2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第39講、復(fù)數(shù)（教師版）

第39講復(fù)數(shù)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念

（1）i叫虛數(shù)單位，滿足i21，當(dāng)kZ時(shí)，i4k1,i4k1i,i4k21,i4k3i．

（2）形如abi(a,bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作abiC．

①?gòu)?fù)數(shù)zabi(a,bR)與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng)，a叫z的實(shí)部，b叫z的虛

部；b0zR,Z點(diǎn)組成實(shí)軸；b0,z叫虛數(shù)；b0且a0，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)

點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．

ac

②兩個(gè)復(fù)數(shù)abi,cdi(a,b,c,dR)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）

bd

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)abi(a,bR)的模，也就是向量OZ的模，即有向線段OZ的長(zhǎng)度，

其計(jì)算公式為|z||abi|a2b2，顯然，|z||abi|a2b2,zza2b2．

知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則

1、復(fù)數(shù)運(yùn)算

（1）(abi)(cdi)(ac)(bd)i

（2）(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

(abi)(abi)zza2b2|z|2

(注意z2|z|2)

zz2a

其中|z|a2b2，叫z的模；zabi是zabi的共軛復(fù)數(shù)(a,bR)．

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i

（3）(c2d20)．

cdi(cdi)(cdi)c2d2

實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都

適用于復(fù)數(shù)．

注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

以復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的

z1,z2OZ1,OZ2OZ1ZZ2OZ

向量就是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)應(yīng)的向量是．

OZz1z2z1z2Z2Z1

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

（1）復(fù)數(shù)zabi(a,bR)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)；

（2）復(fù)數(shù)zabi(a,bR)對(duì)應(yīng)平面向量OZ；

（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都

表示復(fù)數(shù)．

（4）復(fù)數(shù)zabi(a,bR)的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)到原點(diǎn)的距離．

3、復(fù)數(shù)的三角形式

（1）復(fù)數(shù)的三角表示式

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi都可以表示成r(cosisin)形式，其中r是復(fù)數(shù)z的

模；是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)

zabi的輻角．r(cosisin)叫做復(fù)數(shù)zabi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式．

（2）輻角的主值

任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差2的整數(shù)倍．規(guī)定在

02范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作argz，即0argz2．復(fù)數(shù)的代

數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．

（3）三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等

兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．

（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算

①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即

r(cosisin)r(cosisin)rrcos()isin()

111222121212．

②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義

復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（如果

z1,z2OZ1,OZ2OZ1O2

，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向

20OZ1O2r2

量，表示的復(fù)數(shù)就是積．

OZOZz1z2

（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算

兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的

r1(cos1isin1)r1

輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即cos(12)isin(12)．

r2(cos2isin2)r2

必考題型全歸納

題型一：復(fù)數(shù)的概念

例1．（2024·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知12iai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a（）

1111

A．B．C．D．

3322

【答案】A

【解析】由于12iaia2(12a)i,

1

12iai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，故a2(12a)0,a，

3

故選：A

例2．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)z滿足z3i2i，其中i為虛數(shù)單位，則z的

虛部為（）

3313

A．B．iC．D．

2222

【答案】A

2i2i3i223i13

【解析】因?yàn)閦3i2i，所以zi

3i3i3i422

3

所以z的虛部為.

2

故選：A.

例3．（2024·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）若復(fù)數(shù)za24a2i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A．2B．2或2C．2D．4

【答案】C

a240

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)za24a2i為純虛數(shù)，則有，解得a2，

a20

所以實(shí)數(shù)a的值為2.

故選：C

35i

例4．（多選題）（2024·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中?？寄M預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z，則（）

1i

A．z17B．z的實(shí)部與虛部之差為3

C．z4iD．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

【答案】ACD

35i35i1i

【解析】∵z4i，

1i1i1i

∴z的實(shí)部與虛部分別為4，1，

2

z42117，A正確；

z的實(shí)部與虛部之差為5，B錯(cuò)誤；

z4i，C正確；

z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為4,1，位于第四象限，D正確．

故選：ACD．

2

例5．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）若z是純虛數(shù)，z1，則的實(shí)部為______.

1z

【答案】1

2

【解析】z是純虛數(shù)，且z1，則有zi，故1i，實(shí)部為1.

1z

故答案為：1.

【解題方法總結(jié)】

無(wú)論是復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運(yùn)算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠郑?/p>

所以在解決復(fù)數(shù)有關(guān)問題時(shí)要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都認(rèn)識(shí)清楚．

題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1i

例6．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z，則zz（）

1i

A．1iB．1C．1iD．i

【答案】A

(1i)(1i)2i

【解析】依題意，zi，則|z|1,zi，

(1i)(1i)2

所以|z|z1i.

故選：A

例7．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）若i1z2i2i，則z（）

1111

A．iB．i

2222

1131

C．iD．i

2222

【答案】B

2i2i1i13i1i

【解析】由已知得z2i2i2i，

1i2222

11

故zi.

22

故選：B.

例8．（2024·陜西榆林·高三綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足(z2i)i3i，則z（）

A．1iB．3iC．15iD．13i

【答案】A

【解析】因?yàn)?z2i)i3i，

3i(3i)(i)

所以z2i2i13i2i1i．

ii(i)

故選：A.

例9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足3zi14iz，則|z|（）

4222

A．2B．C．D．

2555

【答案】C

1i17i2

【解析】解法一：由3zi14iz得z，所以|z|，故選C．

34i255

2

解法二：由3zi14iz得(34i)z1i，所以5|z|2，即|z|，

5

故選：C．

【解題方法總結(jié)】

設(shè)z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，則

（1）z1z2ac(bd)i

（2）z1z2acbd(adbc)i

zacbdbcad

（）1

32222i(z20)

z2cdcd

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義

3i

例10．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1i2023

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】A

3i3i3i(3i)(1i)

【解析】由題得2i，即復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為2,1，在

1i20231i31i(1i)(1i)

第一象限.

故選：A．

例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1與z3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，

z

則1（）

2i

A．1iB．1iC．1iD．1i

【答案】B

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z1與z3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以z13i，

z3i3i2i55i

所以11i．

2i2i2i2i5

故選：B．

例12．（2024·湖北·校聯(lián)考三模）如圖，正方形OABC中，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是35i，則頂點(diǎn)

B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A．28iB．28iC．17iD．27i

【答案】A

【解析】由題意得：OA3,5,不妨設(shè)C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為abia0,b0，則OCa,b,

a2b23252a5

由OAOC,OAOC，得，

3a5b0b3

即C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為53i，

由OBOAOC得：B點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為(35i)(53i)28i.

故選：A．

例13．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)，z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1(0,2)，

z1

Z2(1,1)，則（）

z2

A．2B．3C．2D．1

【答案】C

z12iz1

【解析】由題意，知z12i，z21i，所以1i，所以2．

z21iz2

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的點(diǎn)，其實(shí)部、虛部分別是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)、

縱坐標(biāo)，這是研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點(diǎn)．

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)

例14．（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知2i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程

x2bxc0(b,cR)的一個(gè)根，則bc（）

A．9B．1C．7D．2i5

【答案】B

【解析】已知2i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程x2bxc0(b,cR)的一個(gè)根，

32bc0

則(2i)2b(2i)c0，即44i12bbic0，即，

4b0

b4

解得，故bc1.

c5

故選：B．

例15．（2024·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知z1a2i，z22bi，a,bR，若

z1z1z2z2i413i，則（）

A．a(chǎn)2，b3B．a(chǎn)2，b3

C．a(chǎn)2，b3D．a(chǎn)2，b3

【答案】C

222

【解析】由已知可得，z1z1a2ia2i2a，z2z22bb4，

2

所以z1z1z2z2i2ab4i413i，

2a4a2a2

所以有2，解得或.

b413b3b3

故選：C.

例16．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z34i，且zaz94i，其中a是實(shí)數(shù)，

則（）

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)1D．a(chǎn)3

【答案】B

【解析】因?yàn)閦34i，所以z34i，

所以34i3a4ai33a44ai94i，

所以33a9，44a4，解得a2.

故選:B.

例17．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足zz24i，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）

A．2B．4C．4D．2

【答案】B

【解析】設(shè)zabi,a,bR，則za2b2，

則zz24i，即aa2b2bi24i，

aa2b22a3

所以，解得，

b4b4

所以z34i,z34i，

所以z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為4.

故選：B.

例18．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z34i，且zazbi9，其中a，b是實(shí)數(shù)，

則（）

A．a(chǎn)2，b3B．a(chǎn)2，b4

C．a(chǎn)1，b2D．a(chǎn)2，b4

【答案】B

【解析】因?yàn)閦34i，所以z34i，則由zazbi9得：

34i+a(34i)+bi=9，即33a(4b4a)i=9，

4b4a0a2

故，解得：.

33a=9b=4

故選：B.

【解題方法總結(jié)】

復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)

共軛復(fù)數(shù)：abicdiac且bd(a，b，c，dR)．

題型五：復(fù)數(shù)的模

例19．（2024·河南·統(tǒng)考二模）若i1z12，則|z1|_______．

【答案】10

22(1i)

【解析】由i1z12可得z112i，

i12

故z2i，則|z1||3i|321210，

故答案為：10

例20．（2024·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z2z2，則z3__________．

【答案】8

【解析】設(shè)zabi，則z2a2bi，

22

ab4

所以，解得，

22a1,b3

a2b4

2

當(dāng)a1,b3時(shí)，z13i，故z213i123i3i2223i，

z3223i13i26i28；

2

當(dāng)a1,b3時(shí)，z13i，故z213i123i3i2223i，

z3223i13i26i28

故答案為：-8

例21．（2024·遼寧鐵嶺·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|=2，z1z23i，則

|z1z2|=__________.

【答案】23

【解析】方法一：設(shè)z1abi,(aR,bR)，z2cdi,(cR,dR)，

z1z2ac(bd)i3i，

ac32222

，又|z1|=|z2|=2，所以ab4，cd4，

bd1

(ac)2(bd)2a2c2b2d22(acbd)4

acbd2

22

z1z2(ac)(bd)i(ac)(bd)82acbd

8423.

故答案為：23.

方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1,Z2,OPOZ1OZ2,

由已知OP312OZ1OZ2,

∴平行四邊形OZ1PZ2為菱形，且OPZ1,OPZ2都是正三角形，∴Z1OZ2120，

1

|ZZ|2|OZ|2|OZ|22|OZ||OZ|cos1202222222()12

1212122

∴z1z2Z1Z223.

【解題方法總結(jié)】

|z|a2b2

題型六：復(fù)數(shù)的三角形式

例22．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函

數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式eixcosxisinx（x∈R，i為虛數(shù)單位），這個(gè)公式在

復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)此公式，下面四個(gè)結(jié)果中不成

立的是（）

2022

13

．iπ．

Ae10Bi1

22

ixix

C．ee2D．2eixeix2

【答案】D

【解析】對(duì)于A，當(dāng)xπ時(shí)，因?yàn)閑iπcosπisinπ1，所以ei10，故選項(xiàng)A正確；

2022

2022π2022

13ππi

對(duì)于，3674πi，

Bicosisineecos674πisin674π1

2233

故選項(xiàng)B正確；

ix

對(duì)于C，由eixcosxisinx，ecosxisinxcosxisinx，

ix-ix

所以eixeix2cosx,得出ee2cosx2，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，由C的分析得eixeix2isinx，推不出2eixe-ix2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：D．

例23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi(a,bR)都可以表示成

zr(cosisin)(r0,R)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)

現(xiàn)：[r(cosisin)]nrn(cosnisinn)(nZ)，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．則

(13i)2022（）

A．1B．22022C．22022D．i

【答案】B

13

【解析】13i2i2cosisin，

2233

20222022202220222022

(13i)2cosisin2；

33

故選：B．

例24．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）歐拉公式eicosisin把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單

位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．若復(fù)數(shù)z滿足eiiz1，則z的

虛部為（）

11

A．B．C．1D．1

22

【答案】B

【解析】由歐拉公式知：

eiπcosπisinπ1，(eii)z(1i)zi，

ii(1i)1i11

zi，

1i(1i)(1i)222

1

z的虛部為．

2

故選：B

例25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）棣莫弗公式(cosxisinx)ncosnxisinnx（其中i為虛數(shù)

單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)

2023

cosisin在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

66

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】C

【解析】由棣莫弗公式知，

2023

ππ2023π2023πππ

cosisincosisincos337πisin337π

666666

ππ31

cos(π+)isin(π+)i，

6622

2023

ππ31

復(fù)數(shù)cosisin在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,，位于第三象限．

6622

故選：C．

【解題方法總結(jié)】

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi都可以表示成r(cosisin)形式，其中r是復(fù)數(shù)z的

模；是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)

zabi的輻角．r(cosisin)叫做復(fù)數(shù)zabi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式．

題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的