2025年高考數(shù)學必刷題分類：第46講、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積（教師版）

第46講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積

與體積

知識梳理

知識點一：構(gòu)成空間幾何體的基本元素—點、線、面

（1）空間中，點動成線，線動成面，面動成體．

（2）空間中，不重合的兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面，不共面的四

點確定一個空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．

知識點二：簡單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．

（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；

（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；

（7）正方體：棱長都相等的長方體．

2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成

的多面體叫做棱錐．

（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．

3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，

由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．

簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．

知識點三：簡單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺、球

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體

叫做圓柱．

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所

圍成的幾何體叫做圓錐．

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺．

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，

簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）．

知識點四：組合體

由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫做組合體．

知識點五：表面積與體積計算公式

表面積公式

S直棱柱ch2S底

S斜棱柱cl2S底(c為直截面

柱

周長)

表體

S2r22rl2r(rl)

面圓錐

積

1

錐S正棱錐nahS底

2

體2

S圓錐rrlr(rl)

1

臺S正棱臺n(aa)hS上S下

2

體22

S圓臺（rrrlrl)

球S4R2

體積公式

柱體V柱Sh

1

錐體V錐Sh

3

體

積

1

臺體V臺(SSSS)h

3

4

球VR3

3

知識點六：空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直

角坐標系．

（2）畫出斜坐標系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于x

軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Ox，Oy，使xOy45（或135），它們確定的平

面表示水平平面．

（3）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x軸的線

段，且長度保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長

度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．

（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被

擋住的棱畫虛線．

注：直觀圖和平面圖形的面積比為2:4．

2、平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點．

必考題型全歸納

題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例1．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是平

行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由棱柱定義知棱柱有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，故滿足必要性；

但有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，

例如兩個底面全等的斜棱柱拼接的幾何體不是棱柱，如圖所示：

，

故不滿足充分性，

故選：B

例2．（2024·全國·高三對口高考）設(shè)有三個命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平

行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題

中真命題的個數(shù)為（）

A．0個B．1個C．2個D．3個

【答案】B

【解析】由平行六面體的定義可得底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；命題甲正確；

底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱不一定垂直于底面，故該幾何體不一定為長方體，

命題乙錯誤；

直四棱柱的底面不一定為平行四邊形，故直四棱柱不一定是平行六面體，命題丙錯誤；

正確的命題只有一個.

故選：B

例3．（2024·全國·高三專題練習）下列命題：

①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；

②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；

③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；

④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．

其中正確命題的個數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【解析】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，

顯然不是棱柱，故①錯誤；

②如圖2，滿足兩側(cè)面ABB1A1與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤；

③如圖3，四邊形ACC1A1為矩形，

即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；

④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯

誤．

故選：A

變式1．（2024·新疆·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列命題中正確的是（）

A．有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.

B．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐.

C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體.

D．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線.

【答案】D

【解析】如圖所示的幾何體滿足兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形，但它不是棱柱，

A錯；

正八面體的各面都是三角形，不是三棱錐，B錯；

如果兩個平行截面與圓柱的底面平行，則是旋轉(zhuǎn)體，如果這兩個平行截面與圓柱的底面不平

行，則不是旋轉(zhuǎn)體．C錯；

根據(jù)圓錐的定義，D正確．

故選：D．

變式2．（2024·全國·高三專題練習）下列說法正確的是（）

A．三角形的直觀圖是三角形B．直四棱柱是長方體

C．平行六面體不是棱柱D．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體

是棱臺

【答案】A

【解析】對A，根據(jù)直觀圖的定義，三角形的直觀圖是三角形，故A對；

對B，底面是長方形的直四棱柱是長方體，故B錯；

對C，平行六面體一定是棱柱，故C錯；

兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體，當側(cè)棱延長后不交于同一點時，不是棱臺，故D

錯；

故選：A

變式3．（2024·全國·高三專題練習）給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【解析】①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；

②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，

如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；

③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)

棱長不一定相等.

故選：A.

變式4．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）

A．是棱臺B．是圓臺

C．不是棱柱D．是棱錐

【答案】D

【解析】對A，側(cè)棱延長線不交于一點，不符合棱臺的定義，所以A錯誤；

對B，上下兩個面不平行，不符合圓臺的定義，所以B錯誤；

對C，將幾何體豎直起來看，符合棱柱的定義，所以C錯誤；

對D，符合棱錐的定義，正確．

故選：D．

【解題方法總結(jié)】

空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧

（1）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變

換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．

（2）說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．

題型二：空間幾何體的表面積

例4．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的

半徑，則球與圓錐的表面積之比為（）

1631

A．8B．C．D．

3168

【答案】B

【解析】設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，球的半徑為R，則l2rR，即R2r，

l2r，

222222

球的表面積S14πR16πr，圓錐的表面積S2πrlπr2πrπr3πr，

S16πr216

1

則2.

S23πr3

故選：B.

例5．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾

何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則

此幾何體的表面積是（）cm2．

27

A．7236πB．722738π

2

C．722736πD．602736π

【答案】C

【解析】所求幾何體的側(cè)面積為34672cm2，

1232

上下底面面積為36π22732πcm，

22

挖去圓柱的側(cè)面積為2π48πcm2，

則所求幾何體的表面積為722736πcm2．

故選：C．

例6．（2024·安徽安慶·安慶一中校考三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在

山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑

AB12cm，圓柱體部分的高BC=6cm，圓錐體部分的高CD4cm，則這個陀螺的表面積

（單位：cm2）是（）

A．1441213πB．1442413π

C．1081213πD．1082413π

【答案】C

【解析】由題意可得圓錐體的母線長為l6242213，

1

所以圓錐體的側(cè)面積為12π2131213π，

2

圓柱體的側(cè)面積為12π672π，

圓柱的底面面積為π6236π，

所以此陀螺的表面積為1213π72π36π1081213πcm2，

故選：C.

變式5．（2024·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使

用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱

錐這種經(jīng)典幾何形式，表達了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展館，

其頂部所對應(yīng)的正四棱錐底面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面

積之比約為（）（參考數(shù)據(jù)：173.1613.16）

A．2B．1.71C．1.37D．1

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)H為底面正方形ABCD的中心，G為BC的中點，連接PH，HG，PG，

則PHHG，PGBC，

所以PGPH2HG2929.62173.1613.16，

1

4BCPG

則4S△2PG26.32，

PBC21.37

S正方形ABCDABBCAB19.2

故選：C.

變式6．（2024·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨

立的環(huán)境，某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六

棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長

的比為2:3，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（）

74311

A．B．C．D．

824927

【答案】B

【解析】設(shè)正六邊形的邊長為a，由題意正六棱柱的高為2a，

2

因為正六棱錐的高與底面邊長的比為2:3，所以正六棱錐的高為a，正六棱錐的母線長為

3

13

a，

3

113143

正六棱錐的側(cè)面積S6aa2a2a2；

12942

2

正六棱柱的側(cè)面積S26a2a12a，

S43

所以1.

S224

故選：B.

變式7．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著.其“商功”中記載：

“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方

亭，將它的主體部分抽象成ABCDA1B1C1D1的正四棱臺（如圖所示），其中上底面與下底面

的面積之比為1:16，方亭的高為棱臺上底面邊長的3倍.已知方亭的體積為567m3，則該方

亭的表面積約為（）（52.2，31.7，21.4）

A．380m2B．400m2C．450m2D．480m2

【答案】C

【解析】設(shè)方亭相應(yīng)的正四棱臺的上底面邊長A1B1a，則AB4a，棱臺的高h3a，

1

所以V3aa216a2a216a2567，解得a3，

3

所以正四棱臺的上底面邊長為3m，下底面邊長為12m，棱臺的高為9m，

2

a235a

所以方亭的斜高為2a3a，

22

a4a35a155a2

由于各側(cè)面均為相等的等腰梯形，所以S，

ABB1A1224

155a2

所以方亭的表面積Sa216a2417a2155a2450m2.

4

故選：C

變式8．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預(yù)測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京

故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通

體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱

的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，

則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為（）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，21.48254.6）

A．143.1cm2B．151.53cm2C．155.42cm2D．170.43cm2

【答案】D

【解析】方法1：設(shè)該圓臺的母線長為l，高為h，兩底面圓的半徑分別為R，r（其中Rr），

則2R15.5cm，2r9.2cm，h4.10.73.4cm，

2

22R2r22

所以lh3.43.1521.48254.6cm，故圓臺部分的側(cè)面積為

2

2

S1πRrl3(7.754.6)4.6170.43cm．

故選：D

方法2（估算法）：若按底面直徑為15.5cm，高為3.4cm的圓柱估算圓臺部分的側(cè)面積得

S315.53.4158.1cm2，易知圓臺的側(cè)面積應(yīng)大于所估算的圓柱的側(cè)面積，故此仿鈞

玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積大于158.1cm2，對照各選項可知只有D符合．

故選：D

【解題方法總結(jié)】

（1）多面體的表面積是各個面的面積之和．

（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．

（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．

題型三：空間幾何體的體積

例7．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）在馬致遠的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風迷宿草，

穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一

個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為15，圓柱的側(cè)面積為18，則該氈帳的

體積為（）

A．39πB．18πC．38πD．45π

【答案】A

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，圓錐的母線長為l，

因為圓錐的側(cè)面積為15π，所以rl15π，即rl15.

因為l2r242，所以聯(lián)立解得r3（負舍）.

因為圓柱的側(cè)面積為18π，所以2rh18π，即23h18π，解得h3，

1

所以該氈帳的體積為πr24πr2h39π.

3

故選：A.

例8．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）若某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半

3

徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為，則此正四棱柱的體積是（）

3

96938386

A．B．C．D．

882727

【答案】C

【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，因為母線長為l2,

則半圓弧長πl(wèi)2π底面周長2πr，

所以r1，圓錐的高為PO22123

如圖，設(shè)OBx，則EB2x，設(shè)OOh，則PO3h，

POOB

因為，

POOA

x3hh

∴1，

133

3

所以h31x，

3

224383

∴x，V2xh2，

39327

故選：C．

例9．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的

體積為36π，則該正四棱錐的體積最大值為（）

6481

A．18B．C．D．27

34

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長AB2a，高POh，外接球的球心為M，則OD=2a，

4

因為球的體積為πR336π，所以球的半徑為R3，

3

在Rt△MOD中，MD2OD2OM2，即322a2(h3)2，

112

所以正四棱錐的體積為VSh4a2h9(h3)2h

333

2

整理得Vh34h2(h0)，則V2h28h2h(h4)，

3

當0h4時，V0，當h4時，V0，

2

所以Vh34h2(h0)在(0,4)上遞增，在(4,)上遞減，

3

264

所以當h4時，函數(shù)取得最大值43442，

33

故選：B

變式9．（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形

式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單

檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的

輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為32米，側(cè)棱長為5米，則其體

積為（）立方米.

A．242B．24C．722D．72

【答案】B

【解析】如圖所示，在正四棱錐PABCD中，連接AC,BD于O，則O為正方形ABCD的

中心，

1

連接OP，則底面邊長AB32，對角線BD2AB6，BOBD3.

2

又BP5，故高OPBP2BO24.

12

故該正四棱錐體積為V32424.

3

故選：B

變式10．（2024·廣東河源·高三校聯(lián)考開學考試）最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學家秦九

韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例

子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時

用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)

據(jù)如圖（注意：單位cm），則平地降雪厚度的近似值為（）

91319597

A．cmB．cmC．cmD．cm

1241212

【答案】C

2040

【解析】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為15cm，

4

1

π201021521015

所以平地降雪厚度的近似值為95.

3cm

π20212

故選：C

變式11．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正

四棱臺，上、下底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)棱長為56cm．“升”裝滿后用手指或筷

子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝1000cm31L（）

A．1.5LB．1.7LC．2.3LD．2.7L

【答案】C

【解析】根據(jù)題意畫出正四棱臺的直觀圖，其中底面ABCD是邊長為20的正方形，底面

A1B1C1D1是邊長為10的正方形，側(cè)棱C1C56，記底面ABCD和底面A1B1C1D1的中心分別

為O和O1，則O1O是正四棱臺的高.

過C1作平面ABCD的垂線，垂足為E，則EAC且C1EO1O，C1EO1O，

1111

所以O(shè)EOCAC21052，OCAC220102，

11211222

故CEOCOE1025252，

所以棱臺的高22，

hC1E565210

11

由棱臺的體積公式得V(SSSS)h(400100200)102.3103cm32.3L．

33

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則

割補法

的幾何體

等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

題型四：直觀圖

例10．（2024·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學?？寄M預(yù)測）已知用斜二測畫法畫梯形

OABC的直觀圖OABC如圖所示，OA3CB，CEOA，SOABC8，CD//y軸，

2

CE，D￠為OA的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體

2

積為．

【答案】48π

【解析】在直觀圖中，CD2CE1，所以在還原圖中，CD2，如圖，

在直觀圖中，OA3CB，D￠為OA的三等分點，

所以在還原圖中，OA3CB，D為OA的三等分點，

又在直觀圖中，CD//y軸，

所以在還原圖中，CD//y軸，則CDOA，

11

所以SCDOACB24CB4CB8，則CB2，

OABC22

1

故OA6，ODOA2，所以四邊形OABC是等腰梯形，

3

所以四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個圓臺的體積減去一

個圓錐的體積，

11152π8π

即Vπ4246622π22248π．

3333

故答案為：48π.

例11．（2024·全國·高三對口高考）若正ABC用斜二測畫法畫出的水平放置圖形的直觀

圖為ABC，當ABC的面積為3時，ABC的面積為．

【答案】26

【解析】ABC是正ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，如圖所示，

設(shè)BCa，

126

則ABC的面積為aOAsin453，OA，

2a

1126

ABC的面積為SaOAa2OAa26．

22a

故答案為：26．

例12．（2024·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如

圖所示，邊AB與CD平行于x軸.已知四邊形ABCD的面積為1cm2，則原平面圖形的面

積為cm2.

【答案】22

【解析】根據(jù)題意得BAD45，原四邊形為一個直角梯形，

且CDCD，ABAB，AD2AD，

122，

S梯形ABCDABCDADsin45ABCDAD1cm

24

則ABCDAD22，

112

所以，S梯形ABCDABCDADABCD2ADABCDAD22cm.

22

故答案為：22.

變式12．（2024·全國·高三專題練習）如圖，AOB是用斜二測畫法得到的△AOB的直

觀圖，其中OA2，OB3，則AB的長度為．

【答案】210

【解析】把直觀圖VAOB還原為AOB,如圖所示：

根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則知,OAOA2,OB2OB236,

所以AB的長度為ABOA2OB2436210.

故答案為：210.

變式13．（2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學?？计谀┯幸粔K多邊形的菜地，它的

水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所

示）.ABC45,ABAD1,DCBC，則這塊菜地的面積為

2

【答案】2

2

【解析】

過A作AEBC于E，

在直觀圖中，ABC45，ABAD1，DCBC，

22

所以EC1,BE，BC1，

22

2

故原平面圖形的上底為1，下底1，高為2，

2

122

所以這塊菜地的面積為S(11)22，

222

2

故答案為：2.

2

變式14．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學考試）我們知道一條線段在“斜二

測”畫法中它的長度可能會發(fā)生變化的，現(xiàn)直角坐標系平面上一條長為4cm線段AB按“斜二

測”畫法在水平放置的平面上畫出為AB，則AB最短長度為cm（結(jié)果用精確

值表示）

【答案】47

7

【解析】如圖1所示，可以將平面內(nèi)所有長為4的線段平移至圖中O點為起點，則它們的終

點形成以O(shè)為圓心，半徑為4的圓周.

以兩條互相垂直的直徑為坐標軸，建立平面直角坐標系.

然后在斜二測畫法下畫出該圓的直觀圖，如圖2，形成一個橢圓，

由斜二測的性質(zhì)可知，在圖2，該橢圓長半軸為4，且經(jīng)過點A，

1

易知OAOA2且xOy45，所以A2,2，

2

2222447

設(shè)橢圓的方程為：xy，將代入得：，解得

1A2,221b.

16b216b77

47

由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點中，短軸端點到原點的距離b最小，即即為所求.

7

47

故答案為：.

7

變式15．（2024·陜西延安·校考一模）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直

觀圖，其中ABC=45，ABAD1，DCBC，則原圖形的面積為．

2

【答案】2

2

【解析】因為ABAD1，ABC=45，DCBC，

22

所以BC1，AD1，AB2，BC1

22

1122

所以SADBCAB222．

2222

2

故答案為：2．

2

變式16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的

直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是．

【答案】22

【解析】由直觀圖可知，在直觀圖中,正方形的對角線長為2，由斜二測畫法的特點，知該

平面圖形的直觀圖的原圖形如圖所示

所以原圖圖形為平行四邊形，底面邊長為1，位于y軸的對角線長為22，

所以原來圖形的面積為S12222.

故答案為：22.

【解題方法總結(jié)】

2

斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：S直=S原．

4

題型五：展開圖

例13．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖為半圓，則該

圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．

44

【答案】/

33

【解析】設(shè)圓錐母線長為l，由題意2π1πl(wèi)，l2，

圓錐內(nèi)半徑最大的球與圓錐相切，

作出圓錐的軸截面PAB，截球得大圓為圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓O，D,E是切點，如圖，

易知PD是圓錐的高，O在PD上，

ππ1π

由PA2,BD1得BPD，因此ABP，所以O(shè)BDDBP，

6326

π3

ODBDtan，

63

34π

所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為S4π()2，

33

4π

故答案為：．

3

-

例14．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面展開圖中，B，

C是線段AD的三等分點，且AD33．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則

AA1．

【答案】22

【解析】由該三棱柱的外接球O的表面積為12π，設(shè)外接球得半徑為r，則4πr212π，解

得r3，

由題意，取上下底面三角形得中心，分別為E,F，EF得中點即為外接圓圓心O，作圖如下：

則OCr3，EF平面ABC，EFAA12OF，

QCF平面ABC，OFCF，

2

在等邊ABC中，CFBCsin601，

3

在Rt△OFC中，OFOC2CF22，

AA12OF22.

故答案為：22.

例15．（2024·上海普陀·高三統(tǒng)考期中）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙

在東風著陸場預(yù)定區(qū)域成果著陸．如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達到1200

平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為

米（精確到整數(shù)）

【答案】28

【解析】設(shè)主降落傘展開后所在球體的半徑為R，由題可得2R21200，解得R14，

故完全展開后傘口的直徑約為28米.

故答案為：28.

變式17．（2024·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半

圓，則該圓錐的體積為．

33

【答案】/

33

【解析】∵圓錐的底面半徑為1，∴側(cè)面展開圖的弧長為2，

又∵側(cè)面展開圖是半圓，∴側(cè)面展開圖的半徑為2，即圓錐的母線長為2，故圓錐的高為

13

2213，故體積V123

33

3

故答案為：

3

變式18．（2024·安徽·蚌埠二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖

465

中，CD∥AB，ABAC，AB2AC2，CD13，cosBCF，則三棱錐PABC

65

外接球表面積為．

【答案】14π

【解析】由題意可知，DCAC，CDCF13，ADAE14，BC5，

在BCF中，BF2CF2BC22CFBCcosBCF10，則BEBF10，

因為AB2BE2AE2，所以ABBE，

在三棱錐P-ABC外接球的球心為O，PCAC，PBAB，記PA中點為O，

OCOBOAOP，即三棱錐P-ABC外接球的球心為點O，

PAAD14

半徑R，所以外接球表面積為14π．

222

故答案為：14π

變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐P－ABC的底面ABC為等邊三角形．如

513

圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，P，F(xiàn)，E三點共線，B，C，E三點共線，cosPCF，

26

PC13，則PB＝．

【答案】23

【解析】由題意可知，CEF為等邊三角形，所以CEFEFC60，則PFC120，

513△339

由cosPCF可知sinPCF，

2626

339

13

PCsinPCF

在PCF中，由正弦定理得：PF263．

sin1203

△2

2

在PCE中，由余弦定理得：133EFEF23EFEF，

△

解得EF1或EF4（舍去），

所以ABBCCE1，

則PE4，BE2，

在PBE中，由余弦定理得PB21642412，

所以△PB23．

故答案為：23

變式20．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，正方形

ABCD的邊長為4，VADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，HDCFAB90，則該四

棱錐外接球被平面PBC所截的圓面的面積為.

36

【答案】

5

【解析】該幾何體的直觀圖如下圖所示

分別取AD,BC的中點O,M，連接OM,PM

PO2,OM4,PMPB2BM224425

OP2OM2PM2,OPOM

又POAD，所以由線面垂直的判定定理得出PO平面ABCD

以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系

A(2,0,0),B(2,4,0),C(2,4,0)，D(2,0,0),P(0,0,2)

設(shè)四棱錐PABCD外接球的球心N0,2,a

2

PNNA，42a44a2，解得a0

設(shè)平面PBC的法向量為n(x,y,z)

PB(2,4,2),PC(2,4,2),NP(0,2,2)

PB.n0x2yz0

，取z2，則n(0,1,2)

PC.n0x2yz0

四棱錐PABCD外接球的球心到面PBC的距離為

nNP225

dNPcosn,NPNP

nNP55

26

又NP=22，所以平面PBC所截的圓的半徑rNPd2

5

36

所以平面PBC所截的圓面的面積為r2.

5

36

故答案為：

5

變式21．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在三棱錐PABC的平面展開圖中，

AC1，ABAD3，ABAC，ABAD，CAE30，則三棱錐PABC的外接球

的表面積為．

【答案】7π

【解析】還原出如圖所示的三棱錐BPAC，

ABAC，ABAD，AB平面PAC，

設(shè)平面PAC的截面圓心為O，半徑為r，球心為O，球半徑為R，

3

在△PAC中，由余弦定理可得PC2AC2AP22ACAPcos30132131，

2

則PC1，

PC

這由正弦定理得2r2，r1，

sin30

13

OOAB，

22

2

237，

R1

22

2

外接球的表面積7

S47.

2

故答案為：7.

【解題方法總結(jié)】

多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開

圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．

題型六：最短路徑問題

例16．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？计谀┤鐖D，一豎立在地面上的圓

錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點

P處，若該小蟲爬行的最短路程為43，則這個圓錐的體積為（）.

153235128283

A．B．C．D．

327813

【答案】C

【解析】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：

該小蟲爬行的最短路程為PP1，

222

OPOP1PP112π

由余弦定理可得cosP1OP，P1OP．設(shè)底面圓的半徑為r，

2OPOP123

2π41682

則有2πr4，解得r．∴這個圓錐的高為h16，

3393

11116821282π

這個圓錐的體積為VShπr2hπ．

3339381

故選：C．

例17．（2024·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠

商要為棱長為2cm的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝

盒內(nèi)任意