2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第4講、基本不等式及其應(yīng)用（學(xué)生版）

第4講基本不等式及其應(yīng)用

知識梳理

1、基本不等式

abab

如果a0，b0，那么ab，當且僅當ab時，等號成立．其中，叫作a，b

22

的算術(shù)平均數(shù)，ab叫作a，b的幾何平均數(shù)．即正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何

平均數(shù)．

基本不等式1：若a，bR，則a2b22ab，當且僅當ab時取等號；

ab

基本不等式2：若a，bR，則ab（或ab2ab），當且僅當ab時取等

2

號．

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求

最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一

致．

【解題方法總結(jié)】

1、幾個重要的不等式

2

（1）a0aR,a0a0,a0aR.

ab

（2）基本不等式：如果a,bR，則ab（當且僅當“ab”時取“”）．

2

1ab

特例：a0,a2;2（a,b同號）．

aba

（3）其他變形：

2

ab22

①a2b2（溝通兩和ab與兩平方和ab的不等關(guān)系式）

2

a2b2

②ab（溝通兩積ab與兩平方和a2b2的不等關(guān)系式）

2

2

ab

③ab（溝通兩積ab與兩和ab的不等關(guān)系式）

2

2aba2b2

④重要不等式串：aba,bR即

11

22

ab

調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．

2、均值定理

已知x,yR．

2

xyS2

（1）如果xyS（定值），則xy（當且僅當“xy”時取“=”）．即“和

24

為定值，積有最大值”．

（2）如果xyP（定值），則xy2xy2P（當且僅當“xy”時取“=”）．即積

為定值，和有最小值”．

3、常見求最值模型

nn

模型一：mx2mn(m0,n0)，當且僅當x時等號成立；

xm

nn

模型二：mxm(xa)ma2mnma(m0,n0)，當且僅當

xaxa

n

xa時等號成立；

m

x11c

模型三：(a0,c0)，當且僅當時等號成立；

2cx

axbxcaxb2acba

x

mx(nmx)1mxnmxn2n

模型四：x(nmx)（)2(m0,n0,0x)，當且

mm24mm

n

僅當x時等號成立．

2m

必考題型全歸納

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

【解題方法總結(jié)】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是

否成立進行驗證．

例1．（2024·遼寧·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種

方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形ABC中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜

邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)ADa，BDb，用該圖形能證明的不等式為（）．

ab2ab

A．a(chǎn)ba0,b0B．a(chǎn)ba0,b0

2ab

22

abab22

C．a(chǎn)0,b0D．a(chǎn)b2aba0,b0

22

例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知x，y都是正數(shù)，且xy，則下列選項不恒成立的

是（）

xyxy

A．xyB．2

2yx

2xy1

C．xyD．xy2

xyxy

例3．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（）

ababab

①已知ab0，求的最小值；解答過程：22；

bababa

2

x521

②求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得yx42；

y2

x24x4

222x

③設(shè)x1，求yx的最小值；解答過程：yx2，

x1x1x1

22x

當且僅當x即x2時等號成立，把x2代入2得最小值為4．

x1x1

A．0個B．1個C．2個D．3個

題型二：直接法求最值

【解題方法總結(jié)】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件．

例4．（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若x，yR，且x2y3，則xy的最大值為______．

例5．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）若a，b0，且abab3，

則ab的最小值是____________．

例6．（2024·天津南開·統(tǒng)考一模）已知實數(shù)a0,b0,ab1，則2a2b的最小值為

___________.

題型三：常規(guī)湊配法求最值

【解題方法總結(jié)】

1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．

2、注意驗證取得條件．

1

例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若x2，則fxx的最小值為___________.

x2

4

例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知x0，則2x的最小值為__________.

2x1

x22x2

例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若x1，則的最小值為______

x1

例10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式

12b4c

x2bxc0(b1)的解集為R，則的最小值為_________．

b1

題型四：消參法求最值

【解題方法總結(jié)】

消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式

進行求解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！

例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足ab2a20，則4ab的最小值

是（）

A．2B．422C．432D．6

11

例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若x,yR，(xy)2(xy)3，則的最小值為

xy

___________.

例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知x0，y0，滿足x22xy20，則2xy的最

小值是______．

題型五：雙換元求最值

【解題方法總結(jié)】

若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運

用兩個分式的分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系．

1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．

2、注意驗證取得條件．

例14．（2024·浙江省江山中學(xué)高三期中）設(shè)a0，b0，若a2b23ab1，則3a2ab

的最大值為（）

A．33B．23C．13D．23

4ab

例15．（2024·天津南開·一模）若a0，b0，c0，abc2，則的最小

abc

值為______．

11

例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知a0，b0，a2b1，則取到最

3a4ba3b

小值為________．

題型六：“1”的代換求最值

【解題方法總結(jié)】

1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為

定值，湊的過程中要特別注意等價變形．

1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．

2、注意驗證取得條件．

xy

例17．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線1(a0,b0)過點2，3，則2ab的最

ab

小值為______．

42b1

例18．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a0,b0,a2b3，則的最

a2b

小值為__________.

111

例19．（2024·湖南衡陽·高三?？计谥校┮阎獂，y2，且3xy7，則

33x1y2

的最小值為______.

例20．（2024·山東青島·高三山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實數(shù)a,b滿

41

足1，則a2b的最小值為___________.

abb1

題型七：齊次化求最值

【解題方法總結(jié)】

齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用

基本不等式進行求解．

ac3c3

例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)a，b，c，ab3，則的最小

babc1

值為_______________．

2a

例22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b為正實數(shù)，且2ab1，則的最小值

a2b

為______．

例23．（2024·天津紅橋·高三天津市復(fù)興中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x0,y0，則

2xyxy

的最大值是____________.

x24y2x2y2

題型八：利用基本不等式證明不等式

【解題方法總結(jié)】

類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運算獲得

證明．

例24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）利用基本不等式證明：已知a,b,c都是正數(shù)，求證：

abbcca8abc

例25．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x，y，z為正數(shù)，證明：

111x2y2z2

(1)若xyz2，則；

xyz2

(2)若2xy2z9，則x2y2z29．

例26．（2024·四川廣安·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx2x1xm，若fx3

的解集為n,1．

(1)求實數(shù)m，n的值；

12

(2)已知a,b均為正數(shù)，且滿足2m0，求證：16a2b28．

2ab

題型九：利用基本不等式解決實際問題

【解題方法總結(jié)】

1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題．

2、注意定義域，驗證取得條件．

3、注意實際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．

例27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)

能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，

把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為

600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為

1

yx2200x80000，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.

2

(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多

少元才能使單位不虧損？

例28．（2024·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化

碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，

月處理成本f(x)（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為

1

f(x)x2200x80000．

2

(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？

(2)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本

最低是多少元？

例29．（2024·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）截至2022年12月12日，全國新型冠狀病毒

的感染人數(shù)突破44200000人.疫情嚴峻，請同學(xué)們利用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實際問題.

(1)我國某科研機構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段.

已知這種新藥在注射停止后的血藥含量ct（單位：mg/L）隨著時間t（單位：h）.的變

ctcekt1

化用指數(shù)模型0描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)k0.1（單位：h），剛注射這

種新藥后的初始血藥含量c02000mg/L，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于

1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對病人有

療效的時長大約為多少小時？（精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：ln20.693，ln31.099）

(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為48a

平方米(a0)，側(cè)面長為x米，且x不超過8，房高為4米.房屋正面造價400元/平方米，側(cè)

面造價150元/平方米.如果不計房屋背面、屋頂和地面費用，則側(cè)面長為多少時，總價最低？

題型十：與ab、平方和、ab有關(guān)問題的最值

【解題方法總結(jié)】

利用基本不等式變形求解

例30．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若實數(shù)a，b滿足a2b2ab1，則（）

23

A．a(chǎn)b1B．a(chǎn)b

3

11

C．a(chǎn)b