2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第56講、立體幾何解答題（學(xué)生版）

第56講立體幾何解答題

必考題型全歸納

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

282

例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1的體積為，其中

3

AB2A1B14.

(1)求側(cè)棱AA1與底面ABCD所成的角；

(2)在線段CC1上是否存在一點(diǎn)P，使得BPA1D？若存在請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在三棱臺(tái)ABCDEF中，G為AC中點(diǎn)，AC2DF，

ABBC，BCCF.

(1)求證：BC平面DEG；

π

(2)若ABBC2，CFAB，平面EFG與平面ACFD所成二面角大小為，求三棱錐

3

EDFG的體積.

例3．（2024·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正四棱臺(tái)

ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B1，AA13，M，N為棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，棱AB上存

在一點(diǎn)E，使得A1E//平面BMND．

AE

(1)求；

AB

(2)當(dāng)正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1的體積最大時(shí)，求BB1與平面BMND所成角的正弦值．

變式1．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)A1B1C1-ABC中，

π

AB2，ABAC4，AACC5，BB3，BAC．

111112

(1)證明：平面A1ACC1⊥平面ABC；

(2)設(shè)D是BC的中點(diǎn)，求平面A1ACC1與平面A1AD夾角的余弦值．

變式2．（2024·安徽·高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓錐PO的高為3，AB是底

面圓O的直徑，四邊形ABCD是底面圓O的內(nèi)接等腰梯形，且AB2CD2，點(diǎn)E是母線PB

上一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面ACE平面POD；

130

(2)若二面角AECB的余弦值為，求三棱錐AECD的體積.

130

變式3．（2024·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，A，B為底面圓O

2π

上兩點(diǎn)，AOB，E為PB中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，且AF2FB.

3

(1)證明：平面AOP平面OEF；

(2)若OPAB，求直線AP與平面OEF所成角的正弦值.

變式4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，四

邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，BD為底面圓的直徑，M在母線PB上，且

ABBCBM2，BD4，MD23．

(1)求證：平面AMC平面ABCD；

(2)設(shè)點(diǎn)E為線段PO上動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面ADM所成角的正弦值的最大值．

變式5．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，線段AA1是圓柱OO1的母線，ABC是圓柱

下底面⊙O的內(nèi)接正三角形，AA1AB3．

(1)劣弧BC上是否存在點(diǎn)D，使得O1D//平面A1AB？若存在，求出劣弧BD的長(zhǎng)度；若不存

在，請(qǐng)說明理由．

(2)求平面CBO1和平面BAA1所成角的正弦值．

題型二：立體幾何存在性問題

例4．（2024·全國·高三對(duì)口高考）如圖，如圖1，在直角梯形ABCD中，

ABCDAB90,CAB30,BC2,AD4．把△DAC沿對(duì)角線AC折起到△PAC的

位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面ABC上的正投影H恰好落在線段AC上，連接PB，點(diǎn)

E，F(xiàn)分別為線段PA，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面EFH//平面PBC；

(2)求直線HE與平面PHB所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得M到點(diǎn)P,H,A,F四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說明理由．

例5．（2024·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎狝BC和VADE所在的平面互相垂直，

ADAE，AB2，AC4，BAC120，D是線段BC的中點(diǎn)，AD3.

(1)求證：ADBE；

(2)設(shè)AE2，在線段AE上是否存在點(diǎn)F（異于點(diǎn)A），使得二面角ABFC的大小為45.

例6．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在ABC中，DB=90°，P為

AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD//BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA.

(1)證明：平面CBA平面PBA；

(2)若PBCB2PD4，且APAP，線段AC上是否存在一點(diǎn)E（不包括端點(diǎn)），使得

314AE

銳二面角EBDC的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說明理由.

14EC

變式6．（2024·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊

形．如圖，四邊形ABCD為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為O,AB2,BDBC2，將△ABD沿BD

折到ABD的位置，形成三棱錐ABCD．

(1)求B到平面AOC的距離；

1

(2)當(dāng)AC1時(shí)，在棱AD上是否存在點(diǎn)P，使得直線BA與平面POC所成角的正弦值為？

4

AP

若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

AD

變式7．（2024·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測(cè)）斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為

4,A1AB60，點(diǎn)A1在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O.

(1)在棱BB1（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)D使A1DAC1？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，

請(qǐng)說明理由；

(2)求點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離.

變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐PABCD中，CD平面PAD，△PAD

為等邊三角形，AD//BC，ADCD2BC2，平面PBC交平面PAD直線l，E、F分別

為棱PD，PB的中點(diǎn)．

(1)求證：BC∥l；

(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；

PG

(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得DG∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說明

PC

理由．

變式9．（2024·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐P-ABC中，若已知PABC，

PBAC，點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)H，則

(1)證明：PCAB

(2)設(shè)PHHAHBHC2，則在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得BM與平面PAB所成

4CM

角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

5CP

變式10．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐EABCD中，底面ABCD為矩形，

AD2AB2，EAD為等腰直角三角形，平面EAD平面ABCD，G為BC中點(diǎn).

3

(1)在線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面EGD的距離為.若存在，求出DQ的值；

2

若不存在，說明理由；

(2)求二面角DECB的正弦值.

變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐PABC中，側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為2的

正三角形，BC4，AB25，E,F分別為PC,PB的中點(diǎn)，平面AEF與底面ABC的交線

為l.

(1)證明：l//平面PBC.

43

(2)若三棱錐PABC的體積為，試問在直線l上是否存在點(diǎn)Q，使得直線PQ與平面

3

π

AEF所成角為，異面直線PQ,EF所成角為，且滿足？若存在，求出線段AQ

2

的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

變式12．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考二模）如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，

2

ABC60,PCBD,PAABPB.

2

(1)證明：PA面ABCD；

39

(2)線段PD上是否存在點(diǎn)E，使平面ACE與平面PAB夾角的余弦值為？若存在，指出

13

點(diǎn)E位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

題型三：立體幾何折疊問題

例7．（2024·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在圖1中，ABC為等腰直角三角

形，DB=90°，AB22，ACD為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且EC2BE，

沿AC將ACD進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得FB4．

(1)證明：FO平面ABC．

(2)求二面角EFAC的余弦值．

例8．（2024·廣東深圳·?？级＃┤鐖D1所示，等邊ABC的邊長(zhǎng)為2a，CD是AB邊上的

高，E，F(xiàn)分別是AC，BC邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將ABC沿CD折疊，如圖2所示.

(1)證明：CDEF；

(2)折疊后若AB=a，求二面角ABD-E的余弦值.

''

例9．（2024·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖甲所示的正方形AAA1A1中，

'

AA112,ABA1B13,BCB1C14,對(duì)角線AA1分別交BB1,CC1于點(diǎn)P,Q，將正方形

''沿折疊使得與''重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱

AAA1A1BB1,CC1AA1AA1ABCA1B1C1.

15

(1)若點(diǎn)M在棱AC上，且AM，證明：BM∥平面APQ；

7

(2)求二面角A1PQA的余弦值.

變式13．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖甲所示，直角三角形

SAB中，ABS90，ABBS6，C，D分別為SB，SA的中點(diǎn)，現(xiàn)在將SCD沿著CD

進(jìn)行翻折，使得翻折后S點(diǎn)在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成

角為，M為折疊后SA的中點(diǎn)，如圖乙所示.

3

(1)證明：DM//平面SBC；

(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.

變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形BCDE中，BC//DE，BCCD，

A為DE的中點(diǎn)，且DE2BC4，BE22，將ABE沿AB折起，使得點(diǎn)E到達(dá)P處

（P與D不重合），記PD的中點(diǎn)為M，如圖2．

(1)在折疊過程中，PB是否始終與平面ACM平行？請(qǐng)說明理由；

(2)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，求CD與平面ACM所成角的正弦值．

變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，

ABAD,AD∥BC,AD6,BC2AB4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB，現(xiàn)將四邊

形ABCD沿EF折起，使BEEC．

(1)若BE3，在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P，使得CP//平面ABEF？若存在，求

AP

出的值；若不存在，說明理由．

PD

(2)求三棱錐ACDF的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離．

變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形MABC中，ABC是等腰直角三角形，

ACB90,MAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以AC為折痕，將△MAC向一方折疊到△DAC

的位置，使D點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影在AB上，再將△MAC向另一方折疊到EAC的位置，

使平面EAC平面ABC，形成幾何體DABCE.

（1）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，求證：DF//平面EAC；

（2）求平面ACD與平面BCE所成角的正弦值.

變式17．（2024·四川瀘州·瀘縣五中?？既＃┤鐖D1，在梯形ABCD中，AB//CD，且

AB2CD4，ABC是等腰直角三角形，其中BC為斜邊.若把ACD沿AC邊折疊到

△ACP的位置，使平面PAC平面ABC，如圖2.

（1）證明：ABPA；

（2）若E為棱BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面PAE的距離.

變式18．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中校考一模）如圖1，四邊形ABCD為直角梯形，AD//BC，

ADAB，BCD60，AB23，BC3，E為線段CD上一點(diǎn)，滿足BCCE，F(xiàn)為BE

的中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形沿BE折疊（如圖2），使平面BCE平面ABED.

（1）求證：平面ACE平面BCE；

（2）能否在線段AB上找到一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外）使得直線AC與平面PCF所成角的正弦值

3

為？若存在，試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4

題型四：立體幾何作圖問題

例10．（2024·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）已知正四棱錐PABCD中，O為底面ABCD

的中心，如圖所示．

(1)作出過點(diǎn)O與平面PAD平行的截面，在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，寫出

簡(jiǎn)要作圖過程及理由；

(2)設(shè)PD的中點(diǎn)為G，PAAB，求AG與平面PAB所成角的正弦值．

例11．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD

π3

是菱形，CDCCAC2，DCB，且cosCCDcosCCB.

113114

(1)試在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作直線l，使得直線l//平面C1BD，說明作圖方法，并證明：直

線l∥B1D1；

(2)求平面BC1D與平面A1B1D所成銳二面角的余弦值.

例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是

3

菱形，CDCCAC2，DCB且cosCCDcosCCB.

113114

(1)試在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作直線l，使得直線l//平面C1BD，說明作圖方法，并證明：直

線l//B1D1；

(2)求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.

變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖多面體ABCDEF中，面FAB面ABCD，F(xiàn)AB

3

為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，EF//BC，且EFBC3，H，G分別為CE，

2

CD的中點(diǎn).

（1）求二面角CFHG的余弦值；

AP

（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為P，寫出的值（不

AB

需要說明理由，保留作圖痕跡）.

變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，

2

DAB.ACBDO,且PO平面ABCD，PO3，點(diǎn)F,G分別是線段PB.PD上的

3

中點(diǎn)，E在PA上.且PA3PE.

（Ⅰ）求證：BD//平面EFG；

（Ⅱ）求直線AB與平面EFG的成角的正弦值；

（Ⅲ）請(qǐng)畫出平面EFG與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.

變式21．（2024·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知多面體EABCDF的底

1

面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，EA底面ABCD，F(xiàn)D//EA，且FDEA1.

2

(1)記線段BC的中點(diǎn)為K，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)K作一條直線與平面ECF平行，要求保留

作圖痕跡，但不要求證明；

(2)求直線EB與平面ECF所成角的正弦值.

變式22．（2024·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱

形.

(1)（如圖1）若點(diǎn)P為ABC內(nèi)任一點(diǎn)，作出C1P與面ACB1的交點(diǎn)M（作出圖象并寫出簡(jiǎn)

單的作圖過程，不需證明）；

(2（)如圖2）若面ACB1面BB1C1C,ACAB1,ACAB1,CBB160，求二面角AA1B1C1

的余弦值.

變式23．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，P在平

面上滿足CPCA，將△ACP沿AC翻折，使點(diǎn)P到達(dá)P的位置，若平面PBC平面ABC，

且BCPA．

(1)作平面，使得AP，且BC，說明作圖方法并證明；

(2)點(diǎn)M滿足MC2PM，求二面角PABM的余弦值．

變式24．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐PABCD

的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱PA平面ABCD，點(diǎn)M在棱DP上，且DM2MP，點(diǎn)N

是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)（不為端點(diǎn)）.（如圖所示）

(1)若N是棱PC中點(diǎn)，

（i）畫出△PBD的重心G（保留作圖痕跡），指出點(diǎn)G與線段AN的關(guān)系，并說明理由；

（ii）求證：PB∥平面AMN；

(2)若四邊形ABCD是正方形，且APAD3，當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線PA與平面AMN所

成角的正弦值取最大值.

題型五：立體幾何建系繁瑣問題

例13．（2024·福建福州·福建省福州格致中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1

中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，BBABBC,AB2AB2,BB3

3611111

（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；

（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.

例14．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，

M，N分別為BC,A1C1的中點(diǎn)，ACB1M．

(1)證明：MN//平面ABB1A1；

(2)若BC2，三棱錐AB1MN的體積為2，求二面角AB1MN的余弦值．

例15．（2024·江西撫州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABBC,ABBC，

已知平面ABC平面ACD，平面ABC平面BCE，DE//平面ABC，AD⊥DE．

(1)證明：DE平面ACD；

(2)若AC2CD2，設(shè)M為棱BE上的點(diǎn)，且滿足2BMME，求當(dāng)幾何體ABCDE的體積

取最大值時(shí)，AM與CD所成角的余弦值．

變式25．（2024·黑龍江佳木斯·高一建三江分局第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知三棱柱

ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn)，P為

AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）證明：平面A1AMNEB1C1F；

（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AOAB，求直線B1E與平面A1AMN

所成角的正弦值．

變式26．（2024·黑龍江哈爾濱·哈九中?？既＃┤鐖D，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是

正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1

和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；

（2）設(shè)O為△ABC的中心，若AOAB12，AO//平面EBCF，且MPN，求四

111113

棱錐BEB1C1F的體積.

變式27．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體ABCDA1B1C1D1

中，每一個(gè)面均為邊長(zhǎng)為2的菱形，平面ABB1A1底面ABCD，DAB60，M，N分別

是AA1，BB1的中點(diǎn)，P是B1M的中點(diǎn).

(1)證明：DP∥平面ACN；

(2)若側(cè)棱AA1與底面ABCD所成的角為60°，求平面DPB1與平面ADD1A1所成銳二面角的余

弦值.

變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AD∥BC，

1

BCAB，ABADBC，BD2，PD5．

2

(1)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；

(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使得CM平面PBD？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置；若不存

在，請(qǐng)說明理由．

變式29．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等邊三角形，AA1AC，

點(diǎn)D，E分別為AC，CC1的中點(diǎn)，CED30，A1B2BD6．

(1)求點(diǎn)A1到平面BDE的距離；

(2)求二面角A1BED的余弦值．

變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)四棱錐P1ABCD與P2ABCD的公共底面是

邊長(zhǎng)為4的正方形，頂點(diǎn)P1，P2在底面的同側(cè)，棱錐的高P1O1P2O22，O1，O2分別為

AB，CD的中點(diǎn)，P1D與P2A交于點(diǎn)E，P1C與P2B交于點(diǎn)F.

(1)求證：點(diǎn)E為線段P2A的中點(diǎn)；

(2)求這兩個(gè)棱錐的公共部分的體積.

變式31．（2024·全國·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十

書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最

簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將

由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐PABC中，PA平面ABC.

（1）從三棱錐PABC中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐PABC

為“鱉臑”；

（2）如圖，已知ADPB，垂足為D，AEPC，垂足為E，ABC90.

（i）證明：平面ADE平面PAC；

（ii）設(shè)平面ADE與平面ABC交線為l，若PA23，AC2，求二面角ElC的大小.

變式32．（2024·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)校考期末）如圖，四面體ABCD中，ABC

等邊三角形，ABAD，且ABAD2.

(1)記AC中點(diǎn)為M，若面ABC面ABD，求證：BM面ADC；

5π

(2)當(dāng)二面角DABC的大小為時(shí)，求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.

6

變式33．（2024·河北衡水·高二?？奸_學(xué)考試）已知四面體ABCD，ADCD，

ADBCDB120，且平面ABD平面BCD．

(1)求證：BDAC；

(2)求直線CA與平面ABD所成角的大?。?/p>

題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題

例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐ABCD中，ABC是等邊三角形，

BADBCD90，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，DP

1證明：平面ACD平面BDP；

3

2若BD6，cosBPD，求三棱錐ABCD的體積．

3

例17．（2024·高二校考單元測(cè)試）如圖,在三棱錐ABCD中,ABC是等邊三角

形,BADBCD90,點(diǎn)P是AC的中點(diǎn),連接BP,DP．

（1）證明:平面ACD平面BDP;

（2）若BD6,且二面角ABDC為120,求直線AD與平面BCD所成角的正弦值．

例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐FABCD中，底面ABCD為邊長(zhǎng)是2的

正方形，E，G分別是CD，AF的中點(diǎn)，AF4，F(xiàn)AEBAE，且二面角FAEB的

大小為90.

(1)求證：AEBG；

(2)求二面角BAFE的余弦值.

變式34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐EABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2

的菱形，DAEBAE45，DAB60.

（1）證明：平面ADE平面ABE；

（2）當(dāng)直線DE與平面ABE所成的角為30°時(shí)，求平面DCE與平面ABE所成銳二面角的余

弦值.

變式35．（2024·廣東陽江·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD

是直角三角形，ABDCBD，AB=BD．

(1)求證：平面ACD平面ABC；

1

(2)若DEmDB，二面角DAEC的余弦值為，求m．

7

變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，已知ABDCBD60，

ABBC2，

(1)求證：ACBD；

5

(2)若平面ABD平面CBD，且BD，求二面角CADB的余弦值.

2

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

例19．（2024·河北·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDFGHE，平

π

面ABCD與平面BCEF所成角為0.

2

(1)若ABBC，求直線AH與平面BCEF所成角的余弦值（用cos表示）；

(2)將矩形BCEF沿BF旋轉(zhuǎn)度角得到矩形BFPQ，設(shè)平面ABCD與平面BFPQ所成角為

π

0，請(qǐng)證明：coscos2.

2

例20．（2024·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在四棱錐SABCD中，BCCD，

ABCD，SASD1，AB2BC2CD2，平面SAD平面ABCD.

(1)證明：SABD；

1SE

(2)若E是棱SB上一點(diǎn)，且二面角SADE的余弦值為，求的大小.

2SB

例21．（2024·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐PABCD中，

AB∥CD,APPD,ABBC,PAPDDCBC1,AB2，E是PB的中點(diǎn)．

(1)求CE的長(zhǎng)；

π

(2)設(shè)二面角PADB平面角的補(bǔ)角大小為，若0,，求平面PAD和平面PBC夾角

2

余弦值的最小值．

變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD底面

ABCD，M是線段PD的中點(diǎn)，設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.

(1)證明l∥平面BCM

6

(2)已知PDAD1，Q為l上的點(diǎn)，若PB與平面QCD所成角的正弦值為是，求線段QC

3

的長(zhǎng).

(3)在（2）的條件下，求二面角DCQM的正弦值.

變式38．（2024·江西撫州·高二臨川一中?？计谥校┤鐖D，直線AQ平面，直線AQ平

行四邊形ABCD，四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在平面上，AB7，AD3，ADDB，

ACBDO,OP//AQ,AQ2，M,N分別是AQ與CD的中點(diǎn).

（1）求證：MN//平面QBC；

（2）求二面角MCBQ的余弦值.

變式39．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐SABCD中，底

面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，AB2，SC22．

(1)證明：平面SAD平面ABCD；

(2)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)P（P不在端點(diǎn)處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等

21

于？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

7

變式40．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二?？计谀┤鐖D，四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為矩形，

SD底面ABCD，AD2，DCSD2.點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，ABM60°.

（1）證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；

（2）求二面角SAMB的余弦值.

變式41．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）三棱柱ABCA1B1C1的

底面ABC是等邊三角形，BC的中點(diǎn)為O，AO底面ABC，AA與底面ABC所成的角為，

113

3

點(diǎn)D在棱AA1上，且AD,AB2.

2

（1）求證：OD平面BB1C1C；

（2）求二面角BB1CA1的平面角的余弦值.

變式42．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐

P-ABC所有棱長(zhǎng)都等，PO⊥平面ABC，垂足為O．點(diǎn)B1，C1分別在平面PAC，平面PAB

內(nèi)，線段BB1，CC1都經(jīng)過線段PO的中點(diǎn)D．

(1)證明：B1C1∥平面ABC；

(2)求直線AP與平面AB1C1所成角的正弦值．

變式43．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐PABCE中，PA平面ABCE，

平面PAB平面PBC，且AB1，BC2，BE22，點(diǎn)A在平面PCE內(nèi)的射影恰為PCE

的重心G.

（1）證明：BCAB；

（2）求直線CG與平面PBC所成角的正弦值.

變式44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面//平面，菱形ABCD平面，AC2，

E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).

(1)若平面，間的距離為3，設(shè)直線AE，CE與平面所成的角分別為，，

11

2，求動(dòng)點(diǎn)E在平面內(nèi)的射影F的一個(gè)軌跡方程；

tantan

(2)若點(diǎn)E在平面內(nèi)的射影為A，證明：直線CE與平面BDE所成的角與BAD的大小無

關(guān).

題型八：空間中的點(diǎn)不好求

例22．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐ABCD，D在面ABC上的投影為O，O恰

好為△ABC的外心．ACAB4，BC2.

(1)證明：BC⊥AD；

(2)E為AD上靠近A的四等分點(diǎn)，若三棱錐A-BCD的體積為1，求二面角ECOB的余弦

值．

21

例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐PABCD中，ABBC，

2

ADCDAC23，E，F(xiàn)分別為AC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在PF上，且G為三角形PCD

的重心.

(1)證明：GE//平面PBC；

(2)若PAPC，PACD，四棱錐PABCD的體積為33，求直線GE與平面PCD所成角

的正弦值.

例24．（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1

中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD1上，ACBDO，平面ACP∥平面A1C1D．

(1)求證：O，P，B1三點(diǎn)共線；

π

(2)若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BADBAADAA，AA3，求二面角

1131

P-AB-C大小的余弦值．

變式45．（2024·江西·校聯(lián)考二模）正四棱錐PABCD中，PAAB2，E為PB中點(diǎn)，

AFAP,CGCP，平面EFG平面ABCDl，平面EFGADK.

(1)證明：當(dāng)平面EFG平面PBD時(shí)，l平面PBD

1

(2)當(dāng)時(shí)，T為PABCD表面上一動(dòng)點(diǎn)（包括頂點(diǎn)），是否存在正數(shù)m，使得有且

3

22222

僅有5個(gè)點(diǎn)T滿足22TPTATBTCTKm，若存在，求m的值，若不存在，

請(qǐng)說明理由.

變式46．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDEFGH中，點(diǎn)M

是正方體的中心，將四棱錐MBCGF繞直線CG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0π)后，得到四棱錐

MBCGF．

π

(1)若，求證：平面MCG//平面MBF；

2

(2)是否存在，使得直線MF平面MBC？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

變式47．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABCD中，ABBD1，四邊形BDEF為正方形，

2π

滿足ABF，連接AE，AF，CE，CF．

3

(1)證明：CFAE；

(2)求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值．

題型九：創(chuàng)新定義

例25．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽（圖a）為研

究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個(gè)獨(dú)特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，

相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一圓柱的側(cè)面上．如圖，將兩個(gè)底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方

向嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體時(shí)（如圖b），兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖c）即得一個(gè)“牟

合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖中標(biāo)出的各點(diǎn)A，B，C，D，P，Q均在原

正方體的表面上）．

(1)由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過程可知，圖d中的曲線PBQD為一個(gè)橢圓，求此橢圓的離心率；

1

(2)如圖c，點(diǎn)M在橢圓弧PB上，且三棱錐ADMC的體積為，求二面角PAMC的正

3

弦值．

例26．（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？家荒＃┓浞渴亲匀唤缱钌衿娴摹敖ㄖ敝唬鐖D

1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐HABC，JCDE，KEFA，再分

別以AC，CE，EA為軸將ACH，CEJ，EAK分別向上翻轉(zhuǎn)180，使H，J，K三點(diǎn)

重合為點(diǎn)S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲

率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率

規(guī)定等于2π減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，