高中數(shù)學(xué)講義：導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

高中數(shù)學(xué)講義：導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

目錄

1.單元內(nèi)容及其解析...........................................................1

2.單元目標(biāo)及其解析...........................................................2

3.單元教學(xué)問題診斷分析.......................................................2

4.單元教學(xué)支持條件分析.......................................................3

5.導(dǎo)數(shù)的概念及其意義.........................................................3

6.第4課時教學(xué)設(shè)計(jì)...........................................................5

6.1.課程基本信息............................................................5

6.2.內(nèi)容與內(nèi)容解析..........................................................5

6.3.目標(biāo)與目標(biāo)解析..........................................................6

6.4.教學(xué)問題診斷分析........................................................6

6.5.教學(xué)支持條件分析........................................................6

6.6.教學(xué)過程設(shè)計(jì)............................................................7

7.教學(xué)板書設(shè)計(jì)................................................................11

5.1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義............................................................11

電子白屏........................................................................11

（播放課件）....................................................................11

例題講解........................................................................11

8.課后反思：..................................................................11

1.單元內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容

變化率的典型實(shí)例，導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

2?內(nèi)容解析

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，導(dǎo)數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部

變化，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等性質(zhì)的基本方法，也是解決增長率、膨脹

率，效率、密度、速度、加速度等實(shí)際問題的基本工具.

在大多數(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)教科書所呈現(xiàn)的微積分知識體系中，都是先介紹極限概念，再介紹導(dǎo)

數(shù)樓念，但現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教科書在給出導(dǎo)數(shù)概念之前并沒有介紹極限概念及其運(yùn)算，因

此就不能用極限理論建立導(dǎo)數(shù)概念，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)的瞬時變化率，即函數(shù)平均變化率

的極限.教科書選取高臺跳水運(yùn)動員的速度和拋物線的切線的斜率這兩個典型的變化率問題.

通過這些特殊案例.使學(xué)生經(jīng)歷由平均速度過渡到瞬時速度、由割線斜率過渡到切線斜率的

過程，以直觀的方式由平均變化率的極限引出瞬時變化率，進(jìn)而建立導(dǎo)數(shù)的概念.

極限是人們從微觀層面認(rèn)識世界變化規(guī)律的重要工具.由于導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，其中

自然蘊(yùn)含著極限思想，所以導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和正確的世界觀有著

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重要的作用.從瞬時速度、切線的斜率這些特殊的瞬時變化率出發(fā)，再抽象出導(dǎo)數(shù)概念，蘊(yùn)

含了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)數(shù)的幾何意義表明，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)

數(shù)是函數(shù)的圖象在相應(yīng)點(diǎn)處切線的斜率，這對于幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的意義，提升學(xué)生的

數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，有著重要的作用.

基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義、極限思想

本單元數(shù)學(xué)需4課時，具體分配如下:第1課時，高臺跳水運(yùn)動員的速度;第2課時,

拋物線的切線的斜率;第3課時，導(dǎo)數(shù)的概念;第4課時，導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的概念及其

幾何意義的綜合應(yīng)用.

2.單元目標(biāo)及其解析

1.目標(biāo)

(1)通例，經(jīng)歷均變化率過渡到瞬時變化率的過程，理解導(dǎo)數(shù)的概念.

(2)通過數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

(3)通過經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)概念的抽象概括過程，體會極限思想.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)結(jié)合"高臺跳水運(yùn)動員的速度”問題，學(xué)生能借助計(jì)算工具計(jì)算運(yùn)動員的平均速度，并通

過觀察平均速度在自變量問隔不斷變小的過程中的變化趨勢，得出瞬時速度;結(jié)合"拋物線的

切線的斜率”問題，觀察從割線過渡到切線的過程中，割線斜率在兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)間隔不斷

變小的過程中的變化趨勢，得出切線的斜半，從而了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道導(dǎo)數(shù)是

關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.

(2)通過研究從曲線的割線過渡到切線、從割線斜率過渡到切線斜率的過程，得到導(dǎo)數(shù)的兒

何意義，能通過求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的圖象在對應(yīng)點(diǎn)處的切線斜率，進(jìn)而求出

切線的方程.

(3)結(jié)合"高臺跳水運(yùn)動員的速度"和"拋物線的切線的斜率”問題，能從平均速度的數(shù)值變化

和圖象過某點(diǎn)處的割線斜率的變化趨勢直觀感知瞬時速度是平均速度的極限，切線斜率是

割線斜率的極限，能結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知道函數(shù)在某指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是一個確定

的數(shù)，是一個特殊的極限，對于簡單的函數(shù)，能通過計(jì)算平均變化率的極限得出導(dǎo)數(shù).

3.單元教學(xué)問題診斷分析

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前沒有學(xué)習(xí)極限，所以學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過程實(shí)際上是學(xué)生體會極限

思想的過程，因此，如何用平均速度的極限理解瞬時速度，用割線斜率的極限理解切線的

斜率，并由此體會極限思想，這是第一個教學(xué)難點(diǎn)，要突破這個難點(diǎn)，需要在“高臺跳水

運(yùn)動員的速度”和“拋物線的切線的斜率”這兩個案例中，讓學(xué)生充分經(jīng)歷由“平均變化

率”過渡到“瞬時變化率”的過程，通過觀察平均速度的數(shù)值變化和圖象過某點(diǎn)處的割線

的變化趨勢，正確理解平均速度的極限就是瞬時速度，以及割線的極限位置就是切線，割

線斜率的極限就是切線斜率，在此過程中，幫助學(xué)生正確理解“極限”的含義是建立導(dǎo)數(shù)

念的關(guān)

“學(xué)生到高中階段已經(jīng)有了一定的歸納能力，但在歸納的基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學(xué)概念的能力

仍有所欠缺，因此，如何從瞬時速度、切線的斜率這些具體案例中抽象出導(dǎo)數(shù)概念，是第

二個教學(xué)難點(diǎn)，要解決這個問題，需要先從學(xué)習(xí)過的具體案例中提煉出平均變化率的概念，

并用符號形式化地表示出來，在此基礎(chǔ)上，觀察隨著自變量的改變量趨于0,平均變化率

的數(shù)值變化和形式化后的變化趨勢，建立導(dǎo)數(shù)的概念.

導(dǎo)數(shù)概念的建立過程涉及大量的概念與符號，如何正確理解這些概念與符號的意義，

是第三個教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)中要通過具體案例進(jìn)行剖析，不僅要使學(xué)生能正確理解這些概念

與符號，還要能準(zhǔn)確運(yùn)用相關(guān)概念與符號.

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4.單元教學(xué)支持條件分析

學(xué)生之前沒有學(xué)過極限的概念，而導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)便是極限，同時導(dǎo)數(shù)的表示要借助極限

符號，這些都增加了學(xué)生抽象概括出導(dǎo)數(shù)概念的難度，因此，教學(xué)中要借助信息技術(shù)工具，

使學(xué)生通過列表觀察平均變化率的變化趨勢，通過圖象直觀觀察割線變化到切線的過程，

感受“逼近”過程，以此降低學(xué)生對導(dǎo)數(shù)就是極限的認(rèn)知難度

5.導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

導(dǎo)數(shù)是微積分的一個基本概念，是用來描述函數(shù)局部變化率的度量。對于

給定的函數(shù)，它在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)曲線在該點(diǎn)處的切線斜率。

具體地說，若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xO處可導(dǎo)，則點(diǎn)(xO,f(xO))處切線的斜率就是

f(x)在點(diǎn)xO處的導(dǎo)數(shù)F(xO)。導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是一個極限，即函數(shù)在某個點(diǎn)xO處的

導(dǎo)數(shù)，就是其在此點(diǎn)附近取極限時的極限值，即:

F(xO)=lim(x->xO)[f(x)-f(xO)]/[x-xO]

O導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)的意義非常廣泛，下面列出其中的幾個:

1.函數(shù)的增減性：如果導(dǎo)數(shù)在某個點(diǎn)X處為正，說明函數(shù)在這個點(diǎn)的左邊

是上升的，右邊是下降的；反之，如果導(dǎo)數(shù)在某個點(diǎn)X處為負(fù)，說明函數(shù)在這

個點(diǎn)的左邊是下降的，右邊是上升的。如果導(dǎo)數(shù)在某個點(diǎn)X處為零，說明函數(shù)

在這個點(diǎn)處達(dá)到了極值，可能是極大值或極小值。

2.函數(shù)的凸凹性：如果導(dǎo)數(shù)在某個點(diǎn)x處單調(diào)遞增，則說明函數(shù)在這個點(diǎn)

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處是凸向上的；反之，導(dǎo)數(shù)在某個點(diǎn)X處單調(diào)遞減，則說明函數(shù)在此點(diǎn)處是凸

向下的。

3.極值問題：如果函數(shù)在某個點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)為零，說明此點(diǎn)處可能存在一個

極值(局部最大值或最小值)。因此，求函數(shù)的極值問題可以轉(zhuǎn)化為求其導(dǎo)數(shù)

的零點(diǎn)問題。

函數(shù)在某個時間點(diǎn)xO處的導(dǎo)數(shù)F(xO)即是該物體在這個時刻的瞬時速度。物體

的加速度就是速度的導(dǎo)數(shù)，即f'(xO)o

5.切線，法線和曲率：在某個點(diǎn)xO處，函數(shù)曲線的切線斜率就是該點(diǎn)的導(dǎo)

數(shù)F(xO),法線斜率則是其相反數(shù)的倒數(shù)，即某一點(diǎn)處函數(shù)曲線的曲

率則是它的導(dǎo)數(shù)F'(xO)與切線斜率的比值。

6.泰勒展開：通過對函數(shù)在某個點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，我們可以對函數(shù)進(jìn)行

泰勒展開，從而獲得關(guān)于該點(diǎn)附近的各個點(diǎn)的函數(shù)值的近似值。這是在數(shù)值計(jì)

算和科學(xué)計(jì)算中非常常用的技巧。

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基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

1.若〃x)=c(c為常數(shù))，貝「(")=0;

2.茍'(X)=x'XnGQ),貝葉(％)=nx"'

3.若f(x)=sinx,JJlJf(x)=cosx；

4.^f(x)=cosx,5!*]/(x)=-sinx；

5.若f(x)=〃x,則/(x)=a"In。；

6.茍(x)=e=貝始(x)=ev；

7.隱函數(shù)求導(dǎo)：有些函數(shù)不是顯式地表示為y=f(x)的形式，而是通過方程

式來定義的，例如/2+h2=1。在這種情況下，我們可以通過隱函數(shù)求導(dǎo)的

方法來求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

總之，導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)中的一個重要概念，它的應(yīng)用涉及到幾乎所有數(shù)學(xué)

學(xué)科和實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和物理的必備內(nèi)容。

6.第4課時教學(xué)設(shè)計(jì)

6.L課程基本信息

學(xué)科高中數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期春季

課題5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義(第2課時)

教科書書名：數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月

6.2.內(nèi)容與內(nèi)容解析

1.課時內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的綜合應(yīng)用.

2.內(nèi)容解析

微積分學(xué)是人類思維的偉大成果之一，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法.導(dǎo)數(shù)是微

積分的核心概念之一，有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為導(dǎo)數(shù)的概念

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的下位知識課，是學(xué)生掌握了上位知識一一平均變化率、瞬時變化率以及導(dǎo)數(shù)的概念的基礎(chǔ)

上進(jìn)一步從''形"的角度理解導(dǎo)數(shù)的含義與價(jià)值，體會逼近、以直代曲和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

想方法.同時，本節(jié)的學(xué)習(xí)也為下位知識一一導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用奠定堅(jiān)

實(shí)的基礎(chǔ).

3.核心素養(yǎng)：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

基于以上分析，本課時的教學(xué)重點(diǎn)：對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的探究，及其在數(shù)學(xué)、實(shí)際問題

中的應(yīng)用.

6.3.目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.教學(xué)目標(biāo)

(1)通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

(2)通過經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)幾何意義的抽象概括過程，體會數(shù)形結(jié)合、以直代曲、極限思想；

(3)會應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志：

(1)通過研究從曲線的割線過渡到切線，從割線斜率過渡到切線斜率的過程，得到導(dǎo)數(shù)

的幾何意義；

(2)利用信息技術(shù)演示的動態(tài)變化效果，體會數(shù)形結(jié)合、以直代曲、極限思想；

(3)給定一個具體函數(shù)上某個已知點(diǎn)P(x°，yo)，會應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念得到/'Go)，進(jìn)一

步用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到該點(diǎn)處的切線方程.

6.4.教學(xué)問題診斷分析

(-)已經(jīng)具備的基礎(chǔ)

從知識儲備上看，學(xué)生通過了對實(shí)例的分析，經(jīng)歷了由平均變化率過渡到瞬時變化率的

過程，了解了導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，從數(shù)上體會了“逼近”的思

想；同時，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的斜率與直線方程的相關(guān)知識.

從學(xué)習(xí)能力上看，教學(xué)對象是高二理科班的學(xué)生，思維活躍，具有一定的想象能力和研

究問題的能力.經(jīng)過高中近兩年的訓(xùn)練，學(xué)生逐步形成小組合作探究，代表上臺解釋概括總結(jié)

的學(xué)習(xí)模式.

(二)可能存在的困難

首先學(xué)生對切線認(rèn)識存在一定的思維定勢一一“與曲線僅有一個公共點(diǎn)的直線是曲線的

切線”，其次學(xué)生對導(dǎo)數(shù)幾何意義的認(rèn)知即找到數(shù)與形之間的聯(lián)系存在一定的困難.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：用運(yùn)動變化、極限的觀點(diǎn)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

在教學(xué)中借助信息技術(shù)工具，組織、引導(dǎo)學(xué)生通過圖象直觀觀察割線變化到切線的過程，感

受“逼近”過程，以此降低學(xué)生對導(dǎo)數(shù)幾何意義的認(rèn)知難度，從而突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).

6.5.教學(xué)支持條件分析

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為突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，在教學(xué)中借助信息技術(shù)工具，使學(xué)生通過圖象直觀觀察割線

變化到切線的過程，感受“逼近”過程，以此降低學(xué)生對導(dǎo)數(shù)幾何意義的認(rèn)知難度.

1、教法分析："啟發(fā)探究式”教學(xué)法，教學(xué)中遵循教師主導(dǎo)、學(xué)生主體、探究主線，教

師更多的是啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的思維.

2、學(xué)法指導(dǎo)：（1）自主學(xué)習(xí)（2）合作學(xué)習(xí)（3）探究學(xué)習(xí)

3.教學(xué)媒體：PPT.GeoGebra

6.6.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念

活動1：形成一般曲線的切線定義

活動2：探究導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

例1：鞏固導(dǎo)數(shù)的幾何意義，生成以直代曲的思想；（活動

3）例2：加深導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解.（活動4）

從知識、方法、思想三個方面進(jìn)行總結(jié)，一圖二義三思想

檢測教學(xué)目標(biāo)（1）、（2）、（3）的達(dá)成情況

A組感受理解8組思考運(yùn)用

（環(huán)節(jié)一）情境引入

問題1：求函數(shù)y=f（x）在x=%。處導(dǎo)數(shù)/'（xo）分哪兒步？

第一步：求增量Ay

第二步：求平均變化率包=+入）一，（/）；

AxAx

第三步：求瞬時變化率尸（%）=㈣/缶.

前面我們以物理為背景，從“數(shù)”的角度研究了導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在我們想從“形”的角度來

解讀導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

【設(shè)計(jì)意圖】：由舊知引出問題，既復(fù)習(xí)了舊知，又啟發(fā)學(xué)生思考，引出本節(jié)課課題.

（環(huán)節(jié)二）探索建構(gòu)

1.切線的定義

問題2：平均變化率”="X。+―）二f（X。）的幾何意義是什么？

AxAx

【學(xué)情預(yù)設(shè)】：平均變化率表示的是割線p°p的斜率.

師：這就是平均變化率（電）的幾何意義

..........Ax...........

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【設(shè)計(jì)意圖】：以求導(dǎo)數(shù)的兩個步驟為依據(jù)，從平均變化率的幾何意義入手，探索導(dǎo)數(shù)的

幾何意義，抓住Arf0的聯(lián)系，在圖形上從割線入手來研究問題.

?多媒體演示【動畫1】：

學(xué)生自己拖動點(diǎn)P(&+Ax,/(x0+Ax))沿著曲線/(x)趨近于點(diǎn)Po(xo，f(&))時，割線P°P的

變化趨勢圖.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察割線與切線是否有某種內(nèi)在聯(lián)系呢？

【學(xué)情預(yù)設(shè)】：學(xué)生觀察【動畫1】，類比得出一般曲線的切線

切線定義：在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x)),如果當(dāng)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(diǎn)

Po(xoj(x。))時，割線P°P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線稱為曲線

y=f(x)在點(diǎn)R)處的切線.

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生在獲得直觀感知的基礎(chǔ)上，通過合作探索，親身經(jīng)歷一般曲線切線

的發(fā)生、發(fā)展過程，上升理性思維，形成切線定義，體會“逼近”思想.

問題3：初中時，我們怎樣定義圓的切線？

追問1：圓的切線定義適合于任意曲線嗎？

活動1：小組合作列舉必修一中基本初等函數(shù)的圖象，探究圓的切線定義是否適合以上函

數(shù)？

【學(xué)情預(yù)設(shè)】：(1)切線與曲線的相對位置(二次函數(shù))：(2)切線與曲線公共點(diǎn)的個

數(shù)(三次函數(shù)，正弦函數(shù)).二.

追問2：今天對切線的定義符合初中圓的切線定義嗎？

多媒體演示【動畫2】：圓上點(diǎn)P。處的切線P°T和割線4P，

演示點(diǎn)P從右邊沿著圓逼近點(diǎn)卅,然后再從左邊沿著圓逼近點(diǎn)P。，即&f(),割線P°P的

變化趨勢.

【學(xué)情預(yù)設(shè)】：先感知后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)△龍-0,隨著點(diǎn)P沿著圓逼近點(diǎn)P。，割線P°P無限趨

近于點(diǎn)Po處的切線.

【設(shè)臺意圖】：帶著問題觀察動畫，借助熟悉的圓中的某點(diǎn)處的割線和切線，學(xué)生更易感

知當(dāng)"f0,割線的變化趨勢.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

問題:4：曲線上兩點(diǎn)卅@),'。),P(x()+Ax,/?+Ax)),Axf0,割線P0P-＞點(diǎn)P處的切

線，那么：Ax.0,割線的斜率f?與導(dǎo)數(shù)/'(4)又有何關(guān)系呢？

【學(xué)情預(yù)設(shè)】：生：k°=lim

Ax-tOfAxg)

.多媒體演示【動畫1】：

三三.,n(1)結(jié)合動畫中具體函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的定義求出/'(4)=0.8

(2)結(jié)合動畫，由切線的定義觀察平均變化率的極限即外處的切線的

斜率.k=0.8

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問題5：你能發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？

【學(xué)情預(yù)設(shè)】：生：函數(shù)/（X）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率A，即:

人1而小。+公）一/禺）=八/）

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：k=lim/（X。+&）-"/）=/'（X。）

20Ar

活動2：小組討論利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能幫助我們解決哪些函數(shù)問題？以f（x）=M為例.

【學(xué)情預(yù)設(shè)】：（1）求瞬時變化率.（2）求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.

【設(shè)計(jì)意圖】：體會導(dǎo)數(shù)的幾何意義，抓住求導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)與切點(diǎn)的聯(lián)系.

（環(huán)節(jié)三）應(yīng)用拓展

3.了解以直代曲思想

例1（課本例5）：圖5.1-7表示人體血管中的

藥物濃度。=/（0（阜位；ing/mL）隨時間f

（單位：min）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，

估計(jì)1=0.2,0.4,0.6,0.8min時，血管中藥物

濃度的瞬時變化率（精確到0.1）.

解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，

就是藥物濃度/⑺在此時刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上

看，它表示曲線/?）在此點(diǎn)處的切線的斜率.

如圖5.1-7,畫出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得到此時

刻藥物濃度瞬時變化率的近似值.作f=0.8處的切線，并在切線上去兩點(diǎn)，如（0.7,0.91）,

（1.0,0.48）則該切線的斜率：k=?048-0491=—1.4所以/z（0.8）?-l.4

1.0—0.7

活動3：小組合作利用網(wǎng)格估t=0.2,0.4,0.6min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率

下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計(jì)值：

t0.8

0.20.40.6

藥物濃度瞬時變化率/?）

0.40-0.71.4

【設(shè)計(jì)意圖】：要求學(xué)生動腦（審題）、動手（畫切線）、動口（說出如

何估計(jì)切線斜率），進(jìn)一步體會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題，滲透“數(shù)

形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法.

問題6：圖中哪條直線最貼近點(diǎn)P。附近的曲線？

師：帶領(lǐng)學(xué)生利用信息技術(shù)工具將P。附近的曲線不斷放大，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)P。附近的曲線越

來越接近于直線，引導(dǎo)學(xué)生理解以直代曲思想是指某點(diǎn)附近一個很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線

與切線的變化趨勢基本一致，故可由曲線上某點(diǎn)處的切線近似代替這一點(diǎn)附近的曲線.

以直代曲：在點(diǎn)P。附近，曲線y=可以用點(diǎn)處的切線RT近似代替，這是微積分中重

要的思想方法

【設(shè)計(jì)意圖】：通過將曲線一點(diǎn)處的局部“放大、放大、再放大”的直觀方法，形象而逼

真地再現(xiàn)“以直代曲”思想.

例2（課本例4）：圖5.1-6是高臺跳水運(yùn)動中運(yùn)動員的重心相對于水面的高度隨時間變化

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的函數(shù)h（t）=-492+4.8t+11的圖象.根據(jù)圖像，請描述、比較曲線11仕）在1=力出出附

近的變化情況.

%tl，t2附近的變化情況.

解：我們用曲線60）在務(wù)、6、q處的切線，刻畫曲線力。）在上述三個時刻附近的變化情

況.

（1）當(dāng)r=f0時，曲線〃?）在處的切線％平行于x軸，所以，在^=務(wù)附近曲線比較平

坦，幾乎沒有升降；

⑵當(dāng)t=4時，曲線〃⑺在％處的切線4的斜率1儲）＜0,所以，在if附近曲線下降，

即函數(shù)〃（x）=—4.9f+6.5x+10在，=%附近單調(diào)遞減；

（3）當(dāng)f=L時，曲線6。）在與處的切線4的斜率〃*2）＜0，所以，在r=f2附近曲線下

降，即函數(shù)/z（x）=—4.9/+6.5尤+10在/=今附近單調(diào)遞減.

從圖3.1-3可以看出，直線4的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在內(nèi)附近比在

弓附近下降的緩慢.

問題7:比較曲線h（t）在t=功/4附近的變化情況.

【設(shè)計(jì)意圖】：要求學(xué)生動腦（審題）、動手（畫切線）、動口（討論），體會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意

義及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)在某點(diǎn)附近的單調(diào)性，滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，運(yùn)用“以

直代曲”的思想方法.

導(dǎo)函數(shù)：內(nèi)（X）的導(dǎo)函數(shù)/（加廣/出&F

（環(huán)節(jié)四）歸納總結(jié)

數(shù):

形:

【設(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識并從中體會數(shù)學(xué)思想與方法，幫助學(xué)生建構(gòu)

知識體系。

（環(huán)節(jié)五）目標(biāo)檢測

1.已知函數(shù)f（x）的圖像如圖所示，/'（X）是/（X）的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

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A.o<r(i)<r⑶⑴B.0<r(3)<〃3)”i)<r⑴

C.0(尸(3)<6(1)<“3)；”1)D.0<"3)；〃l)<r⑴<r(3)

2.如圖，函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)尸處的切線方程是y=-x+8,則lim“5+口一〃5)二