高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)指導(dǎo)文

《高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)》【文】

第一部分集合與簡易邏輯...........................2

第二部分不等式的解法.............................3

第三部分函數(shù)...................................5

第四部分導(dǎo)數(shù)..................................13

第五部分三角函數(shù)................................15

第六部分?jǐn)?shù)列....................................21

第七部分平面向量................................25

第八部分不等式性質(zhì)..............................28

第九部分直線和圓................................29

第十部分圓錐曲線................................34

第十一部分立體幾何...............................40

第十二部分復(fù)數(shù)....................................44

第十三部分概率與統(tǒng)計..............................45

第十四部分極坐標(biāo)與參數(shù)方程.......................48

第一部分集合與簡易邏輯

L數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集N;正整數(shù)集N*;整數(shù)集Z;

有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R

2.0是任何集合的子集.條件為時不要遺忘了A=0的情

況

3.對于含有〃個元素的有限集合子集數(shù)目：其子集、真子集、

nnnn

非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2,2-lz2-1,2-2

4.理解集合的意義一抓住集合的代表元素。如:{x|y=f(x)}表示

y=f(x)的定義域>{y|y=f(x)}表示y=f(x)的值域?{(x,y)|y=f(x)}表

示y=f(x)的圖像

5.A是B的子集AgboAUB=BQACB二A,

6?四種命題及其相互關(guān)系:若原命題是〃若p則q〃，則逆命題

為"若q則p〃；否命題為〃若則［q〃;逆否命題為〃若」

q則?；槟娣耜P(guān)系的命題是等價命題.對于條件或結(jié)論是不

等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價關(guān)系"AnBoGnV判斷其

真假

7.要注意區(qū)別“否命題”與〃命題的否定〃：否命題要對命題

的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對命題的結(jié)論否定；命題〃〃

或q"的否定是且r";"p且/'的否定是或r"

8、邏輯聯(lián)結(jié)詞：命題〃A4真假判斷：兩真才真?一假則假;

命題〃V"真假判斷：兩假才假，一真則真；命題即真假與P相反

9、⑴全稱量詞——〃所有的〃、〃任意一個〃等，用〃〃表

示；

全稱命題「：xM’P(x);全稱命題夕的否定;zxM,

P(x)。

⑵存在量詞——〃存在一個〃、〃至少有一個〃等，用〃〃表

示；

特稱命題「：xM,P(x);特稱命題夕的否定「夕：xM,

P(x)；

10.充要條件:由A可推出B，A是B成立的充分條件；B是A

成立的必要條件。

從集合角度解釋，若AqB，則A是B的充分條件；B是A的

必要條件；小充分大必要

第二部分不等式的解法

n.一元二次方程的基礎(chǔ)知識：①求根公式：②根的判別式：

bc

=b2-4ac③根與系數(shù)關(guān)系:X1+X=X?2二一④根的分布：方

2aa

程ax2+bx+c=0有兩正根的條件是:+N>0,升約>0；有兩負(fù)根的

條件是：ANO,%]+々<。，工酰/有一正一負(fù)兩根的條件是：>0,

X1X2<0；在（4,+8）上有兩根的條件是:△之0,%對〉&J（Q>0、在（-8,后）上

有兩根的條件是：△20,X對<"（左）>0、在（-8,幻和（匕+8）上各有一根

的條件是f（k）<0

12.一元二次不等式的解法：先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，解出

對應(yīng)方程的兩根，根據(jù)不等號方向?qū)懗鼋饧ù笥谌蛇?，小于?/p>

中間）注意：二次項系數(shù)為字母或兩根表達(dá)式含字母時要類討論開

口方向及根的大小。

13.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系：二次方程

ax2+bx+c=0的兩個根即為二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端

點(diǎn)值?也是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

14.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項

f（x）

使右邊為0，再通分變成標(biāo)準(zhǔn)型—>0，再轉(zhuǎn)化為整式不等式

f（x）g（x）>0求解，注意最高次項的系數(shù)要為正

15.絕對值不等式的解法：單絕對值不等式用公式法：

|x|>6/<=>x<-c/jjJcr>a.

\x\<a-a<x<a］雙絕對值不等式可用〃按零點(diǎn)分區(qū)間討論〃

的方法來解

16.指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法：先將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為

同底的指對數(shù)式?再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。注意對底

數(shù)的討論，對數(shù)不等式還要注意真數(shù)要大于0

第三部分函數(shù)

17.函數(shù)定義：函數(shù)是定義在兩個非空數(shù)集A?B上的一種特

殊對應(yīng)關(guān)系，對于A中每一個數(shù)x，在B中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)。

函數(shù)圖像與x軸的垂線至多有一個公共點(diǎn)

18.相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函

數(shù)值的字母無關(guān)）；②定義域一致（兩點(diǎn)必須同時具備）

19.定義域求法使函數(shù)解析式有意義（如:分母=0；偶次根式被開

方數(shù)非負(fù);對數(shù)的真數(shù)〉0,底數(shù)且口;零指數(shù)黑的底數(shù)，0）;實(shí)際

問題有意義；若/⑴定義域為以此復(fù)合函數(shù)月g（刈定義域由

aKg(x)?b解出；若/[g(x)]定義域為[〃,句,則/(x)定義域相當(dāng)于xe[a,b]

時g(x)的值域.

20.求函數(shù)值域(最值)的方法：

(1)二次函數(shù)區(qū)間最值：一看開口方向；二看對稱軸與所給

區(qū)間的相對關(guān)系)，

(2)換元法——通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊?/p>

值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模

型,如y=2sin2%-3sinx-l'y=2x+l+>/^T(運(yùn)用換兀法時,要特別要注

意新元f的范圍)

(3)單調(diào)性法——利用一次函數(shù)-反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，

對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，

(4)導(dǎo)數(shù)法：一般適用于高次多項式函數(shù)或其他復(fù)雜函數(shù)，

①求導(dǎo)②解導(dǎo)數(shù)為0的根③計算極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值④比較大

小，得出最值

21.求函數(shù)解析式的常用方法：

(1)代換法：已知形如f(g(x))的表達(dá)式，求f(x)的表達(dá)式。

可設(shè)g(x)=t,用t表示x,再代回原式即可

(2)轉(zhuǎn)化法：若根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，則設(shè)X￡所求區(qū)

間，利用f(x)=f(-X)或f(x)=-f(-X)求解析式

(3)方程的思想——已知條件是含有了(幻及另外一個函數(shù)的

等式，可抓住等式的特征對等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于f(x)及

另外一個函數(shù)的方程組。通過解方程組得到f(x)解析式。如已知

/(X)+2/(-%)=3x-2,求/(%)的解析式

22.函數(shù)的單調(diào)性。

(1)定義：設(shè)函數(shù)片［%的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)

的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量的，至，當(dāng)Ai<A2時，都有

4應(yīng))<4為)(MM,則就說心)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函

數(shù))；

(2)常見函數(shù)的單調(diào)性：y=kx+b(看k正負(fù))f(x)=ax?+bx+c(—

看開口方向；二看對稱軸)指對數(shù)函數(shù)(看底數(shù)a>l增；0<a<l

減)鬲函數(shù)y=x。在第一象限內(nèi)。如果。>0，則鬲函數(shù)的圖象過

原點(diǎn)，并且在［0，上為增函數(shù)?如果a<0，則鬲函數(shù)的圖象

在(0，+8)上為減函數(shù)，圖象無限接近x軸與y軸?其他象限看奇

偶性

(3)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則：特點(diǎn)是同增異減，

(4)特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時?一是勿忘定義域；二是在多

個單調(diào)區(qū)間之間一定不能添加符號〃〃和〃或〃；三是單調(diào)區(qū)間

應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用不等號表示?

(5)注意函數(shù)單調(diào)性的逆用：若心1)＜心)，則有"＜或(增

函數(shù))或xl＞x2(減函數(shù))

23.函數(shù)的奇偶性。

(1)具有奇偶性的函數(shù)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱！為此確定

函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否父于原點(diǎn)對稱。

⑵若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)=-f(-x);若f(x)是偶函數(shù)，則

/(x)=/(-x)=/(|x|)；定義域含零的奇函數(shù)必過原點(diǎn)(f(0)=0)；

(3)復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：〃內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外〃.

(4)若判斷較為復(fù)雜解析式函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先化簡再判斷;

既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個(如定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱即可).

⑸奇函數(shù)在對稱的區(qū)間有相同1的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的區(qū)

間有相反的單調(diào)性；

24.函數(shù)的對稱性：

①y二f(x)與y=f(-x)的圖像父于y軸對稱；y=f(x)與y=-f(x)的

圖像關(guān)于X軸對稱;

②若f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直

線x=a對稱;

a+b

③若f(a+x)=f(b-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=—g一對

稱；

25.函數(shù)的周期性:若f(T+x)=f(x),則f(x)是周期函數(shù)，T是它

的一個周期。

⑴若y=f(x)滿足f(x+a)=f(x-a)恒成立，則f(x)的周其明2間;

⑵若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又欠于直線x=a對稱，則y=f(x)的

周期為21al;

⑶若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則y=f(x)的周

期為41al;

⑷若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,O),(b,O)對稱，則y=f(x)的周期為2|a-b|;

(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b對稱,則函數(shù)y=f(x)的周期

為2|a-b|;

1

(6)f(x+a)=-f(x)°Kf(x+a)=-則y=f(x)的周期為2|a|;

T(X)

26.指數(shù)式、對數(shù)式運(yùn)算：

mi--m1

m

cr=yla，a：=；*logal=0*logaa=l;logex=lnx，b=

..zlogb

bogaNcn

logaNa=N*a=N*logab=0.?logaM=nlogaM;

M

loga(MN)=logaM+logaN;loga-=logaM-logaN.;

27.指數(shù)、對數(shù)值的大小比較:(1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)

性；(2)利用中間量(0或1);(3)化同指數(shù)(或同真數(shù))后利

用圖象比較。

28.指數(shù)函數(shù)y二a〉與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,awl)

指數(shù)函數(shù)y=aX(a>0且a對數(shù)函數(shù)y=logaX(a>Oz

名稱

awl)

定義

(-8,+OO)(0,+8)

域

值域(0,+8)(-8,+OO)

過定

(0?1)(1*0)

點(diǎn)

指數(shù)函數(shù)二與對數(shù)函數(shù)圖象

yaxy=logax(a>Ozarl)

關(guān)于y二x對稱

圖象J

x

X^y=a(a>l)

y=a(O<a<l\yrl°gaxG>1)

一

尸1管(0<a<l)

a>L在(-8,+8)為增函

a>L在(0,+8)為增函數(shù)

單調(diào)數(shù)

在8)為

0<a<lz(0,+

性0<a<1,在(-8,+8)為

減函數(shù)

減函數(shù)

底數(shù)與圖像位置父系：在第一象限指數(shù)函數(shù)是〃底大圖高〃

對數(shù)函數(shù)是〃底大圖低〃

29募函數(shù)

靠函數(shù)的定義:一般地，函數(shù)y=x0^做黑函數(shù)，其中x為自變

量，a是常數(shù)?

①y=x0在第一象限的圖象,可分為如圖中的三類：(在其他象

限的圖像要根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性作圖)

(1)所有的帚函數(shù)在(0，+8)都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)

(2)當(dāng)a>0時，募函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn),并且在［0，+8)

上是增函數(shù)(從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升)?

特別地，當(dāng)時，xe(0,l)，y=x°的圖象都在y=x圖象

的下方?形狀向下凹，a越大，下凹的程度越大?

當(dāng)0<a<l時，xw(0,l)，y=x。的圖象都在y=x的圖象上方，

形狀向上凸，a越小，上凸的程度越大?

(3)當(dāng)a<0時,器函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，+8)上是減函數(shù),

30.函數(shù)的零點(diǎn).

Q)零點(diǎn)概念:對于函數(shù)y=f(x)，把使f(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫

做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。

(2)函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=O實(shí)數(shù)

根?亦即函數(shù)y=f(x)的圖象與工軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

(3)判斷函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個數(shù)，一般將F(x)=0拆成f(x)=

g(x),通過看兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像交點(diǎn)個數(shù)判定

(4)二分法：對于在區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷?且滿足f(a)-f(b)<0

的函數(shù)y二f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二?

使區(qū)間函數(shù)值異號的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值

的方法叫做二分法

31.常見的圖象變換

⑴平移變換：〃左加右減〃(注意是針對大而言)；〃上加下減〃

(注意是針對f(x)而言).

(2)翻折變換：________去掉附車型圖象，，八.

I')v一八")保留y軸右邊圖象，解其關(guān)于)軸對稱圖象>>一/(1v'1h)

32,恒成立?能成立問題處理思想：方程k=f(x)有解。晚。(D

為f(X)的值域)；。”(幻恒成立o心"(切最大值,恒成立

。。工"(刈最小值.

a>fM能成立o42"(x)］最小值，a<fM能成立oa〈"(創(chuàng)最大值

第四部分導(dǎo)數(shù)

33.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

(1)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：c=o(。為常數(shù))；

37)']qm(〃sQ).(qinx),=cCcOSX/l^COSx)j=-sinA,(axy=ax\na；(，)'=，；

2\[x

陽7

&:X2W

(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(〃±uy=/±M；(uv)f=u,v+uvi

-LIV

V

34、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，

就是曲線》=/(%)在點(diǎn)P(%o/(X0))處的切線的斜率，即曲線尸/(x)在

點(diǎn)p(%/0。))處的切線的斜率是r(/)，相應(yīng)地切線的方程是

y-%=7'(%)(%—%)。

特別提醒：解這類題首先要弄清楚已知短是否為切點(diǎn)，如果不

是切點(diǎn)，應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)為(卬兒)然后寫出切線方程：

)，-)，0=/'伉)(工-工0)再把已知點(diǎn)代入求出切點(diǎn)。如果已知點(diǎn)是切點(diǎn),

則直線求此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)得出直線的斜率。

35、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：(先求函數(shù)的定義域)

①求函數(shù)單調(diào)區(qū)間方法：解不等式/(幻>。,則為增函數(shù)；

若尸(x)<0,則/(x)為減函數(shù)；

②根據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)問題：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)

上單調(diào)遞增,則外力NO恒成立；若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單

調(diào)遞減，則廣(幻40恒成立

36、函數(shù)的極值：

求函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上的極值的步驟：(i)求導(dǎo)數(shù)f<x);

(ii)求方程(。)=0的根%；(iii)檢查八龍)在方程((x)=o的根%的

左右的符號："左正右負(fù)"O/(戈)在/處取極大值；〃左負(fù)右正"

O/(處在X。處取極小值。特別提醒：見是極值點(diǎn)的充要條件是小點(diǎn)

兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是/，■)=0，=0是與為極值點(diǎn)的必要而

不充分條件。

37、求函數(shù)y二f(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟:(1)

求函數(shù)y=f(x)在(4力)內(nèi)的極值(極大值或極小值);(2)^y=f(x)

的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個

為最小值。

第五部分三角函數(shù)

38、任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)a是任意一個角，P(x,y)

是a的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是r，則

sina=—,cosa=—'tana=—

rrx

39、三角函數(shù)值的符號：〃一全正二正弦，三正切四余弦〃

40.弧長公式：l=\a\R,扇形面積：S=IR=^\ct\R~,180°=TI

弧度

41.同角二角屋數(shù)的基本關(guān)系?式sin2a+cos2(7=1,tan<7=sintZ

cosa

(1)"正余弦和差積式sinxcosx、sinxcosx〃的關(guān)系.如

(sinxcosx)2=l2sinxcosx.

(2)已知正切值，關(guān)于正、余弦齊次式處理方法：sina-3cosa；

sina+cosa

sin2a+sinacosa+2

k

42.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式(^n+a)的本質(zhì)是：奇變偶不變(對k

而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號看象限(看原函數(shù)，同時把a(bǔ)看

成是銳角).牢記幾個誘導(dǎo)公式：sin(;r-a)=sina,

43、正余弦函數(shù)性質(zhì)

44、正弦函數(shù))；=sinx(x￡R)'余弦函數(shù)y=cos%(x￡&的圖像:

正弦函數(shù)圖像余

弦函數(shù)圖像

45、y=Asin(5+e)的函數(shù)性質(zhì)：

1

（1）幾個物理量：A一振幅;f二〒一頻率（周期的倒數(shù)）；u）x+（p-

相位；中一初相；

（2）研究函數(shù)y=Asin（（x）x+（p）性質(zhì)的方法：類比于研究y=sin

x的性質(zhì)，只需將y=Asin（（jox+（p）中的3x+（p看成y=sinx中的工，

整體代換到正弦函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)中，但在求y=Asin（3x+（p）的單調(diào)區(qū)

間時，要特別注意A和3的符號，通過誘導(dǎo)公式先將3化正。

（3）函數(shù)y=Asin（cox+（p）表達(dá)式的確定：A由最值確定；3

2TI

由周期確定T=—;（p由圖象上的特殊點(diǎn)的相位值列方程確定（即

c兀371A\

（4幅數(shù)y=Asin（3x+cp）+k的圖象與y=sinx圖象間的父系:

①函數(shù)y=sinx的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（（p>0）或向右

（（p<0）平移|（p|個單位得y=sin（x+（p）的圖象；②函數(shù)y=sin（x+（p）

1

圖象的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊槐夺軐?dǎo)至U函數(shù)y=sin（ujx+（p）

UU

的圖象；③函數(shù)y=sin（cox+（p）圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來的A倍得到函數(shù)y=Asin（cox+（p）的圖象;④函數(shù)y=Asin（cox+q））

圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上（k>0）或向下（k<0），得到

y二Asin（3x+（p）+k的圖象。

特別注意?若由y=sincox得至Uy二sin（ujx+（p）的圖象，則向左

和性質(zhì):

（2）周期性：是周期函數(shù)且周期是乃，

k

（3）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是（/n，0），特

別提醒：正切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與X軸的交點(diǎn)，

另一類是漸近線與X軸的交點(diǎn)，但無對稱軸，。

（4）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間（kn--，kn+-）內(nèi)都是增

函數(shù)。但在整個定義域上不具有單調(diào)性。

47、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

sin(a+p)=sinacosp+cosasinp；sin(a-p)=sinacos[3-

cosasinp

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp；cos(a-0)=COSQCOS0+

sinasinp

48.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路：

(1)巧變角(已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變

換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如

a=(a+0)-0=(a-。)+0'a=+，

(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，

(3)公式變形使月lana±tan/?=tan(cif±/?)(ltancrtan/?)°

.,1-cos2a-^1

(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降器公式：，sin-a=-----------

22

升募公式:1+cos2a=2cos2a'1-cos2?=2sin2?)°

⑸正余弦值互求時一定要注意角的范圍決定開方結(jié)果的正負(fù)

49、輔助角公式?asinx+bcosx=\la2+/72sin(.r+6?)

常見變形：sin.r±V3cosx=2sin(x±f)；^sinx±cosx=2sin(x±|)

sinx±cosx=V2sin(x±-j)

50.三角形中的有關(guān)公式：

+

(1)內(nèi)角和定理，A+B=^-C,sin(A+B)=sinC,sin=cos—

22

(2)正弦定理：」_=_A_=q=2R.

sinAsinBsinC

⑶示弦定理：》+3ccos4cos4=

(4)面積公式：S=-^ah(l=^abs'\nC=^r(a+b+c)(其中一為二角形內(nèi)切

圓半徑).

51?三角困數(shù)的值域的求法：

(1)y=asinx+b(或y=acosx+b)型，利用卜皿乂期cosRwi).

即可求解，此時必須注意字母a的符號對最值的影響。

(2)y=asinx+bcosx型，引入輔助角0，化為y=1"、及sin

(X+o)，利用函數(shù)卜in(x+0)W1即可求解°

(3)y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+c)，型，可

令t=sinx(t=cosx),-lwtwL化歸為閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問

題。

(4)丫=汕*(或廣絲絲丑)型，解出sinx(或cosx),

csinx+dcosx+d

利用卜inR〈l(或|cosR?l)去解；或用分離常數(shù)的方法去解決。

(5)y=〃sinx+。型，可化歸為sin(x+0)=g(y)。利用函

ccosx+d

數(shù)卜in(x+°]Ml即可求解

(6)對于含有sinx±cosx,sinxcosx的函數(shù)的最值問題，常用

的方法是令sinx+cosx=t|r|<V2sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)尖系

式，從而化為二次函數(shù)的最值問題。

(7)y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x4-n型問題，可先利用降鬲

公式轉(zhuǎn)化為二倍角形式，再利用輔助角公式轉(zhuǎn)化為尸sin(5+0)，

根據(jù)X的范圍求解函+夕整體取值范圍，在求解相應(yīng)值域

52.三角不等式的解法：

sinx>azcosx>a型不等式?應(yīng)先畫出正余弦函數(shù)在的圖

像?根據(jù)取值要求找出對應(yīng)角的范圍，再加上周期2kn即可?如果

角的區(qū)間不連續(xù)，則平移使之相連。

tanx>a問題要注意加周期kn

第六部分?jǐn)?shù)列

53.S”與a〃關(guān)系應(yīng)用：9=81++…+3"；?

(1)已知求，用作差法：見<鏟y*>力°已知

q?jL?%=/(〃)求勺，用作商法：.。檢驗當(dāng)時'

"一[云普’(心刀

若由適合S-9.1，則n=1的情況可并入n>2時的通項an;當(dāng)

〃二1時，若心不適合S〃-S”i，則用分段函數(shù)的形式表示?

(2)由為與9的關(guān)系求為，通常用1代替n，兩式作差將

用力替換，轉(zhuǎn)化為力與力.1的關(guān)系，然后求解?

(3)由為與5；的父系求9.通常利用an=Sn-Sn.1(〃22)將已知

美系式轉(zhuǎn)化為S,與5^-1的關(guān)系式，然后求解?

54.等差數(shù)列的有關(guān)概念：

(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法%~=d(d為常數(shù))或

%+1522)°

(2)等差數(shù)列的通項:%=q+(〃-l)d或a”=q〃+(〃-〃z)d。

(3)等差數(shù)歹I」的前〃項和：s“=M3，5〃=〃4+必曰。。.

(4)等差中項：若A〃成等差數(shù)列，則A叫做〃與匕的等差

中項，且％=竺^。

2

55,等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)當(dāng)m+n=p+q時，貝I」有+為=<+與*特別地，當(dāng)

m+n=2p時，貝U有%+?！?24.

⑵若｛當(dāng)｝成等差數(shù)列，則S〃，邑“-5〃國「邑”，…也成等差數(shù)列

56.等比數(shù)列的有關(guān)概念：

(1)等比數(shù)列的通項:勺=%?；蛳?9尸。

(2)等比數(shù)列的前〃和：當(dāng)q=l時，s“=㈣;當(dāng)尸1時，

_q(lW)_4一〃/°

n-l_q[_q

(3)等比中項：若qA〃成等比數(shù)列，則A叫做〃與力的等比

中項。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等

比中項，且有兩個±5/防。

57.等比數(shù)列的性質(zhì)：

(1)當(dāng)m+n=p+q時則有=%嗎特別地，當(dāng)m+n=2p

時*則有時卯“=4〃2.

(2)若｛為｝是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列5〃國「瓜-S2〃

也是等比數(shù)列。

(3)如果數(shù)列｛力｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，則數(shù)列以｝是非

零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列&｝僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)

列的必要非充分條件。

58.遞推數(shù)列的通項求法：

(1)若仆,「〃”=/(〃)求d"用累加法4=（a”-a”T）+（a”T_4-2）+L+（%-《）+a\

(2)已知也=/⑺求an'用累乘法：〃=馬_.紿

(3)已知的且an+1=Aan+B，則為+1+攵=/⑸+Q(其中攵可

由待定系數(shù)法確定)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列｛/+6?

(4)形如為+1=瓦士的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)方法構(gòu)

造新數(shù)列求解?

59,數(shù)列求和的常用方法：

(1)分組求和法：等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項相加而成的新

數(shù)列的求和問題

(2)錯位相減法:一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘而成

的新數(shù)列的求和問題；如

基本步驟如下：乘上公比、錯位書寫；上下相減、末項為負(fù)；

中間求和、注意項數(shù)，右式整理、高次化低；去除系數(shù)、代2檢驗。

(3)裂項相消法解決通項公式是等差數(shù)列相鄰兩項乘積的倒數(shù)

的新數(shù)列的求和問題

常用裂項形式有：①1J__L；②—1—=1(1__L)；

〃(〃+1)nn+\〃(〃+2)knn+k

第七部分平面向量

60?向量的有關(guān)概念與表示

(1)向量：既有方向又有大小的量，記作向量技，〃也C

自由向量：數(shù)學(xué)中所研究的向量是可以平移的，與位置無關(guān)，

只要是長度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量?

(2)向量的模：向量的長度,記作：|師|

⑶向量的夾角：兩個非零向量d，5，作而入，而=力，則AOB

稱為向量3，5的夾角,

61、零向量：模為0，方向任意的向量，記作：0

單位向量：模為1，方向任意的向量，與8共線的單位向量是：

±—(47^0)

\a\

相等向量：長度相等，且方向相同的向量叫相等向量?

相反向量：長度相等，方向相反的向量?

向量共線：方向相同或相反的非零向量是共線向量，零向量與

任意向量共線；共線向量也稱為平行向量-記作allb

62?向量的幾何運(yùn)算

(1)加法：平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則?

⑵減法：三角形法則?共起點(diǎn)；差向量方向指向被減向量

(3)數(shù)乘：記作：8?它的長度是：|3|二I|?|

aI它的方向：①當(dāng)>0時，3與8同向②當(dāng)<0時，

3與d反向③當(dāng)二0時，a-0

(4)數(shù)量積：

①定義：&b-|a||b|cos〈a”〉?

②性質(zhì)：設(shè)d，6是非零向量，則：

當(dāng)。為銳角時，a>0,且d，Z?不同向，〃./?>()是。為銳角

的必要非充分條件；當(dāng)。為鈍角時<0，且d，6不反向，〃/<0

是。為鈍角的必要非充分條件；

特殊地：aa=|a|?或心而；夾角:…?！?

63?向量的坐標(biāo)運(yùn)算

若在平面直角坐標(biāo)系下,a=(Ai>J4),b-(A2，%)

(1)加法：3+6=(應(yīng)+熱+/)(2)減法：3-6=(用-至，

力一女)

(3)數(shù)乘：應(yīng)%)(4)數(shù)量積：ab=

⑸若3=(x，勿，則卬=右子(6)cos＜。?ab=［人沁+型

,⑷⑸府系國港

⑺若/(應(yīng)，，氏至，/)，則|布|=J(X「七尸十"一必尸

(8)d在。方向上的正射影的數(shù)量為

a,b

cos<a,b>==華+也2

Tb\內(nèi)+蘇

64?重要定理

(1)平行向量基本定理：

若d=b，則allb，反之：若加b，且Z7/0?則存在唯一

的實(shí)數(shù)使得d=b

(2)平面向量基本定理：

如果豉和會是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，則該平面內(nèi)的任

一向量a?存在唯一的一對實(shí)數(shù)凱,力使a=的6+為會

(3)向量共線和垂直的充要條件：

若在平面直角坐標(biāo)系下，己=(兩，%)，6=(至，%)

則:diiboM%-x2yi=0，己_1。=的至+%%=0

⑷若3二(的，川，6二(兩，/)，則"

舊=%

65、AABC中中向量一些常用的結(jié)論：

①GZ+G%+G2=6OG為MBC的重心；

②蘇?麗=麗?瓦=云?無0為?；鸬拇剐模?/p>

—>—>

③向量"口~+當(dāng)^)(/lw())所在直線過41BC內(nèi)心(是ZBAC角平

\AB\|AC|

分線所在直線)；

uimiuuuuu

④向量OCOAO8中三終點(diǎn)A,B,C共線。存在實(shí)數(shù)xzy使得

OC=xOA+yOB^X+y=1.

特別的，若C是A,B中點(diǎn),則有泥，北+工擄

22

第八部分不等式性質(zhì)

66、不等式的性質(zhì)：

(1)同向不等式可以相加；不可以相減：

(2)同向正數(shù)不等式可以相乘，但不能相除；

(3)同向正數(shù)不等式兩邊可以同時乘方或開方：若Q〉〃〉O，

則優(yōu)*或后〉物;

1111

若

則

若

則

必

4o?必O

>a>-<-/<>->-

4bQb

67.均值不等式定理：若〃>0，人>0，則疝，即

匕W箍?

2

68.常用的重要不等式：

①/+從之29？；②ab<（^1^；

69.含參不等式的解法：求解的通法是〃定義域為前提?函數(shù)

增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵?〃注意解完之后要寫上：〃綜上，

原不等式的解集是…〃。注意：按參數(shù)討論.最后應(yīng)按參數(shù)取值分

別說明其解集；若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.集合的形式表示

結(jié)果

第九部分直線和圓

70、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線I與x軸相交時，取x軸作

為基準(zhǔn)，x軸正向與直線I向上方向之間所成的角a叫做直線I的傾

斜角.特別地,當(dāng)直線I與x軸平行或重合時，規(guī)定a=0°.傾斜角a的

值范圍：0°<a<180°.

71、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90c的直線,它的傾

斜角的正切值叫這條直線的斜率攵，即A=tana（aW90。）"頃斜角

為90。的直線沒有斜率；當(dāng)?！闧0。?90。）時，a越大，/的斜率越大；

當(dāng)伯（90。，180”寸，碘大,/的斜率越大?

（2）斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)々a，y）、的直線的斜率為

k=%.乃&乜）；

再一工2

72、直線的方程：（1）直線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)

斜式不適用干斜率不存在的直線，過定點(diǎn)P（x0,y。）的直線要設(shè)成

x=Xo和y_JO=A（%一%O））;

（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距

相等=直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)=

直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對值相等=直線的

斜率為±1或直線過原點(diǎn)。

73、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：

（1）點(diǎn)2工"0）到直線/x+儀/+G0的距離;

VA24-B2

(2)兩平行線4：Ar+8y+G=0,/2：Ax+8y+C2=0間的距離為

74、直線4：AX+BJ+G=O與直線4：&尤+&丁+6=0的位置關(guān)

系：

（1）平行O4與一44=0（斜率相等）且4c2-與C尸0（在y軸

上截距不等）；

（2）直線/應(yīng)+&y+G=0與直線/妝+&y+G=0垂直

=4出+3旦=0°

75、對稱問題：

（1）中心對稱

①點(diǎn)Hx，勿關(guān)于C\a"）的對稱點(diǎn)戶（八，）滿足y=2a-xfy

=2b-y

②直線欠于點(diǎn)的對稱可能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)共于點(diǎn)

n-bA

的對稱問題來解決-尸x（“L-l,

a+mb+?!…-

A---+B,~~+C=0.

（2）軸對稱--

①點(diǎn)4d，為關(guān)于直線/x+By+C=0（券0）的對稱點(diǎn)4（/77，

n）-

②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解

決.

提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求

解。

76、簡單的線性規(guī)劃：

(1)二元一次不等式表示的平面區(qū)域：用特殊點(diǎn)判斷；②無

等號時用虛線表示不包含直線/，有等號時用實(shí)線表示包含直線/;

(2)求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？①根據(jù)實(shí)際問題的約

束條件列出不等式；②作出可行域?寫出目標(biāo)函數(shù)；③確定目標(biāo)函

數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。

(3)在求解線性規(guī)劃問題時要注意：①將目標(biāo)函數(shù)改成斜截

式方程；②尋找最優(yōu)解時注意作圖規(guī)范；③注意直線的斜率正負(fù)對

最值取點(diǎn)的影響。

(4)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處

取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題?我們可以直接解出可行域的

頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函

數(shù)的最值。

77、圓的方程：

⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：=，。

⑵圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D24-E2-4F>0)*

⑶圓的參數(shù)方程：t疊二;郭(6為參數(shù))，其中圓心為5⑼，

半徑為一。

78、直線與圓的位置關(guān)系：直線/:Ax+為+c=o和圓

C：(x-?)2+(y-匕)2=r2

(r>0)有相交、殂離、相切。可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷：

(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情

況)：A>0o相交；△<()=相離；△=()=相切；

(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓

心到直線的距離為d，貝=相交；相離；4=相切。

79、圓與圓的位置關(guān)系(用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判

斷)：已知兩圓的圓心分別為9，o2?半徑分別為小丹,則(1)當(dāng)

IOQ2>4+6時，兩圓外離；(2)當(dāng)002|『+弓時，兩圓外切；(3)

當(dāng)l“OQ2l<q+與時'兩圓相交；(4)當(dāng)IOQ2HLeI時'兩圓內(nèi)

切；(5)當(dāng)OKioaklL’l時'兩圓內(nèi)含°

80、圓的切線與弦長：

(1)切線：①過圓/+),2=六上一點(diǎn)p(xo,y。)圓的切線方程是：

,o+?°=/?2，過圓(x_a)2+(y_〃)2=R2上一點(diǎn)p(Xo,yo)圓的切線方程是：

2

(X-a)[x^-a)+(y-a)[yQ-a)=R'一般地，如何求圓的切線方程？(抓住

圓心到直線的距離等于半徑)；②從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩

條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件?運(yùn)用幾何方法(抓住圓

心到直線的距離等于半徑)來求；③過兩切點(diǎn)的直線(即〃切點(diǎn)弦〃)

方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓

與已知圓的公共弦就是過兩切點(diǎn)的直線方程；③切線長：圓的切線

222

的長為^(x0-a)+(y0-b)-R；

(2)弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距d，弦長一

半濃及圓的半徑,?所構(gòu)成的直角三角形來解：產(chǎn)=/+§”)2;②過

兩圓G：/(x,y)=0、C2：g(x,y)=0交點(diǎn)的圓(公共弦)系為

f(x9y)+Ag(x9y)=0'當(dāng)4=-1時，方程/(x,y)+/lg(x,y)=0為兩圓公共弦

所在直線方程.。

第十部分圓錐曲線

81.圓錐曲線的定義：

(1)定義中要重視3舌號〃內(nèi)的限制條件:橢圓中，與兩個

定點(diǎn)冗干2的距離的和等于常數(shù)2〃，且此常數(shù)2〃一定要大于恒工廠

當(dāng)常數(shù)等于閨閭時，軌跡是線段F.F2?當(dāng)常數(shù)小于恒周時*無軌

跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F,*F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2〃?

且此常數(shù)2〃一定要小于HFzl，定義中的〃絕對值〃與2〃＜任十2|

不可忽視。若2〃=HFJ，則軌跡是以F「F2為端點(diǎn)的兩條射線，

若2〃>IF.FJ*則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表

示雙曲線的一支。

(2)拋物線定義中曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到準(zhǔn)線距離

相等，要善于運(yùn)用定義對它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。

82.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心(頂點(diǎn))在原點(diǎn)，

坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程)：

(1)橢圓：焦點(diǎn)在無軸上時/+/=l(a>Z?>0)，焦點(diǎn)在y軸

上時/+豆=L(d">。),

?

(2)雙曲線：焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在)，軸上.

A2

P=10

(3》尬物線開C向右時/=2px開口向左時9=—2px(p>0)，

開口向上時f=2py(p>0)，開口向下時f=-2py(p>0)0

83.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷(首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程?然后再判

斷):

(1)橢圓：由X2,y2分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)

軸上。

(2)雙曲線：由一02項系數(shù)的正負(fù)決定,焦點(diǎn)在系數(shù)為正

的坐標(biāo)軸上；

(3)拋物線：焦點(diǎn)在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定

開口方向。

特別提醒:(1)在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點(diǎn)

位置，焦點(diǎn)F-F"勺位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定

嘴圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)，確定橢

圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋

物線問題時，首先要判斷開口方向;(2)在橢圓中，。最大，

a2=b2+c2，在雙曲線中，c最大，c2=a2+b2。

84.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：

(1)橢圓(以=+匚=1(a>b>0)為例)：①范圍：

crb~

-a<x<a,-h<y<b；②禺心率：e=￡，橢圓oO<e<l，e越小，橢

圓越圓；e越大，橢圓越扁。

29

(2)雙曲線(以二-乙=1(心0力〉0)為例)：①范圍

a2b2

或xNwycR；②當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方

程可設(shè)為x2-y2=k,k^Q；離心率：e=￡，雙曲線<=>e>l，等軸雙曲

線，越小，開口越小，越大，開口越大；③兩條漸近線：

*Vb/?W\AZ?oe=0ee-

b

y=±—x°

a

(3)拋物線(以〃=2px為例)：①準(zhǔn)線：x=-E;②離心

率：拋物線oe=l。

85、點(diǎn)P(%,yo)和橢圓三+二=1(ci>b>0)的關(guān)系：(1)點(diǎn)

a~b~

2“。)在橢圓外05+”>1；(2)點(diǎn)/”。)在橢圓上o旦=

cTba~b~

1；(3)點(diǎn)尸(須),%)在橢圓內(nèi)=可+《<1

ab

86?直線與圓錐曲線的位置父系：

相交：△>()=直線與橢圓相交；A〉0=>直線與雙曲線相交，

但直線與雙曲線相交不一定有△>()，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行

時，直線與雙曲線相交且只有一個交點(diǎn)，故A〉O是直線與雙曲線相

交的充分條件，但不是必要條件；A〉0n直線與拋物線相交?但直

線與拋物線相交不一定有A〉0，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時?

直線與拋物線相交且只有一個交點(diǎn)，故△>()也僅是直線與拋物線相

交的充分條件，但不是必要條件。

87、焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三

角形)問題：常利用定義和正弦、余弦定理求解。在橢圓0+==1

cr

八99

中，S=/tang=c|y0|，對于雙曲線二-與=1的焦點(diǎn)三角形有：

2a~b~

170

S=—rr,sin0=/?"cot—0

2-2

88、弦長公式：若直線y=kx+b與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，

且石,又2分別為A、B的橫坐標(biāo)?則同=Ji+爐,-引，若％,當(dāng)分別為

A、B的縱坐標(biāo),則|陰二'1+5|弘-y2\,

89?解析幾何常用結(jié)論

(1)雙曲線匚.f=]的漸近線方程為匚_2i=o;

/b2a2b2

(2)以y=±%為漸近線(即與雙曲線二.[=1共漸近線)的

aa2h2

雙曲線方程為丁方位。

(3癇圓、雙曲線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦內(nèi)叱，