2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第43講、數(shù)列的通項(xiàng)公式（學(xué)生版）

第43講數(shù)列的通項(xiàng)公式

知識(shí)梳理

類型Ⅰ觀察法：

已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根

據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．

類型Ⅱ公式法：

若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式

ananan

S1,(n1)

an構(gòu)造兩式作差求解．

SnSn1,(n2)

用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為

一，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否

”a1ann1n2

統(tǒng)一）．

類型Ⅲ累加法：

形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：

an1anf(n)f(n)n

anan1f(n1)

aaf(n2)

n1n2

...

a2a1f(1)

將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：

m2anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；

②若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；

③若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．

類型Ⅳ累乘法：

a

形如n1型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：

an1anf(n)f(n)f(n)n

an

an

f(n1)

a

n1

a

n1f(n2)

an2

...

a2

f(1)

a1

將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：

m2anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．

類型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：

（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：

an1panqp,qp0

（）若時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；

1p1{an}

（）若時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列；

2q0{an}

（）若且時(shí)，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比

3p1q0{an}

數(shù)列來求．方法有如下兩種：

法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)

an1p(an)an1pan(p1)

比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得

an1panq

qqqqqq

,(p0)ap(a)ap(a)，即an

p1n1p1np1np1n1p1p1

q

構(gòu)成以a為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

1p1

q

an的通項(xiàng)整理可得a.

p1n

法二：由得兩式相減并整理得an1an即

an1panqanpan1q(n2)p,

anan1

構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為

an1ana2a1pan1an

類型Ⅲ（累加法）便可求出

an.

（二）形如型的遞推式：

an1panf(n)(p1)

（1）當(dāng)f(n)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：

法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定、的值，轉(zhuǎn)化成

anAnBpan1A(n1)BAB

！

以為首項(xiàng)，以mn為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通

a1ABAaAnB

nnm!n

項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得

anAnBan.

法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相

f(n)dan1panf(n)anpan1f(n1)

減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，

an1anp(anan1)dbnan1anbnpbn1dbn

再用類型Ⅲ（累加法）便可求出

an.

（2）當(dāng)f(n)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：

法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以

anf(n)pan1f(n1)

！

為首項(xiàng)，以mn為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通

a1f(1)Aaf(n)

nnm!n

項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得

anf(n)an.

法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：①，，

f(n)qan1panf(n)——anpan1f(n1)

兩邊同時(shí)乘以得②，由①②兩式相減得，

qanqpqan1qf(n1)——an1anqp(anqan1)

即an1qan，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出

pan.

anqan1

法三：遞推公式為n（其中，均為常數(shù)）或n（其中，，

an1panqpqan1panrqpq

apa1

r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以qn1，得：n1n，引入輔助數(shù)

qn1qqnq

ap1

列b（其中bn），得：bb再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．

nnqnn1qnq

（3）當(dāng)f(n)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：

n1an1anf(n)an

在apaf(n)兩邊同時(shí)除以p可得到，令b，則

n1npn1pnpn1pnn

f(n)

bb，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出b之后得apnb．

n1npn1nnn

類型Ⅵ對(duì)數(shù)變換法：

形如q型的遞推式：

an1pa(p0,an0)

在原遞推式q兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：

an1palgan1qlganlgpbnlgan

，化歸為型，求出之后得bn（注意：底數(shù)不一定要

bn1qbnlgpan1panqbnan10.

取10，可根據(jù)題意選擇）．

類型Ⅶ倒數(shù)變換法：

形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為

an1anpan1anpp0an1an

11形式，化歸為型求出1的表達(dá)式，再求；

pan1panqan

anan1an

還有形如man的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成1m1m形式，化

an1

panqan1qanp

歸為型求出1的表達(dá)式，再求．

an1panqan

an

類型Ⅷ形如型的遞推式：

an2pan1qan

用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)

{anan1}

，比較系數(shù)得，可解得、，于是是

an2kan1h(an1kan)hkp,hkqhk{an1kan}

公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．

han1panq

總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法

求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式

an.

必考題型全歸納

題型一：觀察法

例1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算

法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第

二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，······，則第十層有（）個(gè)球．

A．12B．20C．55D．110

例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來華傳

教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森

指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩

余定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將正整數(shù)

中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則a6=（）

A．17B．37C．107D．128

例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變

換下具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu).一個(gè)正六邊形的線性分形圖如下圖所

示，若圖1中正六邊形的邊長(zhǎng)為1，圖n中正六邊形的個(gè)數(shù)記為an，所有正六邊形的周長(zhǎng)之

n

和?面積之和分別記為Cn,Sn，其中圖中每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是圖n1中每個(gè)正六邊形邊長(zhǎng)

1

的，則下列說法正確的是（）

3

100

A．a(chǎn)4294B．C

33

n1

337

．存在正數(shù)m，使得Cm恒成立．

CnDSn

29

變式1．（2024·海南·海口市瓊山華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》

中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的

每一項(xiàng)都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，其各

項(xiàng)規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為an，則

a2a1a4a3a50a49（）

A．650B．1050C．2550D．5050

變式2．（2024·吉林·統(tǒng)考三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”

的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生

過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列

題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24

項(xiàng)的差為（）

A．22B．24C．25D．26

1111

變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列an的前4項(xiàng)分別是，，，，則該數(shù)列

2345

的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

(1)n1(1)n(1)n(1)n1

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)

nnnn1nnnn1

變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊

111

輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個(gè)數(shù)1，，，，L構(gòu)成

3610

數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn，則S20（）

394041419

A．B．C．D．

202121210

23456

變式5．（2024·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）若數(shù)列an的前6項(xiàng)為1,,,,,，則

357911

數(shù)列an的通項(xiàng)公式可以為an（）

nn

A．B．

n12n1

nn

C．(1)nD．(1)n1

2n12n1

【解題方法總結(jié)】

觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通

項(xiàng)．使用觀察法時(shí)要注意：①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)的變化，考慮通項(xiàng)公式中是否有(1)n或者

(1)n1部分．②考慮各項(xiàng)的變化規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系．③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、

2n

正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方n、2與(1)n有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們

組成的數(shù)列．

題型二：疊加法

例4．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）數(shù)列1，3，7，15，……的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

nnnn1

A．a(chǎn)n2B．a(chǎn)n21C．a(chǎn)n21D．a(chǎn)n2

例5．（2024·新疆喀什·校考模擬預(yù)測(cè)）若anan1n1，a11則a10（）

A．55B．56C．45D．46

例6．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，a11，an1ann1，

111

則（）

a1a2a2022

2021404420212022

A．B．C．D．

1011202320222023

11

變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a，aa，則{an}

12n1nn2n

的通項(xiàng)為()

131

A．,n1,nNB．,n1,nN

n2n

3131

C．,n1,nND．,n1,nN

2n2n

變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意的正整數(shù)

111

，都滿足：2n2，若，則（）

na1S2023

an1an2

2023202220211010

A．B．C．D．

2024202320242023

3

變式8．（2024·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足：a1，

8

nn

an2an3，an6an913，則a2023（）

320233320233

A．B．

2282

3202332023

C．D．

82

【解題方法總結(jié)】

數(shù)列有形如的遞推公式，且的和可求，則變形為

an1anf(n)f(1)f(2)f(n)

，利用疊加法求和

an1anf(n)

題型三：疊乘法

aa

n1n

例7．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足2n，a11，則a2023（）

an1an

A．2024B．2024C．4045D．4047

an

n1

例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列an中，a11，（n為正整數(shù)），則a2022

ann1

的值為（）

1120212022

A．B．C．D．

2022202120222021

n1

例9．（2024·天津?yàn)I海新·高三?？计谥校┮阎猘2,aa，則a2022（）

1n1nn

A．506B．1011C．2022D．4044

變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a11，annan1annN，則數(shù)列an的

通項(xiàng)公式是an（）

n1

n12

A．2n1B．C．nD．n

n

變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an中，a11，

nan12a1a2annN*，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（）

A．a(chǎn)nnB．a(chǎn)n2n1

n11,n1

C．a(chǎn)nD．a(chǎn)n

2nn1,n2

1

變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足(n2)an1(n1)an，且a，

23

則an()

n11n-11

A．B．C．D．

n12n-12n-1n1

12n3*

變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a，aa(n2，nN)，

13n2n1n1

則數(shù)列an的通項(xiàng)an（）

11

A．B．

4n212n21

11

C．D．

2n12n3n1n3

1

變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a且n2an1nan，則它的

12

前30項(xiàng)和S30（）

30292819

A．B．C．D．

31302929

【解題方法總結(jié)】

數(shù)列有形如的遞推公式，且的積可求，則將遞推公式

anf(n)an1f(1)f(2)f(n)

變形為an，利用疊乘法求出通項(xiàng)公式

f(n)an

an1

題型四：待定系數(shù)法

1

例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知：a11，n2時(shí)，aa2n1，求an的

n2n1

通項(xiàng)公式．

1

例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}，a12，且對(duì)于n1時(shí)恒有aa1，

n2n1

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

1*

例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足：aa2,nN,a4,求an.

n13n1

15

變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a2,aa2n.

1n13n3

(1)求an通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.

2an1

變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，a1=2，a，求{an}的

n13

通項(xiàng)．

變式16．（2024·江蘇南通·高三江蘇省通州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an中，a11，

*n

滿足an12an2n1nN，設(shè)Sn為數(shù)列an的前項(xiàng)和．

(1)證明：數(shù)列an2n1是等比數(shù)列；

n

(2)若不等式2Sn40對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

變式17．（2024·四川樂山·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列an滿足an12an2，a11，則

an．

變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an中，a11，an13an4，則數(shù)列an

的通項(xiàng)公式為.

變式19．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知數(shù)列an中，a11，且an2an13（n2，

且nN），則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為．

【解題方法總結(jié)】

形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，

an1panqp,qpq0p1an1p(an)

轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構(gòu)造

anpan1qan1anp(anan1)

為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項(xiàng)．

an1an

題型五：同除以指數(shù)

n

例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足an12an32，a12，求數(shù)列{an}

的通項(xiàng)公式．

n1

例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，a11,an12an43,求通項(xiàng)公

式an．

n,

例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足an12an35a16，求數(shù)列{an}

的通項(xiàng)公式．

n1

變式20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足an12an43，a11，求

數(shù)列an的通項(xiàng)公式．

n1

變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an12an43,a11，則數(shù)

列an的通項(xiàng)公式為.

n,

變式22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足an13an231a13，求數(shù)

列{an}的通項(xiàng)公式．

【解題方法總結(jié)】

形如n且，）的遞推式，當(dāng)時(shí)，兩邊同除以n1轉(zhuǎn)

an1pand(p0p1d1pdd

an1an1pan1

化為關(guān)于n的等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化

pddn1n

dndddd

p1

為bb．

n1dnd

題型六：取倒數(shù)法

an1

例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a12,ann2,求通項(xiàng)an.

2an11

a

n

例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，a11,an1,求an．

an3

nba

n1

例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)b0，數(shù)列an滿足a1b，an(n2)，

an1n1

求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．

a

n

變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知an1,a11，求an的通項(xiàng)公式．

an2

2a

n

變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an1,a11，求數(shù)列an的

an2

通項(xiàng)公式．

a

n

變式25．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）數(shù)列an中，an1，a12，則a4．

13an

1an

a

變式26．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an中，a1，n1.

32an

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

(2)求證：數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1.

【解題方法總結(jié)】

對(duì)于aan，取倒數(shù)得1bcanb1c．

an1(ac0)

bcanan1aanaana

1

當(dāng)ab時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；

an

bc

當(dāng)時(shí)，令1，則，可用待定系數(shù)法求解．

abbnbn1bn

anaa

題型七：取對(duì)數(shù)法

2

例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a13，an1an2an2.

a

(1)證明數(shù)列l(wèi)nan1是等比數(shù)列，并求數(shù)列n的通項(xiàng)公式；

11

(2)若bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn，求證：Sn2.

anan2

2

例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11，an2an1n2，求數(shù)

列an的通項(xiàng)公式．

例．（·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列a滿足aaa0，，證明：

212024n1an12an

存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的nN*，都有anM．

【解題方法總結(jié)】

形如k的遞推公式，則常常兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．

an1can(c0,an0)

題型八：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問題

annSn

例22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn12Sn1n，且

S13，則an的通項(xiàng)公式是．

例23．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列an中，a11,an0，前n項(xiàng)和為Sn.若

*1

anSnSn1nN,n2，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.

anan1

例24．（2024·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an1

（nN*），

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bnanlog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

變式27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an2n．

(1)寫出數(shù)列的前3項(xiàng)a1,a2,a3；

(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．

變式28．（2024·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，

1

Sa2n1．

2nn

a

(1)證明：n是等差數(shù)列；

2n1

a

(2)求數(shù)列n1的前n項(xiàng)積．

an

變式29．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足

，其中是數(shù)列a的前項(xiàng)和

2Snan1Snnn.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

1111

(2)若對(duì)任意nN，且當(dāng)n2時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)

4S1S21S31Sn1

的取值范圍.

變式30．（2024·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足

a13a22n1ann.

(1)求an的通項(xiàng)公式；

1

,n2k1

(2)已知cn19an，kN，求數(shù)列cn的前20項(xiàng)和.

anan2,n2k

變式31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn5an85，

*

nN.證明：an1是等比數(shù)列.

變式32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知an是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)

11

和，且a11，Snan，

2an

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；

1111

(2)證明：21.

2S13S2(n1)SnSn1

變式33．（2024·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為

n

Sn,a12,a24且當(dāng)n2時(shí)，3Sn1,2Sn,Sn12成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

n

(2)在an和an1之間插入個(gè)數(shù)，使這n2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，在數(shù)列dn中

是否存在3項(xiàng)dm,dk,dp（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

變式34．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知Sn是數(shù)列an的前n

項(xiàng)和，a12，Snan11.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

n3

(2)已知bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

an

變式35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足

a11，3Snn2an．

(1)求an的通項(xiàng)公式；

11111

(2)證明：．

a2a4a8a2n2

變式36．（2024·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足

an2Sn1.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

2nπ

(2)若bacos，求數(shù)列bn的前3n1項(xiàng)和T3n1.

nn3

變式37．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足

1

SSa2,a2．

n1n2n11

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

an

(2)設(shè)b，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn．

n3n

2Sn

變式38．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和．已知n2a1．證

nn

明：an是等差數(shù)列；

【解題方法總結(jié)】

對(duì)于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問題，解決方法包括兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時(shí)要合理

anSn

選擇．一個(gè)方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類比作差法，使（，

SnanSnSn1=ann2

*），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項(xiàng)的和的形式相對(duì)獨(dú)立的

nNann

情形；另一個(gè)方向是將轉(zhuǎn)化為（，*），先考慮與的關(guān)系式，繼

anSnSn1n2nNSnSn1

而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的

Snan

解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前n項(xiàng)和的形式不夠獨(dú)立的情況．

簡(jiǎn)而言之，求解與的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的

anSnSn

形式為的形式，適用于的形式獨(dú)立的情形，其二稱為轉(zhuǎn)化法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式

anSn