河南省駐馬店市省級(jí)示范性高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

20242025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．，則（

）A． B．2 C． D．62．拉格朗日中值定理又稱(chēng)拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得．已知函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．03．對(duì)于函數(shù)，部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x123456789y375961824數(shù)列滿(mǎn)足：，且對(duì)于任意，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則（

）A．7569 B．7576 C．7584 D．75904．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》書(shū)中提出高階等差數(shù)列前后兩項(xiàng)之差不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別是1，6，13，24，41，66，則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（

）A．91 B．99 C．101 D．1135．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B．2 C．1 D．6．已知，，則a，b的等差中項(xiàng)為（

）A． B． C．1 D．7．?dāng)?shù)列，，，…，，…的第10項(xiàng)是（

）A． B． C． D．8．已知EF是棱長(zhǎng)為8的正方體的一條體對(duì)角線(xiàn)，空間一點(diǎn)M滿(mǎn)足，AB是正方體的一條棱，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間B．為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值10．甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山區(qū)學(xué)校參加支教活動(dòng)，每個(gè)志愿者僅在一所學(xué)校支教，要求每所學(xué)校至少安排一名志愿者，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．共有72種安排方法B．若甲被安排在A學(xué)校，則有12種安排方法C．若A學(xué)校需要兩名志愿者，則有12種安排方法D．若甲、乙不能在同一所學(xué)校，則有30種安排方法11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．公差 B．C．的最大值為 D．滿(mǎn)足的的最小值為16三、填空題12．已知，那么；13．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．設(shè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，已知.若，則；若，則直線(xiàn)斜率的最小值為.15．已知圓系，圓過(guò)軸上的定點(diǎn)，線(xiàn)段是圓在軸上截得的弦，設(shè)，．對(duì)于下列命題：①不論取何實(shí)數(shù)，圓心始終落在曲線(xiàn)上；②不論取何實(shí)數(shù)，弦的長(zhǎng)為定值1；③不論取何實(shí)數(shù)，圓系的所有圓都與直線(xiàn)相切；④式子的取值范圍是．其中真命題的序號(hào)是（把所有真命題的序號(hào)都填上）四、解答題16．盒子內(nèi)有3個(gè)不同的黑球，5個(gè)不同的白球.（1）全部取出排成一列，3個(gè)黑球兩兩不相鄰的排法有多少種？（2）從中任取6個(gè)球，白球的個(gè)數(shù)不比黑球個(gè)數(shù)少的取法有多少種？（3）若取一個(gè)白球記2分，取一個(gè)黑球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種？17．“每天鍛煉一小時(shí)，健康工作五十年，幸福生活一輩子．”一科研單位為了解員工愛(ài)好運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，從單位隨機(jī)抽取30名員工進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：男性女性合計(jì)愛(ài)好10不愛(ài)好8合計(jì)30已知在這30人中隨機(jī)抽取1人抽到愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的員工的概率是．參考公式：.附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與否與性別是否有關(guān)？(2)若從這人中的女性員工中隨機(jī)抽取人參加一活動(dòng)，記愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望．18．已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.19．對(duì)于正實(shí)數(shù)有基本不等式：，其中，為的算術(shù)平均數(shù)，，為的幾何平均數(shù)．現(xiàn)定義的對(duì)數(shù)平均數(shù)：(1)設(shè)，求證：：(2)①證明不等式：：②若不等式對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)恒成立，求正實(shí)數(shù)的最大值．題號(hào)12345678910答案CCDCABABACDBCD題號(hào)11答案AC1．C根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，可得答案.【詳解】∵，，∴.故選：C.2．C利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求解出值【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有一，使得，又函數(shù)，可得，所以，此時(shí)，又，所以，因?yàn)椋?，所以，不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋傻?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值，最大值，則當(dāng)時(shí)，λ取得最大值，最大值為．故選：C．3．D根據(jù)題意得到數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，然后求和即可.【詳解】由題意，數(shù)列滿(mǎn)足，且點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，可得，，，，則數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，即數(shù)列滿(mǎn)足，則.故選：D.4．C根據(jù)高階等差數(shù)列的定義，逐項(xiàng)作差，可推得為等差數(shù)列，且，反向求解可得，.【詳解】由已知可設(shè)，，，，，.設(shè)，則，，，，.設(shè)，則，，，，根據(jù)高階等差數(shù)列的定義以及的前4項(xiàng)可知，為等差數(shù)列，所以，即，所以，即，所以.故選：C.5．A利用根與系數(shù)的關(guān)系和等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】由題意可得所以.因?yàn)樗?，，所以，所以，所?故選：A.6．B先求解可得，然后根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.設(shè)a，b的等差中項(xiàng)為，根據(jù)等差中項(xiàng)的定義，有.故選：B.7．A由觀察可得數(shù)列規(guī)律，即可得答案.【詳解】由題可得數(shù)列第n項(xiàng)為，則數(shù)列第10項(xiàng)為.故選：A8．B由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算可得，即可得的軌跡，即可根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解即可．【詳解】取的中點(diǎn),,則，所以．所以在以為球心，為半徑的球面上，如圖可知在上的投影數(shù)量最小值為，所以的最小值為，所以的最小值為．故選：B．9．ACD根據(jù)時(shí)，，即可判斷A，B；利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系，即可判斷C，D．【詳解】對(duì)于A，B，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故D正確．故選：ACD．10．BCD由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理以及分組分配問(wèn)題，結(jié)合間接法即可求解．【詳解】對(duì)于A，共有種安排方法，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若甲被安排在學(xué)校，則有種安排方法，即B正確；對(duì)于C，若學(xué)校需要兩名志愿者，則有種安排方法，即C正確；對(duì)于D，若甲、乙不能在同一所學(xué)校，則有種安排方法，即D正確．故選：BCD．11．AC根據(jù)求出與公差的關(guān)系即可判斷AB；再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可判斷CD.【詳解】因?yàn)?，則，即，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；由，得，,因?yàn)椋詳?shù)列是遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，故C正確；，令，解得，所以滿(mǎn)足的的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，即，解得或（舍去）故答案為?3．由函數(shù)是上的減函數(shù)，列出相應(yīng)的不等式組，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】∵函數(shù)是上的減函數(shù)，∴，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．答案：.14．31第一空：由兩點(diǎn)間距離公式以及點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足拋物線(xiàn)方程聯(lián)立列式即可求解；第二空：將直線(xiàn)斜率表達(dá)式求出來(lái)，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】第一空：若，則，又，所以，注意到，所以解得滿(mǎn)足題意；第二空：直線(xiàn)斜率為，若，則由基本不等式得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故答案為：3；1.15．②④對(duì)于①，根據(jù)圓的方程即可判斷①，對(duì)于②，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可判斷②，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離即可判斷③，對(duì)于④，令求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圓方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出和，在利用余弦定理求出，求出的面積即可求出，根據(jù)即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由圓的方程知，圓心在曲線(xiàn)上，故①不正確．對(duì)于②，由弦長(zhǎng)公式得：弦的長(zhǎng)為，故②正確．對(duì)于③，圓心到直線(xiàn)的距離等于，而半徑為，二者不一定相等，故③不正確．對(duì)于④，在圓方程令，可得，或，即，，，，由圓方程知，，，由基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），中，由余弦定理得，，的面積為，，，，即，故④正確．故答案為：②④．16．(1)14400;(2)28;(3)56.【解析】（1）首先5個(gè)白球進(jìn)行排列，然后3個(gè)黑球進(jìn)行插空，則3個(gè)黑球兩兩不相鄰的排法有；（2）從中任取6個(gè)球，白球的個(gè)數(shù)不比黑球個(gè)數(shù)少的取法有3類(lèi)：1個(gè)黑球和5個(gè)白球、2個(gè)黑球和4個(gè)白球、3個(gè)黑球和3個(gè)白球；（3）從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有4類(lèi)：5個(gè)白球、4個(gè)白球1個(gè)黑球、3個(gè)白球2個(gè)黑球、2個(gè)白球3個(gè)黑球.【詳解】（1）首先5個(gè)白球進(jìn)行排列，然后3個(gè)黑球進(jìn)行插空，則3個(gè)黑球兩兩不相鄰的排法有種；（2）從中任取6個(gè)球，白球的個(gè)數(shù)不比黑球個(gè)數(shù)少的取法有3類(lèi)：1個(gè)黑球和5個(gè)白球、2個(gè)黑球和4個(gè)白球、3個(gè)黑球和3個(gè)白球，共有種；（3）從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有4類(lèi)：5個(gè)白球、4個(gè)白球1個(gè)黑球、3個(gè)白球2個(gè)黑球、2個(gè)白球3個(gè)黑球，共有種.17．(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，認(rèn)為愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與否與性別沒(méi)有關(guān)系(2)分布列見(jiàn)解析，（1）先完善列聯(lián)表，根據(jù)題干附注公式計(jì)算，對(duì)比附注表格的臨界值，然后得出結(jié)論；（2）人中，女性人，按照步驟寫(xiě)出分布列中的每一條概率值，然后得到期望.【詳解】（1）由30人中隨機(jī)抽取1人抽到愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的員工的概率是，故愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的員工共有16人，由表中男愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的員工為10人，可得女愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的員工有6人，故列聯(lián)表補(bǔ)充如下：男性女性合計(jì)愛(ài)好10616不愛(ài)好6814合計(jì)161430零假設(shè)為：愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與否與性別沒(méi)有關(guān)系.由已知數(shù)據(jù)可求得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，即接受，即認(rèn)為愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與否與性別沒(méi)有關(guān)系；（2）的可能取值為，由于女性有人，愛(ài)好活動(dòng)的人，，，所以的分布列為：012的數(shù)學(xué)期望為：.18．(1)(2)5【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，，上述兩式作差可得，因?yàn)闈M(mǎn)足，所以的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以?+=5所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為5.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析