Snn

b

1

當(dāng)n1時(shí)，2，即b12，

S1

bbb

當(dāng)n2時(shí)，12nn12n12②，

S1S2Sn

bbb

則12n1n22n2③，

S1S2Sn1

b

nn1nnn

②③，n12n22n2，即bn2，

Sn

n

因?yàn)閎12滿足bn2，

n

所以bn2.

2n12n12n1

（3）由（2）可知，2nnnn

b2nbn22221

13

當(dāng)n1時(shí)，T，

122

2n12n12n12n111

當(dāng)n2時(shí)，2nnnnn1nn1n，

b2nbn2222121212121

1111111

所以T

n22112212212312n112n1

113

1.

22n12

3

所以T.

n2

【解題方法總結(jié)】

判斷數(shù)列an是等差數(shù)列的常用方法

*

（1）定義法：對(duì)任意nN,an1an是周一常數(shù)．

*

（2）等差中項(xiàng)法：對(duì)任意n2,nN，湍足2anan1an1．

*

（3）通項(xiàng)公式法：對(duì)任意nN，都滿足anpnq(p,q為常數(shù)）．

*2

（4）前n項(xiàng)和公式法：對(duì)任意nN，都湍足SnAnBn(A,B為常數(shù)）．

題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)

例7．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列{an}滿足a2a4a6π，則

cosa1a7（）

1123

A．B．C．D．

2222

【答案】A

【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，

π

所以a2a4a63a4π，即a，

43

2π1

所以cosaacos2acos，

17432

故選：A

n

例8．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，若S21105，則a11

（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】A

21a1a21

【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)和的求和公式，可得S21a105，所以a115.

21211

故選：A.

例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足2an1anan2，其前n項(xiàng)和為Sn，

若S918，則a5（）

A．2B．0C．2D．4

【答案】C

9a1a9

【解析】根據(jù)題意2an1anan2，可得數(shù)列an為等差數(shù)列，所以S18，

92

所以a1a94，

所以2a54，所以a52.

故選：C．

變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果等差數(shù)列an中，a3a4a512，那么

a1a2a7（）

A．14B．12C．28D．36

【答案】C

【解析】∵a3a4a512，∴3a412，則a44，又a1a7a2a6a3a52a4，

故a1a2a77a428.

故選:C.

變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a1a9a177，則a3a15

等于（）

A．7B．14C．21D．7(n-1)

【答案】B

【解析】因?yàn)閍1a9a17(a1a17)a92a9a9a97，所以a3a152a92714.

故選：B

變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列an中，a2a46，則

a1a2a3a4a5（）

A．30B．15C．56D．106

【答案】B

【解析】∵數(shù)列an為等差數(shù)列，a2a42a36，所以a33

∴a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a35a315.

故選：B

【解題方法總結(jié)】

如果為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，，，*．因此，出

{an}mnpqamanapaq(mnpqN)

現(xiàn)，，等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與（或其他項(xiàng)）有關(guān)的條件；

am－namam＋nam

1

若求a項(xiàng)，可由a=(a－a＋)轉(zhuǎn)化為求am－n＋an＋m的值．

mm2mnmn

題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已

S7n2a

知n，則7______．

Tnn3b7

93

【答案】

16

1313

aa2a

S1137a

【解析】由題意可知，13227，

T1313b

13bb2b7

211327

aS713293

所以713.

b7T1313316

93

故答案為:.

16

例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且

S3n1a

n，則8______.

Tnn3b5b11

112

【答案】/1

99

【解析】等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，

15a1a15

a12a1aa11S1315111

所以88115215.

b5b112b5b112b1b15215b1b152T1521539

2

11

故答案為：

9

例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別是Sn，Tn，

S3n1a

已知n，則3______.

Tn2n3b3

162

【答案】/2

77

aa

155

a32a3a1a52S5

【解析】因?yàn)閍n，bn為等差數(shù)列，所以，

b2bbbb1b5T

331555

2

S3n1aS16

因?yàn)閚，所以35.

Tn2n3b3T57

16

故答案為：.

7

變式10．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn

S3n2a

n5

與Tn，若，則______．

Tnn1b5

29

【答案】

10

Saa3n2Saa29a29

【解析】由等差數(shù)列的求和公式得n1n，所以9195，

Tnb1bnn1T9b1b910b510

29

故答案為：

10

n

變式11．（2024·寧夏·高三六盤山高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，若

S39，S636，則a4a5a6_________

【答案】27

【解析】a4a5a6S6S336927.

故答案為：27.

變式12．（2024·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前

n項(xiàng)和為Sn，若S1020，S3090，則S20___________

【答案】50

【解析】由題設(shè)S10,S20S10,S30S20成等差數(shù)列，

所以2(S20S10)S10S30S20，則3S203S10S30150，

所以S2050.

故答案為：50

n

變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列an中，a12020，前項(xiàng)和為Sn，若

S12S10

2，則S2022______.

1210

【答案】2022

na1anSna1an

【解析】設(shè)an的公差為d0，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)镾，故，

n2n2

SSaaaadSS

故nn11n1n10為常數(shù)，所以n為等差數(shù)列，設(shè)n公差為d

nn1222nn

S

a2020，12020，

11

SS

12102d2，

1210

d1，

S

202220202021(1)1，則S2022

20222022

故答案為：2022

1

n

變式14．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn，若公差d，

2

S100145；則a1a3a5a99的值為__________.

【答案】60

【解析】設(shè)Pa1a3a5a97a99，Qa2a4a6a98a100，

1

因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，且公差d，S100145，

2

QPS145

所以100，解得P60，Q85，

QP50d25

L

所以a1a3a5a9960.

故答案為：60.

變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為40，

偶數(shù)項(xiàng)的和為32，則a5______.

【答案】8

*

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}有奇數(shù)項(xiàng)k1項(xiàng)，(kN)，偶數(shù)項(xiàng)為k項(xiàng)，公差為d．

奇數(shù)項(xiàng)和為40，偶數(shù)項(xiàng)和為32，40a1a3a2k1，32a2a4a2k，

(k1)(aa)kaa

4012k1(k1)a22k

k1，32ka

22k1

40k1

即，解得：k4

32k

a1a99

即等差數(shù)列{an}共9項(xiàng)，且S9a72

955

a58

故答案為：8

變式16．（2024·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學(xué)?？级＃┰诘炔顢?shù)列an中，前m項(xiàng)（m

為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為30，且a1am12，則an的通項(xiàng)公式為an______.

【答案】2n18

【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d

m1a1amm1

S奇a1a3amam140

2222

m1a2am1m1

S偶a2a4am1am130

2222

S奇m14

，解得m7，且a410

S偶m13

a1a712

a13d10a16

，解得1

d2

a1a16d12

an162(n1)2n18

故答案為：2n18

【解題方法總結(jié)】

S

在等差數(shù)列中，S，S－S，S－S，…仍成等差數(shù)列；{n}也成等差數(shù)列．

n2nn3n2nn

題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

n

例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知Sn為等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，且S235，

n

a2a3a439，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，的值為___________.

【答案】7

2a1d35,

【解析】方法一：設(shè)數(shù)列an的公差為d，則由題意得，

a2a3a43a33a12d39,

a19,

解得1

d3,

2

nn132413411681

則Sn19n3nnn.又nN，∴當(dāng)n7時(shí)，Sn取

2222624

得最大值.

方法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.∵a2a3a43a339，∴a313，

∴2a3S2a3a2a3a13d9，解得d3，

則ana3n3d223n，

223n0,

令

223n10,

1922

解得n，又nN，

33

∴n7，即數(shù)列an的前7項(xiàng)為正數(shù)，從第8項(xiàng)起各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，

故當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n7.

故答案為：7.

n

例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn，已知S120，S130，

則以下選項(xiàng)中，最大的是（）

A．S12B．S7C．S6D．S1

【答案】C

a1a1212a6a712

【解析】因?yàn)镾120，所以=0，所以a6a70，

22

a1a13132a713

又因?yàn)镾130，所以=0，所以a70，

22

又a6a70，所以a60，

所以an為遞減數(shù)列，且前6項(xiàng)為正值，從第7項(xiàng)開始為負(fù)值，

所以SnmaxS6，

故選：C.

n2

例15．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，若a121，前項(xiàng)和Sn2nbn，則Sn的

最大值為______．

【答案】66

22

【解析】S1a1211b=21，解得b23，故Sn2n23n，屬于二次函數(shù)，

23

對(duì)稱軸為5.75，故當(dāng)n5或6時(shí)取得最大值，

4

22

S52523565，S62623666，S6S5，

故Sn的最大值為66.

故答案為：66.

變式17．（2024·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列an的各項(xiàng)

均為正整數(shù)，且a92020，則a1的最小值是________

【答案】4

【解析】若等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列an單增，則公差dN，

故a1a98d20208d為正整數(shù)，a1關(guān)于d單減，

202025284，則當(dāng)d252時(shí)，故a1取得最小值為4，

故答案為：4

n><

變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，若S250，S260，

S

則數(shù)列nnN,n25中的最大項(xiàng)是第______項(xiàng).

an

【答案】13

【解析】由已知可得數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，且前13項(xiàng)大于0，自第14項(xiàng)起小于0，可得數(shù)

SSS