2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第33講、解三角形圖形問題 （學(xué)生版）

第33講解三角形圖形問題

知識梳理

解決三角形圖形類問題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理

的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為

簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例

關(guān)系的不錯選擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量

的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性

質(zhì)使得問題更加直觀化.

必考題型全歸納

題型一：妙用兩次正弦定理

例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中BAC90，ABC30，ADCD，

設(shè)ACD.

（1）若ABC面積是ACD面積的4倍，求sin2；

（2）若ADB，求tan.

6

例2．（2024·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形

ABCD中BAC=90，

ABC

=60，

ADCD，設(shè)

ACD=．

（1）若ABC面積是ACD面積的4倍，求

sin2;

1

（2）若

tanADB=，求

tan.

2

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在①AB2AD，②sinACB2sinACD，③

SABC2SACD這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

已知在四邊形ABCD中，ABCADCπ，BCCD2，且______.

(1)證明：tanABC3tanBAC；

(2)若AC3，求四邊形ABCD的面積.

變式1．（2024·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學(xué)校考期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，

π3π

BCD,AB1,ABC.

24

(1)當(dāng)BC2,CD7時，求ACD的面積.

π

(2)當(dāng)ADC,AD2時，求tanACB.

6

變式2．（2024·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，

2

BCD,AB1,ABC．

23

(1)若BC2,CD7，求ACD的面積；

(2)若ADC,AD2，求cosACD．

6

變式3．（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面四邊形ABCD中，ABDBCD90，

DAB45.

（1）若AB2，DBC30，求AC的長；

3

（2）若tanBAC，求tanDBC的值.

4

sinA2a2

變式4．（2024·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）在①，②

cosBcosCa2c2b2

2ba

sinBcosB，③ABC的面積

c

2

SbbsinCctanCcosB這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.

4

在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知______.

(1)求角C；

5

(2)若點(diǎn)D在邊AB上，且BD2AD，cosB，求tanBCD.

13

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分

變式5．（2024·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊

分別為a、b、c，已知bcosAacosBbc.

(1)求A；

3

(2)若點(diǎn)D在BC邊上，且CD2BD，cosB，求tanBAD.

3

變式6．（2024·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為

a，b，c，且2cosA(ccosBbcosC)a.

(1)求角A；

(2)若O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，AOB120，AOC150，b1，c3，求tanABO．

題型二：兩角使用余弦定理

1

例4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，cosBAD，ACAB3AD．

3

(1)求sinABD；

(2)若BCD90，求tanCBD．

例5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD3BC3．

(1)求證：sinC3sinA；

(2)若C2A，AB2CD，求梯形ABCD的面積．

例6．（2024·河北·校聯(lián)考一模）在ABC中，AB4，AC22，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連

接AD并延長到點(diǎn)E，使AE3DE.

(1)若DE1，求BAC的余弦值；

π

(2)若ABC，求線段BE的長.

4

變式7．（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

223

2cos2C35cos2C.

2

(1)求角C；

AC

(2)若點(diǎn)D在AB上，BD2AD，BDCD，求的值.

BC

變式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，

ADsinD2CDsinB.

(1)求證：BC2CD；

(2)若ADBC2，ADC120，求AB的長度.

題型三：張角定理與等面積法

例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且

2asinA2bcsinB2cbsinC.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)設(shè)點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，AD是ABC的角平分線，且AD2，b3，求ABC的面積.

例8．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，

b，c，且2asinA2bcsinB2cbsinC．

(1)求A的大?。?/p>

(2)設(shè)點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，AD是△ABC的角平分線，且AD4，AC6，求△ABC的面積．

例9．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在ABC中，設(shè)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，

c，且(cb)sinC(ab)(sinAsinB)．

（1）求A；

BD

（2）若D為BC上點(diǎn)，AD平分角A，且b3，AD3，求．

DC

變式9．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，AB2，3sin2B2cosB20，

且點(diǎn)D在線段BC上．

3π

(1)若ADC，求AD的長；

4

sinBAD

(2)若BD2DC，42，求△ABD的面積．

sinCAD

變式10．（2024·江西撫州·江西省臨川第二中學(xué)校考二模）如圖，在ABC中，AB4，

1

cosB，點(diǎn)D在線段BC上.

3

3π

（1）若ADC，求AD的長；

4

162sinBAD

（2）若BD2DC，ACD的面積為，求的值.

3sinCAD

1

變式11．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)3sinxcosxcos2x(0)，

2

π2

其圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為4．

4

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，a4，bc12，f(A)1．若角A的平分線

AD交BC于D，求AD的長．

變式12．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的

asinBsinC

對邊分別為a,b,c，且．

bcsinAsinC

(1)求B；

(2)若b6，角B的平分線交AC于點(diǎn)D，BD1，求ABC的面積．

題型四：角平分線問題

例10．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？寄M預(yù)測）在ABC中，已知

AB5，BAC的平分線與邊BC交于點(diǎn)D，DAC的平分線與邊BC交于點(diǎn)E，

310

cosEAC.

10

6

(1)若BCAC，求ABC的面積；

5

2

(2)若cosADB，求BC.

10

例11．（2024·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）銳角ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分

別為a，b，c，已知3bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，

(1)求cosA的值及ABC的面積；

(2)A的平分線與BC交于D，DC2BD，求a的值．

例12．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，

π

且2cosCsinBcosA0.

6

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若ACB的平分線交AB于點(diǎn)D，且CD2，BD2AD，求ABC的面積.

變式13．（2024·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在ABC中，角A，B，C

π

所對的邊分別為a，b，c，a2b2ccosB，角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且BD27，

3

AD7.

(1)求ACB的大小；

(2)求CD.

變式14．（2024·廣東深圳·校考二模）記ABC的內(nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知

A

sinBsinCcos22sin2A.

2

(1)證明：bc3a；

46AD3

(2)若角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD，，求ABC的面積.

5DC2

變式15．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

點(diǎn)M在邊BC上，AM是角A的平分線，asinB3bcosA，CM2MB．

(1)求A；

(2)若AM23，求BC的長．

3

變式16．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在①abcosCcsinB；②c3這兩個條件中

3

任選一個作為已知條件，補(bǔ)充在下面的橫線上，并給出解答．

注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

已知ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，bAD7，且________．

(1)求a的值；

(2)若ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，求BCE的周長．

題型五：中線問題

例13．（2024·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，

且滿足2csinAcosB2bsinAcosC3a，ca．

(1)求角A；

(2)若b2，BC邊上中線AD7，求ABC的面積．

例14．（2024·四川內(nèi)江·校考模擬預(yù)測）在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，BAC120，AD1，

AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．

(1)求△ACD的面積；

(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．

例15．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，

a2sinC3acosC3b，A60．

(1)求a的值；

1

(2)若BAAC，求BC邊上中線AT的長．

2

變式17．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，

c2b,2sinA3sin2C.

(1)求sinC；

37

(2)若ABC的面積為，求AB邊上的中線CD的長.

2

變式18．（2024·安徽宣城·安徽省宣城中學(xué)?？寄M預(yù)測）ABC中，已知

3cosBcosB0.AC邊上的中線為BD.

36

(1)求B；

(2)從以下三個條件中選擇兩個，使ABC存在且唯一確定，并求AC和BD的長度.

條件①：222；條件②；條件③

abc3c0a6SABC153.

變式19．（2024·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，設(shè)ABC中角A，B，C所對

1

的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知c1且2csinAcosBasinAbsinBbsinC，

4

21

cosBAD．

7

(1)求b邊的長度；

(2)求ABC的面積；

(3)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），線段EF交AD于G，且△AEF的面

1

積為ABC面積的，求AGEF的取值范圍．

6

A

變式20．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）在①bsinasinB；②3asinBb2cosA這兩

2

個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.

問題：已知ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，__________.

(1)求角A的大小；

(2)已知AB2,AC8，若BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P，求MPN的余弦

值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

題型六：高問題

例16．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分

別為a，b，c，a6，bsin2A45sinB.

π

(1)若b1，證明：CA；

2

85

(2)若BC邊上的高為，求ABC的周長.

3

例17．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

1

msinB,sinCcosC，ncosCsinC,cosB，mn．

2

(1)求sin2A；

(2)若a3，BC邊上的高線長71，求sinBsinC．

例18．（2024·四川自貢·統(tǒng)考三模）ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若

b2c2a2bc．

(1)求A；

3

(2)若BC上的高ADa，求cosBcosC．

4

變式21．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，

a2c2b2

c，且c3bsinAb．

2c

(1)求A；

1

(2)若bc，且BC邊上的高為23，求a．

4

變式22．（2024·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足

CACBB6

CD(0)，且cos，CAD的面積與△CBD面積的比為．

26:3

CACB23

(1)求sinA的值；

(2)若AB5，求邊AB上的高CE的值．

題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用

例19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

3c2a28b2．

(1)求cosB的最小值；

sinAMB

(2)若M為ABC的重心，AMC90，求．

sinCMB

例20．（2024·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測）記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，

已知3asinBacosCccosA,b6,G為ABC的重心．

(1)若a2，求c的長；

3

(2)若AG，求ABC的面積．

3

例21．（2024·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，

b，c，且acosB3asinBcb．

(1)求角A的大小;

(2)若b3，點(diǎn)G是ABC的重心，且AG21，求ABC內(nèi)切圓的半徑．

變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b，c分別為ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD

21

為BC邊上的中線，c＝1，BAC，2csinAcosBasinAbsinBbsinC．

32

(1)求AD的長度；

(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為ABC的重心，連接EG并延長與AC交于點(diǎn)F，

求AF的長度．

變式24．（2024·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校〢BC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別

BC

為a,b,c,a6,bsinasinB．

2

(1)求A的大??；

(2)M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)D，___________，求ABC的面積．

請在下面三個條件中選擇一個作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使ABC存在，并解決問題．

①M(fèi)為ABC的重心，AM23；

②M為ABC的內(nèi)心，AD33；

③M為ABC的外心，AM4．

變式25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在①2acosAbcosCccosB；②

tanBtanC33tanBtanC這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解

答．

在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知______．

(1)求角A的大??；

3

(2)若ABC為銳角三角形，且其面積為，點(diǎn)G為ABC重心，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，

2

點(diǎn)N在線段AB上，且AN2NB，線段BM與線段CN相交于點(diǎn)P，求GP的取值范圍．

注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案解答計分．

題型八：外心及外接圓問題

例22．（2024·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰贏BC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別

為a，b，c，且a，b，c是公差為2的等差數(shù)列.

(1)若2sinC3sinA，求ABC的面積.

(2)是否存在正整數(shù)b，使得ABC的外心在ABC的外部?若存在，求b的取值集合；若不

存在，請說明理由.

例23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，

a＝6．

(1)求bcosC＋ccosB的值；

(2)若O是ABC的外心，且3OAOB2OC0，求ABC外接圓的半徑．

例24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c；3b4c，

4

cosC.

5

（1）求cosA的值；

（2）若ABC的外心在其外部，a7，求ABC外接圓的面積.

變式26．（2024·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在ABC中，角A，B，C對應(yīng)的三邊分別為a，b，

c，(tanA1)(tanB1)2，c22，a2，O為ABC的外心，連接OA，OB，OC．

（1）求OAB的面積；

（2）過B作AC邊的垂線交于D點(diǎn)，連接OD，試求cosOBD的值．

題型九：兩邊夾問題

例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若

2ab

cosAsinA0，則的值是（）

sinBcosBc

A．2B．3C．2D．1

例26．（2024·河北唐山·高三?？茧A段練習(xí)）在ABC中，a、b、c分別是A、B、C

2ab

所對邊的邊長.若cosAsinA0，則的值是（）.

cosBsinBc

A．1B．2C．3D．2

例27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，已知邊a,b,c所對的角分別為A,B,C，若

2sin2B3sin2C2sinAsinBsinCsin2A，則tanA_________________

變式27．（2024·江蘇蘇州·吳江中學(xué)模擬預(yù)測）在ABC中，已知邊a,b,c所對的角分別為

A,B,C，若52cos2B3cos2C2sinAsinBsinCsin2A，則tanA_____．

變式28．（2024·湖南長沙·高二長沙一中?？奸_學(xué)考試）在ABC中，已知邊a、b、c所對

的角分別為A