高中數(shù)學基礎知識歸類獻給高三文理科考生

中學數(shù)學基礎學問歸類

一.集合和簡易邏輯

1.留意區(qū)分集合中元素的形式.如：3y=igR一函數(shù)的定義域；{yiyTgx}一函

數(shù)的值域；

{(x,y)|y=lgx}—函數(shù)圖象上的點集.

2.集合的性質：①任何一個集合A是它本身的子集,記為A=A.

②空集是任何集合的子集,記為0aA.

③空集是任何非空集合的真子集；留意:條件為A=在探討的時候不要遺忘

了A=0的狀況

如：4=5"2-2尸1=0},假如A內(nèi)=0,求。的取值.(答：?<0)

④)"AB)=CuACVBQCAIB)=CUACVB;(AB)fC=A|C).

(Al,B)IC=A\^B,C).

⑤AB=A<=>AB-B<=^AoB<^>CVBoCVA<=>ACVB=0<=>CUA\B=R

⑥A3元素的個數(shù).card(AB)=cardA+cardB-card(AB)(容斥原理)

⑦含〃個元素的集合的子集個數(shù)為2"；真子集(非空子集)個數(shù)為2，-1；非空

真子集個數(shù)為2"-2.

3.補集思想常運用于解決否定型或正面較困難的有關問題。

如：已知函數(shù)/⑴=4--25-2)x-2/—+1在區(qū)間［fl］上至少存在一個實

數(shù)。，使/?>°,求實數(shù)〃的取值范圍.(答：)

4.原命題：PF；逆命題：qnP；否命題：「Pnf逆否命題：「4n力；

互為逆否的兩個命題是等價的.如："sinawsin/7”是…的條

件.(答：充分非必要條件)

5.若。。且“冷。，則。是4的充分非必要條件(或4是。的必要非充分條件或q

的一個充分非必要條件是P或P的一個必要非充分條件是q).

6.留意命題夕的否定和它的否命題的區(qū)分：命題0nq的否定是。否

命題是可=14.命題或的否定是“/且F”；“。且4”的否定是

”i或.

如：“若。和人都是偶數(shù)，則”+人是偶數(shù)”的否命題是“若。和人不都是偶數(shù),

則a+b是奇數(shù)”

否定是“若。和心都是偶數(shù),貝匹+匕是奇數(shù)”.

7.常見結論的否定形式

原命題中含有全稱量詞(或存在量詞)，命題的否定必有存在量詞(或全稱量詞)

原結論否定原結論否定

是不是至少有一一個也沒有

個

都是不都是至多有一至少有兩個

個

大于不大于至少有”個至多有"T

個

小于不小于至多有"個至少有"+1

個

對全部尤，成立存在某犬，不成P或4力且F

立

對任何X,不成存在某X,成立。且q「。或r

立

二.函數(shù)

1.①映射/：A-3是：⑴“一對一或多對一”的對應；⑵集合A中的元素必有

象且A中不

同元素在3中可以有相同的象；集合3中的元素不肯定有原象（即象集=2）.

②一一映射-⑴"一對一”的對應；⑵人中不同元素的象必不同，3

中元素都有原象.

2.函數(shù)/:A-3是特殊的映射.特殊在定義域&和值域3都是非空數(shù)集!據(jù)此可

知函數(shù)圖像和x軸的垂線至多有一個公共點，但和V軸垂線的公共點可能沒有，

也可能有隨意個.

3.函數(shù)的三要素：定義域，值域,對應法則.探討函數(shù)的問題肯定要留意定義域優(yōu)

先的原則.

4.求定義域:使函數(shù)解析式有意義（如:分母/0;偶次根式被開方數(shù)非負;對數(shù)真

數(shù)＞0,底數(shù)〉。且W1;零指數(shù)塞的底數(shù)/0）;實際問題有意義；若/⑺定義域為

10向，復合函數(shù)力8（刈定義域由⑺V6解出；若力g（x）］定義域為［〃,叫則人元）

定義域相當于尤冽時8（無）的值域.

5.求值域常用方法：①配方法（二次函數(shù)類）；②逆求法（反函數(shù)法）；③換元法

（特殊留意新元的范圍）.④三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數(shù),運用三

角函數(shù)有界性來求值域；

⑤不等式法⑥單調性法；⑦數(shù)形結合：依據(jù)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合的

方法來求值域；

⑧判別式法（慎用）：⑨導數(shù)法（一般適用于高次多項式函數(shù)）.

6.求函數(shù)解析式的常用方法：⑴待定系數(shù)法（已知所求函數(shù)的類型）；⑵代換（配

湊）法；

⑶方程的思想對已知等式進行賦值，從而得到關于7（X）及另外一個函數(shù)的方

程組。

7.函數(shù)的奇偶性和單調性

⑴函數(shù)有奇偶性的必要條件是其定義域是關于原點對稱的，確定奇偶性方法

有定義法、圖像法等；

⑵若人尤）是偶函數(shù)，那么Ax）=/（r）=/（3）；定義域含零的奇函數(shù)必過原點

（/（0）=0）.

⑶推斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：/■（X）±/（T）=°或；

⑷復合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

留意：若推斷較為困難解析式函數(shù)的奇偶性，應先化簡再推斷；既奇又偶

的函數(shù)有多數(shù)個

（如/（X）=0定義域關于原點對稱即可）.

⑸奇函數(shù)在對稱的單調區(qū)間內(nèi)有相同的單調性；偶函數(shù)在對稱的單調區(qū)間內(nèi)

有相反的單調性；

⑹確定函數(shù)單調性的方法有定義法、導數(shù)法、圖像法和特值法（用于小題）等.

⑺復合函數(shù)單調性由“同增異減”判定.（提示：求單調區(qū)間時留意定義域）

y=log）（-x2+2x）八八、

如：函數(shù)，的單調遞增區(qū)間是-----------.（答：（L2））

8.函數(shù)圖象的幾種常見變換⑴平移變換：左右平移“左加右減”（留意是針對x

而言）；

上下平移“上加下減”（留意是針對/（X）而言）.⑵翻折變換：

/（元）f/（|x|）.⑶對稱變換：①證明函數(shù)圖像的對稱性，即證圖像上隨意點關于

對稱中心（軸）的對稱點仍在圖像上.

②證明圖像G和的對稱性,即證G上隨意點關于對稱中心（軸）的對稱點仍

在上,反之亦然.

③函數(shù)y=和y=/（t）的圖像關于直線%=o（》軸）對稱;函數(shù)y=于3和

函數(shù)

y=/（f）的圖像關于直線y=o（x軸）對稱；

④若函數(shù)y=/（x）對xeR時，/（。+*）=/'（4-犬）或/0）=/'（2°-%）恒成立,則

y=f（x）圖像關于直線X=。對稱；

⑤若丁=/⑺對xeR時，/5+X）=于（b-x）恒成立,則尸f（x）圖像關于直線對

稱；

⑥函數(shù)尸/3+x）,的圖像關于直線對稱（由a+x會-x確定）；

⑦函數(shù)丁=于D和丁=/3—x）的圖像關于直線對稱；

⑧函數(shù)y=/（尤），y=AT（尤）的圖像關于直線對稱（由確定）；

⑨函數(shù)y=/（x）和y=-/（f）的圖像關于原點成中心對稱；函數(shù)

y=/（x）,y=的圖像關于點對稱；

⑩函數(shù)y="x）和函數(shù)"尸（無）的圖像關于直線產(chǎn)x對稱；曲線G：/（%y）=o,

關于

y=x+ay=-x+a的對稱曲線C?的方程為/（y-a,x+a）=0（或/'（-y+a,-x+a）=0；

曲線G：Ax，y）=°關于點（a，3的對稱曲線C2方程為：faa-x,2b-y）=Q^

9.函數(shù)的周期性：⑴若y="x）對xeR時f（x+a）=〃x-。）恒成立,則〃無）的周期為

21al.

⑵若y=/（尤）是偶函數(shù),其圖像又關于直線％對稱,則/（X）的周期為21al；

⑶若k了⑴奇函數(shù)，其圖像又關于直線x=。對稱,則M的周期為4⑷；

⑷若，=八無）關于點3。）,也。）對稱,則/⑺的周期為21。-61；

⑸丫=八幻的圖象關于直線x=a,x3對稱,則函數(shù)>=Ax）的周期為

2\a-b\,

?

⑹y=F（X）對xeR時，。）=一”無）或，則y=〃無）的周期為2⑷；

10.對數(shù)：⑴bg，b=logdb"（。>0,中l(wèi),6>0,〃eH+）；⑵對數(shù)恒等式

"。5N=N（a>0,awl,N>0）.

log.（M-N）=logaM+log?N;log“2=log.M一log”;log,,M"=nlog.M

⑹N；

;⑷對數(shù)換底公式

logflblogfcclogca=l=>loaloa

推論：',§o,2-S?23-Jog",Tog”，.

（以上M，。川〉。,々〉。,々。1,/?>。,/?。1,。>。,。。1,%,%,Q〃>0且%Q〃均不等于

1）

11.方程左=以X）有解o正為了⑴的值域）；aNfix）恒成立Oa>"（創(chuàng)最大值，

a</（x）恒成立O。V"（x）］最小值.

12.恒成立問題的處理方法：⑴分別參數(shù)法（最值法）；⑵轉化為一元二次方程

根的分布問題；

13.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值

問題用“兩看法”：

一看開口方向；二看對稱軸和所給區(qū)間的相對位置關系；

14.二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：Xx）=-+H+c（叱0）；②頂點式:

f（x）=a（x-Iz）2+k（a0）.③零點式：/（元）=a（x-xj（元-9）（?#。）.

15.一元二次方程實根A布:先畫圖再探討△>（）、軸和區(qū)間關系、區(qū)間端點函數(shù)

值符號；

16.復合函數(shù)：⑴復合函數(shù)定義域求法：若了⑴的定義域為［。向，其復合函數(shù)

〃g（x）］的定義域可由不等式“<g（x）斗解出；若〃g（x）］的定義域為［。向，求/⑺

的定義域，相當于苫式。向時，求g⑺的值域；⑵復合函數(shù)的單調性由“同增異

減”判定.

17.對于反函數(shù)，應駕馭以下一些結論：⑴定義域上的單調函數(shù)必有反函數(shù)；⑵

奇函數(shù)的反函數(shù)

也是奇函數(shù)；⑶定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù)；⑷周期函數(shù)不

存在反函數(shù)；

⑸互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自的定義域具有相同的單調性；⑹2=/（無）和

產(chǎn)尸⑴互為

反函數(shù)，設/⑴的定義域為A,值域為鳥則有

flf1（X）］=x（xeB）,廣'［/W］=x（xeA）.

18.依據(jù)單調性,/用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問

題：

f（u）=g（x）u+h（x）>0（或〈0）（oVa46）（或）.

v_ax+一土o研whe}x=——

19.函數(shù)'一''的圖像是雙曲線：①兩漸近線分別直線.一工（由分

V=—

母為零確定）和直線C（由分子、分母中X的系數(shù)確定）；②對稱中心是點

（_d曰）v=b-dx

c,c;③反函數(shù)為.cx-a;

20.函數(shù)：增區(qū)間為，減區(qū)間為.

如：已知函數(shù)在區(qū)間（-2，+°°）上為增函數(shù),則實數(shù)。的取值范圍是？（答：）.

三.數(shù)列

a_加"=1）

1.由S“求K-S?_,（?>2,?eN*）留意驗證卬是否包含在后面““的公式中,

若不符合要單獨列出.如:數(shù)列他”}滿意，求知（答：）.

2.等差數(shù)列｛%｝0?！╛?！ㄒ?=1（d為常數(shù)）=2%=為+1+4_1（〃之2.￡雙*）

oa=an+b（a=d,b=a,—d）oS〃=An2+Bn（A=—,B=a--）

〃212.

?

3.等差數(shù)列的性質：①%=4+5-附"，；

②加+〃=/+左na“+a,=q+4（反之不肯定成立）；特殊地，當加+”=2。時，有

H.；③若｛%｝、｛￡｝是等差數(shù)列，則｛她+以｝（左、，是非零常數(shù)）是等差數(shù)

列；

s

④等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”即^-sm,s3m-s2m,.仍

是等差數(shù)列；

⑤等差數(shù)列｛%｝,當項數(shù)為2〃時，S—S奇"d,；項數(shù)為2〃一1時，

5假一S奇=a中=%（〃eN*）,邑力=（2〃-D%,且；,

⑥首項為正（或為負）的虛減（或遞增）的'等全數(shù)列前n項和的最大（或最?。﹩?/p>

題,轉化為解不等式（或）,也可用S“=A"+Bn的二次函數(shù)關系來分析.

⑦若4=m,a1n=n｛mwri）,則am+n=0.若S“=m,Sm=n｛m*ri）,則Sm+n=-（m+n）.

若Sm=Sn（m豐ri），則0；S33（S2m_）；Sm+n=Sm+S“+mnd.

1

{a“}o—=dqH0)oa；=an_xan+}(n>2,neN*)oan=axq"

4.等比數(shù)列a”

5.等比數(shù)列的性質

①a“=a，i,；②若｛““｝、電｝是等比數(shù)列，則｛他』、｛。也｝等也是等比數(shù)歹U；

na[(q=1)na](q=l)

S「〃

%(lq)aaq(4wl)

l-g

③i-qi-q\—q④機+”=/+%na,nan=(反之不

肯定成立）；Si=Sm+q”"=S"+q"Sm.⑤等比數(shù)列中黑名"-黑鳥"-S?,”（注:

各項均不為0）仍是等比數(shù)列.⑥等比數(shù)列他」當項數(shù)為2九時，；項數(shù)為2〃-1時,.

6.①假如數(shù)列口｝是等差數(shù)歹u,則數(shù)列□""｝（矛總有意義）是等比數(shù)歹u；假如數(shù)列

｛〃“｝是等比數(shù)列,則數(shù)列｛1。&1*｝（。＞0，。/1）是等差數(shù)列；

②若3｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則｛%｝是非零常數(shù)數(shù)列；

③假如兩個等差數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的數(shù)列也是等

差數(shù)列，且新數(shù)列的公差是原兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；假如一個等差

數(shù)列和一個等比數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的數(shù)列是等比數(shù)

列，由特殊到一般的方法探求其通項；

④三個數(shù)成等差的設法：a-d,a,a+d,四個數(shù)成等差的設法：

a-3d,a-d,a+d,a+3d.

三個數(shù)成等比的設法：；四個數(shù)成等比的錯誤設法：（為什么？）

7.數(shù)列的通項的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式.

⑵已知S”（即4+出++%=/（"））求巴用作差法：.

（3）已知全一=/（"）求％用作商法：.

⑷若%-%=/（〃）求凡用迭力口法.⑸已知，求a“用迭乘法.

⑹已知數(shù)列遞推式求?！保脴嬙旆ǎ嬙斓炔?、等比數(shù)列）：①形如

ykae+bjLSi+b",

%+夕"+63。為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比

為左的等比數(shù)列后，再求見.②形如的遞推數(shù)列都可以用“取倒數(shù)法”求通項.

8.數(shù)列求和的方法：①公式法：等差數(shù)列,等比數(shù)列求和公式；②分組求和法;

③倒序相加；④錯位相減；⑤分裂通項法.公式：

1+2+3++n=-n（n+l）I2+22+32++rr=-n{n+l）（2n+1）

26

l3+23+33+.+/=[險當2

2.1+3+5++〃=";常見裂項公式;

——-—1]

n(n—1)(〃+1)2n{n+1)(n+1)(〃+2).

212

2（J〃+1—\fn）=廣_____<___<______=2(&-Jn-1)

常見放縮公式：yjn+1+y/ny[nyfn+\]n—1

9.“分期付款”、“森林木材”型應用問題

⑴這類應用題一般可轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務

必，，卡手指”，細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則

常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最終”解決.

⑵利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期

存入本金。元,每期利率為「，貝P期后本利和為：

S=n（l+r）+?（1+2r）+p（l+nr）=p（n+十"r）…

21（等差數(shù)列問題）；②復利問題：按

揭貸款的分期等額還款（復利）模型：若貸款（向銀行借款）2元，采納分期等額還

款方式,從借款日算起,一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去,分“期還清.

假如每期利率為r（按復利），那么每期等額還款尤元應滿意：

Ml+r）n=x（l+廠產(chǎn)+x（l+r）"-2++x（l+廠）+龍（等比數(shù)列問題）.

四.三角函數(shù)

1.夕終邊和。終邊相同00=6+25丘㈤；々終邊和。終邊共線

=戊=6+以伏eZ）；a終邊和。終邊關于無軸對稱號＞&=一版伏eZ）；a終邊和。

終邊關于丁軸對稱

0&=乃一6+2左萬伏eZ）.a終邊和。終邊關于原點對稱0￡=萬+6+2公??伏eZ）.

a終邊和9終邊關于角B終邊對稱oa=2i+2k兀*eZ）

2.弧長公式：歸團,；扇形面積公式：片彩1弧度（1板357.3。.

3.三角函數(shù)符號（“正號”）規(guī)律記憶口訣：“一全二正弦，三切四余弦”.

留意：tan15°=cot75°=2-y[i.tan75°=cot15°=2+.

4.三角函數(shù)同角關系中（八塊圖）：留意“正、余弦三兄妹”sinx土cosx、sinx-cosx”

的關系.

如（sinx±cos無y=1±2sinxcosx等

5.對于誘導公式，可用“奇變偶不變，符號看象限”概括；（留意：公式中始終

視為銳角）

6.角的變換：已知角和特殊角、已知角和目標角、已知角和其倍角或半角、兩

角和其和差角等變換.如：a=［a+p)-p.2(z=(dz+/?)+(?-/?).2c=(￡+&)-(6-a)；

0ca+p

a+B=2-----

2；

2(2)(20等；“1”的變換：

1=sin2x+cos2%=tanx?cotx=2sin30°=tan45°.

,------._1-cos2a

7.重要結論：asinx+bcosxuVL+.sina+e)其中)；重要公式s2ina=---；

a,11-cosasina1-cosa/./,0,.6、？.。.3、

tan—=±J------=------=------vl±sin<9=.(cos—±sin—)=|cos—±sin—|

COS2CL=.，2V1+cosa1+cosasina.，\2222*

萬能公式:；；.

8.正弦型曲線y=Asin(8+@的對稱軸；對稱中心；

余弦型曲線〉=Ac°s(s+的對稱軸；對稱中心；

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，處理三角形內(nèi)的

三角函數(shù)問題勿忘三內(nèi)角和等于180°,一般用正、余弦定理實施邊角互化；正弦

定理：；

22222

7,o?，*b+c—a(b+c)-a

a—b+c—2bccosA,cosA=--------=-----------1

余弦定理：2bc2bc;

2

正弦平方差公式：A-sinB=Sin(A+B)sm(A-B).三角形的內(nèi)切圓半徑；

面積公式：；射影定理：a="cosC+ccos邑

10.AABC中，易得：A+3+C=i,

①sinA=sin(B+C)cosA=-cos(B+C)tanA=-tan(B+C)

②，，.③，>6oA>5osinA>sin5

④銳角WC中，，$苗4>8$氏8$4<。05%/+62>°2,類比得鈍角八45。結論.

⑤tanA+tan3+tanC=tanAtan5tanC

11?角的范圍：異面直線所成角(0'手；直線和平面所成角。1；二面角和兩向量

(0—1

的夾角［0㈤；直線的傾斜角［0")；4到4的角［。㈤/和4的夾角''2」.留意術語:

坡度、仰角、俯角、方位角等.

五.平面對量

L設4=(再，%)，/?=(%,為).(1)Q〃bo玉%_%2%=0；

(2)〃-Lbu>Q.A=0oxxx2+%為=°

2.平面對量基本定理：假如G和是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對該

平面內(nèi)的任一向

量。，有且只有一對實數(shù)4、%,使a=4q+4e2.

3.設"(占,％),6=(%,%),則4/=|4||切36=再々+%%；其幾何意義是a等于a

的長度

和匕在“的方向上的投影的乘積；。在。的方向上的投影

|a|cos0="「「火

網(wǎng)在+￡

4.三點A、B、C共線oAB和AC共線；和AB共線的單位向量.

8se=*=2c2

5.平面對量數(shù)量積性質:設。=（%，%）/=（/，%）,則⑷⑸—+才?+貨；

留意：

〈/"〉為銳角OQ,“。，不同向；〈。，力為直角OQ?8=0；〈。，力為鈍角

0〃?/?<（）,。/不反向.

6,情同向或有。7“+川⑷+1昨忖一間=1。一叫.力反向或有0

0|"6|=|。|+出目|4|-|可=|4+。|.”.6不±[;線=卜<2|-同<|4±6|<|4|+屹|

7.平面對量數(shù)量積的坐標表示：⑴若"=&，%）」=區(qū),為），則a/=x、+M%；

IAB|=J?-%）2+（M-%）2.⑵若。=（兌>）,則a-a-a-x2+y2

8.吧平移笠;和定比分點公式.①當點尸在線段月巴上時，九>。；當點「在線

段的（或麗）延長線上時，2<-1或-!<X<0.

②分點坐標公式：若叩=彳尸舄；且片（…），尸（2）6（%，%）；

則，中點坐標公式：.

③生P,鳥三點共線=存在實數(shù)2、〃使得°尸='°片+〃°舄且彳+〃=1.

ABAC、一ABAC、

（z-------+--------）_L（----------------）

9.三角形中向量性質：①A2+AC過BC邊的中點：\AB\IACI\AB\IACI.

…PG=L(PA+PB+PC)oGA+GB+GC=6=G

②3為AABC的重心;

@PAPB=PBPC=PAPC<^P^^ABC^]^^.

④|3。以+|。1|尸3+|42|%=00尸為4150的內(nèi)心；所在直線過A4BC內(nèi)心

⑤設的,％)也?,%)

SMBC=；IA8IIAC|sinA=；J|A8|"AC?一(AB.ACf

則.

⑥0為AABC內(nèi)一■點，則S.oc。4+S；uocOB+5AAe>BOC=0.

10.尸（尤,y）按g"）平移>P（x',y'）,有（pp=a）；y=/（x）按"=仇外平移>y-k=f（x-h）

六.不等式

1.駕馭課本上的幾個不等式性質，留意運用條件，另外須要特殊留意：

_—7—

①若必>0,b>a,則〃屋即不等式兩邊同號時,不等式兩邊取倒數(shù),不等號方

向要變更.

②假如對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式,要留意它的正負號,假如正負號未

定,要留意分類探討.

2.駕馭幾類不等式（一元一次、二次、肯定值不等式、簡潔的指數(shù)、對數(shù)不等式）

的解法,尤其留意用分類探討的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標根法,零點

分區(qū)間法.

JZ+Z>a+b>4ab>^—

y2211

3.駕馭重要不等式，（1）均值不等式：若。乃>°,則（當且

僅當。=人時取等號）運用條件：“一正二定三相等”常用的方法為:拆、湊、

平方等;②abceR,

/+廿+^2^+歷+山（當且僅當a=>=c時，取等號）；（3）公式留意變形如：，；

⑷若心6>0,心0,則（真分數(shù)的性質）；

4.含肯定值不等式:“力同號或有00|。+切=1。1+屹0⑷-⑸=1。-切；"/異號或

有。

o\a-b\=\a\+\b\>^a\-\b^=\a+b\

5.證明不等式常用方法：⑴比較法：作差比較：A-340OA43.留意：若兩個

正數(shù)作差比較有困難,可以通過它們的平方差來比較大小；⑵綜合法：由因導果;

⑶分析法：執(zhí)果索因.基本步驟：要證…需證…，只需證…；⑷反證法：正難則

反；⑸放縮法：將不等式一側適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的.⑸放縮法的方

法有：①添加或舍去一些項，如：⑷；向前>〃.②將分子或分母放大（或

縮小）③利用基本不等式，如：.④利用常用結論：

\lk+l—&=-j--1--l<；

1°〃+i+〃2a.9

2°kk+\（k+l）kk2（k-l）kk-1左（程度大）?

3°k2k2-12k-1k+\（程度?。?/p>

⑹換元法：換元的目的就是削減不等土中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，

常用的換元有三角換元，代數(shù)換元.如：知x2+V=/,可設x=acosay=asinj

矢口d+Jvi,可設x=rcos。，y=rsm6矢口，可設x=acos6,y=bsind；已矢口，

可設x=asecd,y=AanO.⑺最值法，如："⑴最大%則。>/⑺恒成立..<八尤）最小值，

則a</（x）恒成立.

七.直線和圓的方程

L直線的傾斜角。的范圍是1°"）;

2.直線的傾斜角和斜率的變更關系（如右圖）:

3.直線方程五種形式：⑴點斜式：已知直線過點（/，%）斜率為3則直線方程為

y—%=%（x-%）,它不包括垂直于無軸的直線.⑵斜截式：已知直線在V軸上的截

距為人和斜率左，則直線方程為丁二區(qū)+",它不包括垂直于％軸的直線.⑶兩點

式：已知直線經(jīng)過

片（玉,必）、4區(qū)，丫2）兩點,則直線方程為,它不包括垂直于坐標軸的直線.

⑷截距式：已知直線在％軸和'軸上的截距為d"則直線方程為,它不包括垂

直于坐標軸的直線和過原點的直線.⑸一般式：任何直線均可寫成

Ax+By+C=°（A,3不同時為°）的形式.

提示：⑴直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直

線，思索截距式）

⑵直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為。.直線兩截距相等0直線的

斜率為T或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)O直線的斜率為1或直線過原

點；直線兩截距肯定值相等0

直線的斜率為±1或直線過原點.

⑶截距不是距離,截距相等時不要忘了過原點的特殊情形.

4.直線4-^+Bly+Ci=O和直線/2:勾++C?=0的位置關系：

⑴平行O4與-4瓦=0（斜率）且4c2-用C產(chǎn)。（在y軸上截距）；

⑵相交o4為-42產(chǎn)°；⑶重合oA與一44=。且4c2-與。1=。,

5.直線系方程：①過兩直線LAx+"+G=o,￡4'+為>+。2=°.交點的直線

系方程可設為A%+男丁+G+〃4%+82y+G）=。；②和直線，：—+為+c=o平行的直

線系方程可設為不+為+加=°（加**③和直線/：4+為+°=°垂直的直線系方程

可設&-Ay+〃=0

6.到角和夾角公式：⑴4至此的角是指直線人圍著交點按逆時針方向轉到和直線

tan6=—k（KLH-l）

4重合所轉的角。，且J（°㈤且人快-；

⑵4和4的夾角是指不大于直角的角（銳角）且一空z

7.點P（x。,%）到直線Ax+8y+C=0的距離公式；

兩條平行線—+取+G=0和4+為+G=0的距離是.

8.設三角形&RC三頂點4即%），以尤2，%）,C（F，%）,則重心

x1+x2+x3%+%+%）

'3'3'；

9.有關對稱的一些結論

⑴點（“，份關于x軸、y軸、原點、直線產(chǎn)》的對稱點分別是

（a,-b）99（一。,。）（->61,-b）（/?,a）

⑵曲線f?y）=°關于下列點和直線對稱的曲線方程為：①點3,3：

f（2a-x,2b-y）=0.

②X軸：“x，-y）=o；③y軸：/（T,y）=0；④原點：f（-x,-y）=o.⑤直線產(chǎn)壬

/（%元）=0；⑥直線y=—x：f（.-y,-x）=O,⑦直線x=a：f（2a-x,y）=。.

10.⑴圓的標準方程：（x-4+（y-牙=：⑵圓的一般方程：

/+/+m+切+/=0（》+片_4尸>0）.特殊提示：只有當/）2+序一4尸>0時，方程

/+丁+瓜+與+尸父才表示圓心為,半徑為的圓（二元二次方程

2

A?+即+0/+5+4+尸=0表示圓04=0=0,^B=0,D2+E-4AF>0）.

⑶圓的參數(shù)方程：（。為參數(shù)），其中圓心為①⑶，半徑為一?圓的參數(shù)方程主要

應用是

三角換元：+/=f2-^x=rcos3,y=rsin0.

x2+y2=r—>x=rcos0,y=rsin0（0<r<\/t）

⑷以A且,%）、8（%,%）為直徑的圓的方程（尤一尤|）（尤一%）+（丫-必）。_%）=0；

11?點和圓的位置關系的推斷通常用幾何法（計算圓心到直線距離）.點尸（無。，為）

及圓的方程

0-a）2+（y-=/.①（尤0_°）2+（無一力2>產(chǎn)o點尸在圓外;

②（與-A+（%-6）2</o點尸在圓內(nèi)；③5-a）?+（%-6）2=產(chǎn)。點尸在圓上.

12.圓上一點的切線方程：點P（x。，為）在圓/+產(chǎn)=尸上,則過點P的切線方程為：

%龍+=，；過圓（X-a）2+（y-b）2=/上一點P（x。,%）切線方程為

（%-?）（%一。）+（%-6）（，一力=/.

13.過圓外一點作圓的切線,肯定有兩條,假如只求出了一條,那么另外一條就是

和無軸垂直的直線.

14.直線和圓的位置關系,通常轉化為圓心距和半徑的關系,或者利用垂徑定理，

構造直角三角形解決弦長問題.①相離②心廠。相切③

相交

15.圓和圓的位置關系,常常轉化為兩圓的圓心距和兩圓的半徑之間的關系.設

兩圓的圓心距為"，兩圓的半徑分別為八R：4>穴+廠0兩圓相離；d=A+ro兩

圓相外切；兩圓相交；"=1區(qū)一川o兩圓相內(nèi)切；八次一川0兩

圓內(nèi)含；d=0o兩圓同心.

16.過圓G：1+尸+°/+與y+￡=0,C?：f+尸+￡>/+E2y+8=°交點的圓（相交

弦）系方程為（無z+V+Rx+Ej+EH'az+V+Ax+Ezy+KAO.2=T時為兩圓相

交弦所在直線方程.

17.解決直線和圓的關系問題時,要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質的作用（如半徑、

半弦長、弦心距構成直角三角形,切線長定理、割線定理、弦切角定理等等）.

18.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）依據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；（2）

作出可行域,寫出目標函數(shù)（推斷幾何意義）；（3）確定目標函數(shù)的最優(yōu)位置,從而

獲得最優(yōu)解.

八.圓錐曲線方程

1.橢圓焦半徑公式：設P（x。，為）為橢圓上任一點,焦點為

則閥|=°+氣,忸閶"-%）（“左加右減,,）.

2.雙曲線焦半徑：設P（x。，為）為雙曲線上任一點，焦點為白（-G。），KC。），則：⑴當

尸點在右支上時，止"="+夕?！瓜?=-"+"；⑵當P點在左支上時，I尸用=-"氣，

|尸耳|=”一"；（e為離心率）.另：雙曲線的漸近線方程為.

3.拋物線焦半徑公式：設如。，％）為拋物線V=2px（p>0）上隨意一點，尸為焦點，

則

.y2=-2px（p>0）上隨意一占F為隹點則.

4.共漸近線的雙曲線標準方疊%（彳由海數(shù)，入。）.

5.兩個常見的曲線系方程：⑴過曲線/ay）=°,力（尤/）二°的交點的曲線系方程

是

工（"）+延（x,y）=0%為參數(shù)）.⑵共焦點的有心圓錐曲線系方程，其中

k<max{a2,b2}當上<而可/萬}時，表示橢圓；當mingM}<-<max]/,/}時，表示

雙曲線.

6.直線和圓錐曲線相交的弦長公式網(wǎng)=gif）2+（Mf）2或

\AB\=J1+左2|西一/I

=?+F）@+x2）r%T+至|1（弦端點A（X“J,B（7）,由方程消去y得到

依2+以+。=0,△>（）,%為斜率）.這里體現(xiàn)了解幾中“設而不求”的思想；

2b2

7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為工,焦準距為,拋物線的通徑為功，焦準距為

P.

雙曲線藍-正=1（">°力>°）的焦點到漸近線的距離為6;

8.中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓,雙曲線方程可設為心2+/2=1（對于橢

A>0,B>0）.

9.拋物線y2=2px（p>0）的焦點弦（過焦點的弦）為AB,A&J）、8區(qū),％）,則有

如下結論：

（］）|A8|=%+尤2+0；（2）,=（3）.

10.橢圓左焦點弦1明=2。+貿(mào)玉+乙），右焦點弦1叫=2。-次玉+尤2）.

11.對于V=2px（pN0）拋物線上的點的坐標可設為，以簡化計算.

12.圓錐曲線中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.

在橢圓中，以尸?廣。）為中點的弦所在直線斜率；在雙曲線中，以尸（不，為）為中點

的弦所在直線斜率；在拋物線y'2px（p>o）中，以尸（%，%）為中點的弦所在直線的

斜率.

13.求軌跡方程的常用方法：

⑴干脆法：干脆通過建立尤、y之間的關系，構成尸⑶,戶。，是求軌跡的最基本

的方法.

⑵待定系數(shù)法：可先依據(jù)條件設所求曲線方程,再由條件確定其待定系數(shù)，代回

所列的方程即可.

⑶代入法（相關點法或轉移法）.

⑷定義法：假如能夠確定動點的軌跡滿意某已知曲線的定義,則可由曲線的定義

干脆寫出方程.

⑸交軌法（參數(shù)法）：當動點p?y）坐標之間的關系不易干脆找到,也沒有相關動

點可用時,可考慮將無、y均用一中間變量（參數(shù)）表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)

得一般方程.

14.解析幾何和向量綜合的有關結論：

⑴給出直線的方向向量”=（1，幻或"CM.等于已知直線的斜率上或3

⑵給出應+而和A3相交,等于已知而+無過A3的中點；

⑶給出麗+麗=6,等于已知P是MN的中點；

⑷給出”+AQ=MBP+BQ），言于已知P,Q和AB的中點三點共線；

⑸給出以下情形之一：①獲〃就；②存在實數(shù)，使=③若存

在實數(shù)//，

且=+￡=1；使℃=。。4+602,等于已知三點共線

⑹給出，等于已知P是荏的定比分點，N為定比，即而=X而

⑺給出MA.MB=O,等于已知即NAM3是直角，給出加4-"3=相＜0,

等于已_

知ZAM5是鈍角或反向共線,給出血?施=加＞。，等于已知ZAM5是銳角

或同向共線.

⑻給出，等于已知MP是ZAM3的平分線.

⑼在平行四邊形ABCD中，給出（茄+石）?（近-石）=0,等于已知ABCD是菱

形.

⑩在平行四邊形ABCD中，給出IA3+A0=|A8-A0,等于已知ABCD是矩形.

-----?2------*2------?2

?在AABC中，給出OA=OB=OC,等于已知。是AA3C的外心（三角形的外

心是外接圓的圓心,是三角上三把垂直平分線的交點）.

?在AABC中，給出應+無+加=6,等于已知。是AABC的重心（三角形的重

心是三角形三條中線曄生）.

（13）在AABC中,給出方.無=無.無=無.良，等于已知0是AABC的垂心（三

角形的垂心是三角形三簧包交點）.

?在AABC中,給出了=應+（九?RD等于已知於通過AA3C的內(nèi)心.

（15）在AABC中，給出“?3+603+?！?瓦等于已知。是〃3。的內(nèi)心（三角

形內(nèi)切圓

的圓心,三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）.

?在AABC中,給出，等于已知AO是AABC中邊的中線.

九.直線、平面、簡潔幾何體

L從一點。動身的三條射線。OB、OC.若ZAOB=ZAOC,則點A在平面BOC上

的射影在

/BOC的平分線上；

2.立平斜三角余弦公式：（圖略）回和平面所成的角是曳AC在平面內(nèi)，AC和AB

AB

的射影＞成。2,設NBAC=4，則cos4cos62=cos03.

3.異面直線所晟角的求法：

⑴平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線.

⑵補形法：把空間圖形補成熟識的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、

長方體等,其目的在于簡潔發(fā)覺兩條異面直線間的關系；

4.直線和平面所成角：過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段,是產(chǎn)生線面角的

關鍵.

5.二面角的求法：⑴定義法；⑵三垂線法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面積射

影公式5射=$斜cos。

其中夕為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；

6.空間距離的求法：⑴兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般

先利用垂直作出公垂線,然后再進行計算.⑵求點到直線的距離,一般用三垂線

定理作出垂線再求解.

⑶求點到平面的距離,一是用垂面法，借助面面垂直的性質來作.因此,確定

已知面的垂面是關鍵；二是不作出公垂線,轉化為求三棱錐的高,利用等體積法

列方程求解.

7.用向量方法求空間角和距離：⑴求異面直線所成的角：設。、匕分別為異面直

線。、6的方向向量，則兩異面直線所成的角.⑵求線面角：設/是斜線/的方向

向量，〃是平面。的法向量，則斜線/和平面a所成的角.⑶求二面角（法一）在。

內(nèi)。呼，在尸內(nèi)，則二面角a"一尸的平面角.（法二）設々，”是二面角

?一/一分的兩個半平面的法向量,其方向一個指向內(nèi)側,另一個指向外側,則二面

角戊-/-￡的平面角.（4）求點面距離：設“是平面。的法向量，在。內(nèi)取一點3,

貝IJA至Ije的距離

d=\AB||cos例J-',/

1/11（即AB在“方向上投影的肯定值）.

8.正棱錐的各側面和底面所成的角相等,記為則為cos6=S底.

9.正四面體（設棱長為。）的性質：

①全面積5=6/;②體積；③對棱間的距離；④相鄰面所成二面角；⑤外接

球半徑；⑥內(nèi)切球半徑；⑦正四面體內(nèi)任一點到各面距離之和為定值.

10.直角四面體的性質：（直角四面體一三條側棱兩兩垂直的四面體）.在直角四

面體。-

中，OAOBOC兩兩垂直，令。4=a,O3=b,OC=c,則⑴底面三角形ABC為銳角三

角形；

⑵直角頂點。在底面的射影"為三角形的垂心；⑶=S^BHC'S^BC.

（4）,^AAOB+^ABOC+^ACOA=AABC.⑸；⑹外接球半徑.

11.已知長方體的體對角線和過同一頂點的三條棱所成的角分別為a1，7因此有

cos2a+cos2（3+COS2/=1或sin2a+sin20+sin2/=2.若長方體的體對角線和過同

一頂點的三側面所成的角分別為名￡，乙則有si/c+sin?4+sin2/=i或

cos2a+cos20+cos2y=2

12.正方體和長方體的外接球的直徑等和其體對角線長；

13.球的體積公式，表面積公式S=47R2；駕馭球面上兩點A、3間的距離求法：

⑴計算線段鉆的長；⑵計算球心角403的弧度數(shù)；⑶用弧長公式計算劣弧

的長.

十.排列組合和概率

=n{n-1）（n-m+I）=-----------（m4n,m,n￡N*）

L排列數(shù)公式：，當〃時為全排列

黑=川.

r，nM小伽一1）…（N-/W-1）

2.組合數(shù)公式：m!2）…3?2」,C：=C；=1.

3.組合數(shù)性質：C：=C：f；C：+Ch=C："

4.排列組合主要解題方法：①優(yōu)先法：特殊元素優(yōu)先或特殊位置優(yōu)先；②捆綁

法（相鄰問題）；

③插空法（不相令B問題）；④間接扣除法；（對有限制條件的問題，先從總體考

慮，再把不符合條件的全部狀況去掉）⑤多排問題單排法;⑥相同元素分組可采

納隔板法（適用和指標安排，每部分至少有一個）；⑦先選后排，先分再排（留意

等分分組問題）；⑧涂色問題（先分步考慮至某一步時再分類）.⑨分組問題：要

留意區(qū)分是平均分組還是非平均分組,平均分成”組問題別忘除以吐

5.常用性質：〃?加=（"+1）!-加；即啊=毒：；一6；C；+C；+1+-+C；=C；：；（l<r<n）.

6.二項式定理：⑴駕馭二項綻開式的通項：加=c“-&（『=0,1,2,…⑼.

⑵留意第r+1項二項式系數(shù)和第r+1項系數(shù)的區(qū)分.

7.二項式系數(shù)具有下列性質：⑴和首末兩端等距離的二項式系數(shù)相等；⑵若"為

偶數(shù),中間一項

-+1

即（第2項）的二項式系數(shù)最大；若"為奇數(shù)，中間兩項即（第和項）的二項式系

數(shù)最大.

⑶C；+C：+C：+...+C：=2"；c：+戲+...=&+C；+…=2"二

8.二項式定理應用：近似計算、整除問題、結合放縮法證明和指數(shù)有關的不等

式、用賦值法求綻開式的某些項的系數(shù)的和如"x）=（依+?”綻開式的各項系數(shù)和

為了⑴，奇數(shù)項系數(shù)和為

，偶數(shù)項的系數(shù)和為.

9.等可能事務的概率公式：⑴；⑵互斥事務有一個發(fā)生的概率公式為：尸0+2）=

P（A）+P（B）；⑶相互獨立事務同時發(fā)生的概率公式為P（AB）=P（A）P（B）；⑷獨立

重復試驗

概率公式月g=C/（l-p）f；⑸假如事務A和3互斥，那么事務A和丈才和8

及費務_

彳和耳也都是互斥事務；⑹假如事務A、8相互獨立，那么事務&、3至少有

一個不發(fā)生

的概率是1-P（M）=1-P（A）P?）；（6）假如事務A和3相互獨立，那么事務A和

3至少有

一個發(fā)生的概率是1-尸（工囪=1-尸（辦尸（歷.

十一.概率和統(tǒng)計

1.理解隨機變量,離散型隨機變量的定義,能夠寫出離散型隨機變量的分布列，

由概率的性質可

知，隨意離散型隨機變量的分布列都具有下述兩特性質：⑴42。，，=1，2，；⑵

片+6+=1

2.二項分布記作&-B5,p）（〃,P為參數(shù)），尸C=k）=Cpkq"",記

C：pkqi=b（k;〃,p）

??????

4X]x2%

??????

PPT必Pn

3.記住以下重要公式和結論:

⑴期望值轉=%。1+%2。2++X?P?+.

（2）方差=（%—EJ）2月+（々-P2+…+區(qū)—E02P“+….

⑶標準差奘=麻；E（若+b）=aE&+b;D（aJ+。）=/上.

⑷若（二項分布），貝=D^=npq（q=l—p）